有限群上のフーリエ変換

数学において、有限群上のフーリエ変換は、巡回有限群から任意の有限群への離散フーリエ変換の一般化です。

関数の フーリエ変換は、​${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varrho :G\to \mathrm {GL} _{d_{\varrho }}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\widehat {f}}(\varrho )=\sum _{a\in G}f(a)\varrho (a).}$$

の各表現に対して、は行列であり、 はの次数です。 ${\displaystyle \varrho}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {f}}(\varrho )}$${\displaystyle d_{\varrho }\times d_{\varrho }}$${\displaystyle d_{\varrho}}$${\displaystyle \varrho}$

を の同値でない既約表現の完全な集合とする。すると の要素における逆フーリエ変換は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\ワイドハット {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle f(a)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\varrho \in {\widehat {G}}}d_{\varrho }{\text{Tr}}\left(\varrho (a^{-1}){\widehat {f}}(\varrho )\right).}$$

2つの関数の畳み込みは次のように定義される。 ${\displaystyle f,g:G\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle (f\ast g)(a)=\sum _{b\in G}f\!\left(ab^{-1}\right)g(b).}$$

の任意の表現における畳み込みのフーリエ変換は次のように与えられる。 ${\displaystyle \varrho}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\widehat {f\ast g}}(\varrho )={\hat {f}}(\varrho ){\hat {g}}(\varrho ).}$$

関数については、プランシュレルの公式によれば、 ${\displaystyle f,g:G\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \sum _{a\in G}f(a^{-1})g(a)={\frac {1}{|G|}}\sum _{i}d_{\varrho _{i}}{\text{Tr}}\left({\hat {f}}(\varrho _{i}){\hat {g}}(\varrho _{i})\right),}$$

ここで、の既約表現です。 ${\displaystyle \varrho_{i}}$${\displaystyle G}$

群G が有限アーベル群である場合、状況は大幅に単純化されます。

• すべての既約表現は次数 1 であり、したがってグループの既約指標に等しい。したがって、この場合、行列値のフーリエ変換はスカラー値になる。${\displaystyle \varrho_{i}}$

• 既約なG表現の集合は、それ自体が自然な群構造を持ち、Gからへの群準同型群と同一視できます。この群は、 Gのポンチャギン双対として知られています。${\displaystyle {\widehat {G}}:=\mathrm {Hom} (G,S^{1})}$${\displaystyle S^{1}=\{z\in \mathbb {C} ,|z|=1\}}$

関数のフーリエ変換は、次のように表される 関数である。${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {G}}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\sum _{a\in G}f(a){\bar {\chi }}(a).}$$

逆フーリエ変換は次のように表される。

$${\displaystyle f(a)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\chi \in {\widehat {G}}}{\widehat {f}}(\chi )\chi (a).}$$ に対して、原始的なn乗根を選択すると同型が得られる。 ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle \zeta}$

$${\displaystyle G\to {\widehat {G}},}$$

は で与えられます。文献では、 が一般的な選択であり、これは離散フーリエ変換に関する記事で与えられた式を説明しています。しかし、このような同型性は、有限次元ベクトル空間がその双対に同型である状況と同様に標準的ではありませんが、同型性を与えるには基底を選択する必要があります。 ${\displaystyle m\mapsto (r\mapsto \zeta ^{mr})}$${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i/n}}$

確率論でよく役立つ特性として、一様分布のフーリエ変換は単純に となるということが挙げられます。ここで、0 は群の恒等関数、 はクロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle \delta _{a,0}}$${\displaystyle \delta _{i,j}}$

フーリエ変換は、グループの剰余類に対しても実行できます。

有限群上のフーリエ変換と有限群の表現論の間には直接的な関係がある。有限群上の複素数値関数の集合は、点ごとの加算と畳み込みの演算とともに、複素数上のの群環と自然に同一視される環を形成する。この環のモジュールは表現と同じものである。マシュケの定理によれば は半単純環であるため、アルティン・ウェダーバーンの定理により、これは行列環の直積として分解される。有限群上のフーリエ変換は、各既約表現に対して 次元の行列環を伴うこの分解を明示的に示す。より具体的には、ピーター・ワイルの定理（有限群の場合）によれば、 によって与えられる 同型が存在する 。 左辺はGの群代数である。直和は、同値でない既約なG表現の完全な集合 にわたってである。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$${\displaystyle d_{\varrho }}$$${\displaystyle \mathbb {C} [G]\cong \bigoplus _{i}\mathrm {End} (V_{i})}$$$${\displaystyle \sum _{g\in G}a_{g}g\mapsto \left(\sum a_{g}\rho _{i}(g):V_{i}\to V_{i}\right)}$$${\displaystyle \varrho _{i}:G\to \mathrm {GL} (V_{i})}$

有限群のフーリエ変換はまさにこの同型です。上記の積の公式は、この写像が環同型であると言うことと同等です。

上記の表現論的分解は、マシュケの定理 を介して以外の体にも一般化できます。つまり、群代数は半単純です。で定義されているように、同じ公式をフーリエ変換とその逆変換に使用できます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\text{char}}(k)\nmid |G|}$${\displaystyle k[G]}$${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}}$${\displaystyle k}$

のとき、はもはや半単純ではなく、上ののモジュラー表現論を考慮する必要があります。それでも、冪等性を用いたパース分解によって群代数をブロックに分解することができます。つまり、 ${\displaystyle {\text{char}}(k)||G|}$${\displaystyle k[G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle k[G]\cong \bigoplus _{i}k[G]e_{i}}$

これは、恒等行列を中心的かつ原始的な直交冪等行列に分解したものである。ブロックの基底を選択し、射影マップを行列として書き込むと、モジュラーDFT行列が得られる。^[1]${\displaystyle 1=\sum _{i}e_{i}}$${\displaystyle {\text{span}}_{k}\{ge_{i}|g\in G\}}$${\displaystyle v\mapsto ve_{i}}$

例えば、対称群の冪等性はMurphy ^{[2]で計算され、SageMath [3]}では明示的に計算されます。${\displaystyle F_{p}[S_{n}]}$

上記の定義を正規化すると、

${\displaystyle {\hat {f}}(\rho )={\sqrt {\frac {d_{\rho }}{|G|}}}\sum _{g\in G}f(g)\rho (g)}$

逆数

${\displaystyle f(g)={\frac {1}{\sqrt {|G|}}}\sum _{\rho \in {\widehat {G}}}{\sqrt {d_{\rho }}}Tr({\hat {f}}(\rho )\rho ^{-1}(g))}$^[4 ]

2 つの表現は、基底の変更によって一方が他方から得られる場合、同等であるとみなされます。これは同値関係であり、各同値類にはユニタリ表現が含まれます。 がユニタリ表現で構成されている場合、上記の変換はユニタリです。ユニタリ表現は、ワイルのユニタリアン トリックによって取得できます。 ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

離散フーリエ変換のこの一般化は、数値解析で使用されます。巡回行列とは、各列が前の列の巡回シフトである行列です。巡回行列は高速フーリエ変換を使用して迅速に対角化することができ、これにより巡回行列を含む線形方程式の連立を解くための高速な方法が得られます。同様に、任意のグループ上のフーリエ変換を使用して、他の対称性を持つ行列の高速アルゴリズムを作成できます (Åhlander & Munthe-Kaas 2005)。これらのアルゴリズムは、方程式の対称性を保存する偏微分方程式を解く数値法の構築に使用できます(Munthe-Kaas 2006)。

ブール群 に適用すると、この群上のフーリエ変換はアダマール変換となり、量子コンピューティングやその他の分野で一般的に使用される。ショアのアルゴリズムは、アダマール変換（各量子ビットにアダマールゲートを適用）と量子フーリエ変換の両方を使用する。前者は量子ビットを群でインデックス付けされたものとみなし、後者は有限群上のフーリエ変換を目的として量子ビットをでインデックス付けされたものとみなす。^[5]${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z} }$

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