特異ホモロジー

代数的位相幾何学において、特異ホモロジーとは、位相空間の代数的不変量の特定の集合、いわゆるホモロジー群の研究を指します。直感的には、特異ホモロジーは 、各次元 について、空間の 次元の穴を数えます。特異ホモロジーは、現在ではかなり広範な理論の集合となっているホモロジー理論の特別な例です。さまざまな理論の中で、かなり具体的な構成に基づいているため、おそらく最も理解しやすい理論の 1 つです (関連理論の単体ホモロジーも参照)。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{n}(X).}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

簡単に言えば、特異ホモロジーとは、標準的なn単体から位相空間への写像を取り、それらを特異鎖と呼ばれる形式的な和に合成することで構築されます。境界操作、つまり各n 次元単体をそのn 次元境界に写像することで、特異鎖複体が生成されます。特異ホモロジーは、鎖複体のホモロジーになります。結果として得られるホモロジー群は、ホモトピー同値なすべての空間で同じであり、それが研究の目的です。これらの構成はすべての位相空間に適用できるため、特異ホモロジーは位相空間のカテゴリから次数付きアーベル群のカテゴリへの関手として表現できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$

位相空間における特異n単体は、標準のn単体からへの連続関数（写像とも呼ばれる）であり、 と書き表されます。この写像は に単射で ある必要はなく、 において同じ像を持つ非同値な特異単体が存在することもあります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\to X.}$${\displaystyle X}$

と表記されるの境界は、を標準 -単体の面に制限することによって表される特異 -単体の形式的な和として定義され、向きを考慮するために交番符号が付けられます。(形式的な和は、単体上の自由アーベル群の要素です。群の基底は、すべての可能な特異単体の無限集合です。群の演算は「加算」であり、単体と単体の和は通常、単に と表記されますが、などです。すべての単体には負の があります。) したがって、をその頂点で 表記すると、${\displaystyle \sigma ,}$${\displaystyle \partial _{n}\sigma ,}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a+a=2a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle [p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=[\sigma (e_{0}),\sigma (e_{1}),\ldots ,\sigma (e_{n})]}$

標準の-単体の頂点に対応する（もちろん、 によって生成される特異単体を完全に指定するものではない）、 ${\displaystyle e_{k}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n}\sigma &=\partial _{n}[p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{n}]\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma \mid _{[e_{0},\ldots ,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_{n}]}\end{aligned}}}$

は、特定の方法で指定された単体像の面の形式的な和です。 ^[1] （つまり、特定の面は、頂点がリストされている順序に依存する面への の制限でなければなりません。）したがって、たとえば、 （からに向かう曲線）の境界は、形式的な和（または「形式的な差」） です。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle \sigma =[p_{0},p_{1}]}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle [p_{1}]-[p_{0}]}$

特異ホモロジーの通常の構成は、自由アーベル群の要素として理解できる単体の形式的な和を定義し、次に境界演算子を含む特定の群、位相空間のホモロジー群を定義できることを示すことによって進められます。

まず、位相空間 上のすべての可能な特異-単体の集合について考えます。この集合は自由アーベル群の基底として使用することができ、各特異-単体は群の生成元になります。この生成元の集合は、もちろん通常は無限で、多くの場合は非可算です。これは、単体を典型的な位相空間にマッピングする方法が多数あるためです。この基底によって生成される自由アーベル群は、一般に と表記されます。 の元は特異n -連鎖と呼ばれ、整数係数を持つ特異単体の形式的な和です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma _{n}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C_{n}(X)}$${\displaystyle C_{n}(X)}$

境界は 特異鎖に作用するように容易に拡張される。拡張は境界演算子と呼ばれ、次のように書かれる。 ${\displaystyle \partial }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

は群の準同型です。境界演算子は、 とともに、特異複体と呼ばれるアーベル群の連鎖複体を形成します。これは、 またはより簡単に と表記されることがよくあります。 ${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$

境界演算子の核は であり、特異なnサイクルのグループと呼ばれます。境界演算子の像は であり、特異なn境界のグループと呼ばれます。 ${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$${\displaystyle B_{n}(X)=\operatorname {im} (\partial _{n+1})}$

であることも示され、 となる。の - 番目のホモロジー群は因子群として定義される。${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$${\displaystyle B_{n}(X)\subseteq Z_{n}(X)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X).}$

の元はホモロジー類と呼ばれる。^[2]${\displaystyle H_{n}(X)}$

XとYが同じホモトピー型（つまりホモトピー同値）を持つ2つの位相空間である場合、

${\displaystyle H_{n}(X)\cong H_{n}(Y)\,}$

すべてのn ≥ 0に対して。これはホモロジー群がホモトピー不変量であり、したがって位相不変量であることを意味します。

特に、X が連結な収縮可能空間である場合、 を除くすべてのホモロジー群は 0 になります。 ${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} }$

特異ホモロジー群のホモトピー不変性の証明は次のように表せる。連続写像f : X → Yは準同型写像を誘導する。

${\displaystyle f_{\sharp }:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(Y).}$

すぐに確認できることは

${\displaystyle \partial f_{\sharp }=f_{\sharp }\partial ,}$

すなわち、f _{# は}ホモロジー上の準同型写像に至る 連鎖写像である。

${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y).}$

ここで、 fとgがホモトピー的に同値である場合、f _* = g _{* で}あることを示します。このことから、f がホモトピー同値である場合、f _*は同型であることがわかります。

F  : X × [0, 1] → Y をfからgに至るホモトピーとする。連鎖のレベルで準同型を定義する。

${\displaystyle P:C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(Y)}$

幾何学的に言えば、 C _n ( X )の基底元σ: Δ ⁿ → Xを「プリズム」P (σ): Δ ⁿ × I → Yにとる。P (σ)の境界は次のように表される 。

${\displaystyle \partial P(\sigma )=f_{\sharp }(\sigma )-g_{\sharp }(\sigma )-P(\partial \sigma ).}$

したがって、C _n ( X )のα がnサイクルである場合、f _# ( α ) とg _# ( α ) は境界によって異なります。

${\displaystyle f_{\sharp }(\alpha )-g_{\sharp }(\alpha )=\partial P(\alpha ),}$

つまり、それらは相同である。これが主張を証明している。^[3]

下の表は、n次元実射影空間RP ⁿ、複素射影空間CP ⁿ、点、球面S ⁿ ( )、整数係数の3次元トーラスT ³のk次ホモロジー群を示しています。 ${\displaystyle H_{k}(X)}$${\displaystyle n\geq 1}$

上記の構成は任意の位相空間に対して定義でき、連続写像の作用によって保存されます。この一般性は、特異ホモロジー理論を 圏論の言語で書き直すことができることを意味します。特に、ホモロジー群は位相空間Topの圏からアーベル群Abの圏への関手として理解できます。

まず、 が位相空間から自由アーベル群への写像であることを考えてみましょう。これは、 Topの射に対するその作用を理解できれば、 が関手であるとみなされる可能性があることを示唆しています。さて、 Topの射は連続関数であるため、 が位相空間の連続写像である場合、群の準同型に拡張できます。 ${\displaystyle X\mapsto C_{n}(X)}$${\displaystyle C_{n}(X)}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f_{*}:C_{n}(X)\to C_{n}(Y)\,}$

定義することによって

${\displaystyle f_{*}\left(\sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}a_{i}(f\circ \sigma _{i})}$

ここで は特異単体であり、 は特異n連鎖、つまり の元である。これはが関手である ことを示している。${\displaystyle \sigma _{i}:\Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\,}$${\displaystyle C_{n}(X)}$${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle C_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

位相空間のカテゴリーからアーベル群のカテゴリーへ。

境界演算子は連続写像と可換なので、 となる。これにより、連鎖複体全体を関数として扱うことができる。特に、これは写像が関数であることを示している。${\displaystyle \partial _{n}f_{*}=f_{*}\partial _{n}}$${\displaystyle X\mapsto H_{n}(X)}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

位相空間のカテゴリからアーベル群のカテゴリへ。ホモトピー公理により、 はホモロジー関数と呼ばれる関数でもあり、商ホモトピーカテゴリhTopに作用します。 ${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Ab} .}$

この点が、特異点ホモロジーを他のホモロジー理論と区別する。他のホモロジー理論では、 は依然として関数であるが、Topのすべてで必ずしも定義されているわけではない。ある意味では、特異点ホモロジーは「最大の」ホモロジー理論であり、Topのサブカテゴリ上のすべてのホモロジー理論は、そのサブカテゴリ上の特異点ホモロジーと一致する。一方、特異点ホモロジーは、最もクリーンなカテゴリ特性を持っているわけではない。このようなクリーンアップが、細胞ホモロジーなどの他のホモロジー理論の開発の動機となっている。 ${\displaystyle H_{n}}$

より一般的には、ホモロジー関手は、アーベル圏上の関手として、または、鎖複体上の関手として公理的に定義され、短い完全列を長い完全列に変換する境界射を要求する公理を満たす。特異ホモロジーの場合、ホモロジー関手は、位相的部分と代数的部分の2つの部分に分解できる。位相的部分は次のように与えられる。

${\displaystyle C_{\bullet }:\mathbf {Top} \to \mathbf {Comp} }$

これは位相空間を に、連続関数を に写像します。ここで、は特異鎖関手であると理解され、位相空間を鎖複体のカテゴリComp (またはKom ) に写像します。鎖複体のカテゴリは、鎖複体をそのオブジェクトとして持ち、鎖写像をその射として持ちます。 ${\displaystyle X\mapsto (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$${\displaystyle f\mapsto f_{*}}$${\displaystyle C_{\bullet }}$

2番目の代数部分はホモロジー関数である。

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Comp} \to \mathbf {Ab} }$

どのマップ

${\displaystyle C_{\bullet }\mapsto H_{n}(C_{\bullet })=Z_{n}(C_{\bullet })/B_{n}(C_{\bullet })}$

そして、鎖写像をアーベル群の写像に変換します。このホモロジー関手は公理的に定義できるため、鎖複体のカテゴリ上の関手として独立しています。

ホモトピー写像は、ホモトピック的に同値な鎖写像を定義することによって再び登場します。したがって、商カテゴリ hCompまたはK (鎖複体のホモトピーカテゴリ)を定義できます。

任意の単位環 Rが与えられたとき、位相空間上のn単体の特異集合は自由R加群の生成元としてとらえることができる。つまり、自由アーベル群を出発点として上記の構成を実行するのではなく、代わりに自由R加群を使用する。すべての構成はほとんどまたはまったく変更なしで実行される。この結果は次のようになる。

${\displaystyle H_{n}(X;R)\ }$

これはR加群である。もちろん、通常は自由加群ではない。通常のホモロジー群は、次のことに注意することで回復される。

${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )=H_{n}(X)}$

環を整数環とみなす場合、表記H _n ( X ; R ) は、相対ホモロジーを表す ほぼ同一の表記H _n ( X , A )と混同しないようにする必要がある(下記参照)。

普遍係数定理は、R係数とのホモロジーを、通常の整数係数とのホモロジーの観点から、短い完全列を用いて 計算するメカニズムを提供する。

${\displaystyle 0\to H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R\to H_{n}(X;R)\to \mathrm {Tor} _{1}(H_{n-1}(X;\mathbb {Z} ),R)\to 0.}$

ここでTorはTor 関手である。^[8] 注目すべきは、Rが捩れのないものであるならば、任意のGに対して、上記の短完全列はとの間の同型に帰着する。${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}(G,R)=0}$${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R}$${\displaystyle H_{n}(X;R).}$

部分空間に対して、相対ホモロジーH _n ( X , A )は、連鎖複体の商のホモロジーであると理解される。つまり、 ${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle H_{n}(X,A)=H_{n}(C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A))}$

ここで、連鎖複体の商は、短い正確な数列によって与えられる。

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0.}$^[9]

と注釈される空間Xの縮小ホモロジーは、通常のホモロジーに対する小さな修正であり、いくつかの関係の表現を簡略化し、点のすべてのホモロジー群はゼロになるという直感を満たします。 ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)}$

鎖状複合体上で定義される通常のホモロジーの場合:

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

縮小ホモロジーを定義するために、鎖複合体にと 0 の間のを追加します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle C_{0}}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}$

ここで、空集合を「(-1)単体」と解釈することで、これを正当化することができます。 つまり、 となります。${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$${\displaystyle C_{-1}\simeq \mathbb {Z} }$

縮小ホモロジー群は、正のnとに対して次のように定義される。^[10]${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}$

n > 0 の場合、n = 0 の場合、${\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}$${\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} .}$

ホモロジー連鎖複体を双対化することにより（つまり、関数 Hom(-, R ) を適用し、Rは任意の環）、共境界マップを持つ共連鎖複体が得られます。Xのコホモロジー群は、この複体のホモロジー群として定義されます。皮肉なことに、「コホモロジーは、co [双対複体] のホモロジーです」。 ${\displaystyle \delta }$

コホモロジー群はホモロジー群よりも豊かな、あるいは少なくともより馴染みのある代数構造を持っています。まず、コホモロジー群は次のような 微分次数代数を形成します。

• 段階的なグループの集合は段階的なRモジュールを形成します。
• これには、カップ積を使用した次数付きR代数の構造を与えることができます。
• ボックスシュタイン準同型 β は微分を与える。

追加のコホモロジー演算があり、コホモロジー代数は mod pの加法構造を持ちます(前述のように、mod pコホモロジーは mod pコチェーン複体のコホモロジーであり、コホモロジーのmod p縮小ではありません)。これは、特にスティーンロッド代数構造です。

ホモロジー理論の数が多くなって以来（カテゴリ：ホモロジー理論を参照）、ベッティホモロジーやベッティコホモロジーという用語は、単体複体や閉多様体などの最もよく知られている空間のベッティ数を生じるものとして、特異点理論に適用されることがある（特に代数幾何学を執筆する著者によって） 。

ホモロジー理論を公理的に（アイレンバーグ・スティーンロッド公理を介して）定義し、公理の 1 つ（次元公理）を緩和すると、異常ホモロジー理論と呼ばれる一般化された理論が得られます。これらはもともと異常コホモロジー理論、つまりK 理論とコボルディズム理論の形で生まれました。この文脈では、特異ホモロジーは通常のホモロジーと呼ばれます。

• 派生カテゴリ
• 除去定理
• ヒューレヴィッツの定理
• 単体ホモロジー
• 細胞相同性

• アレン・ハッチャー『代数的位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、ISBN  0-521-79160-XおよびISBN 0-521-79540-0 
• JP メイ『代数的位相幾何学の簡潔なコース』シカゴ大学出版ISBN 0-226-51183-9 
• ジョセフ・J・ロットマン『代数的位相幾何学入門』、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-96678-1