数学の一分野である圏論において、圏Cの初期対象とは、C内の対象Iであって、 C内の任意の対象Xに対して、 I → X という射がちょうど 1 つ存在するようなものを指す。
双対概念として、終端オブジェクト（終端要素とも呼ばれる）がある。Tは、 CのすべてのオブジェクトXに対して、 X → Tという射がちょうど 1 つ存在する場合に終端オブジェクトである。始オブジェクトは共終端オブジェクトまたは普遍オブジェクトとも呼ばれ、終端オブジェクトは終止オブジェクトとも呼ばれる。
対象が始点かつ終点である場合、それは零対象またはヌル対象と呼ばれる。点付き圏とは、零対象を持つ圏のことである。
厳密な始対象Iとは、 Iへのすべての射が同型であるような対象である（厳密な終対象も同様に定義される）。
例
点付き集合の射。この図は代数的零オブジェクトにも適用できる。- 点付き集合の圏（対象は空でない集合と特別な要素からなる。射は( A , a )から( B , b )への関数f : A → Bでf ( a ) = bである）では、すべての単元は零対象である。同様に、点付き位相空間の圏でも、すべての単元は零対象である。
- 群の圏Grpでは、自明な群は零対象です。自明な対象は、アーベル群の圏Ab、擬環の圏Rng、環上の加群の圏 R-Mod、体上のベクトル空間の圏 K-Vect においても零対象です。詳細は「零対象(代数)」を参照してください。これが「零対象」という用語の由来です。
- 環（単位元と単位元を保持する射を持つ環の圏）において、整数 環Zは始対象である。単一の要素0 = 1のみからなる零環は終対象である。
- 単位元と単位元を保持する射を持つリグの圏であるRigにおいて、自然数のリグNは始対象である。ゼロリグ（ゼロ環）は、単一の要素0=1のみから構成され、終対象である。
- 体というカテゴリーには、始対象も終対象もありません。しかし、固定特性の体というサブカテゴリーでは、素体は始対象となります。
- 任意の半順序集合( P , ≤)は圏として解釈できます。対象はPの要素であり、xからy への射はx ≤ yの場合に限り存在します。この圏は、 P が最小要素を持つ場合に限り開始対象を持ち、 P が最大要素を持つ場合に限り終対象を持ちます。
- Cat は、ファンクターを射とする小さな圏の圏であり、初期対象として空圏0 (対象も射もない) を持ち、終点対象として終点圏1 (単一の恒等射を持つ単一の対象を持つ) を持ちます。
- スキームのカテゴリーにおいて、整数環の素スペクトルであるSpec( Z ) は終対象である。空スキーム（零環の素スペクトルに等しい）は始対象である。
- 図式Fの極限は、 Fへの錐の圏における終対象として特徴づけられる。同様に、 Fの余極限は、Fからの余錐の圏における始対象として特徴づけられる。
- 可換環R上の鎖複体の圏Ch Rにおいて、零複体は零対象である。
- 0 → a → b → c → 0の形式の短い完全列では、始対象と終対象は匿名ゼロ対象である。これはコホモロジー理論で頻繁に用いられる。
- 型のカテゴリーにおいて、空型は開始オブジェクトであり、単位型は終了オブジェクトである。
不動産
存在と独自性
始対象と終対象は、特定の圏に必ずしも存在する必要はない。しかし、存在する場合は、本質的に一意である。具体的には、I 1とI 2 が異なる始対象である場合、それらの間には一意の同型写像が存在する。さらに、I が始対象である場合、 Iと同型な対象もすべて始対象である。終対象についても同様である。
完全圏には、初期対象の存在定理があります。具体的には、(局所的に小さい)完全圏Cが初期対象を持つのは、集合I (真クラスではない) と、Cの対象のI添え字付き族( K i )が存在し、Cの任意の対象Xに対して、あるi ∈ Iに対して少なくとも 1 つの射K i → Xが存在する場合に限ります。
圏Cの終端対象は、唯一の空図0 → Cの極限として定義することもできます。空圏は自明に離散圏であるため、終端対象は空積と考えることができます（一般に、積は離散図{ X i }の極限です）。双対的に、始対象は空図0 → Cの余極限であり、空余積または圏論的和と考えることができます。
したがって、極限を保存する関手は終端対象を終端対象に写像し、余極限を保存する関手は始点対象を始点対象に写像する。例えば、自由対象を持つ任意の具体圏における始点対象は、空集合によって生成される自由対象となる（自由関手は集合への忘却関手に左随伴であるため、余極限を保存する）。
始対象と終対象は、普遍性および随伴関手によって特徴づけることもできる。1 を単一の対象（• で表される）を持つ離散圏とし、U : C → 1を1への唯一の（定数）関手とする。すると
- Cにおける初期オブジェクトIは、 • からUへの普遍射である。• をIに送るファンクターは、Uの左随伴である。
- Cの終端対象Tは、 Uから • への普遍射である。• をTに送る関手は、 Uの右随伴関手である。
他のカテゴリー構造との関係
圏論における多くの自然な構成は、適切な圏における始対象または終対象を見つけるという観点から定式化することができる。
- 対象Xから関手Uへの普遍射は、コンマ圏( X ↓ U )の始対象として定義できる。双対的に、 UからXへの普遍射は、( U ↓ X )の終対象である。
- 図式Fの極限は、Fへの錐の圏Cone( F )の終対象である。双対的に、 Fの余極限は、 Fからの錐の圏の始対象である。
- 関数FからSetへの表現は、 Fの要素の圏における初期対象である。
- 最終関数（または初期関数）の概念は、最終対象（または初期対象）の概念の一般化である。
その他の物件
- 始点または終点オブジェクトIの自己準同型モノイドは自明である: End( I ) = Hom( I , I ) = { id I }。
- カテゴリーCにゼロオブジェクト0が存在する場合、 C内の任意のオブジェクトXとYのペアに対して、一意の合成X → 0 → YはXからYへのゼロ射である。
