半範囲フーリエ級数

数学において、半範囲フーリエ級数は、より一般的な ではなく区間 で定義されるフーリエ級数であり、解析される関数は偶関数( f(-x)=f(x)) または奇関数(f(-x)=-f(x)) のいずれかとしてに拡張される必要があります。これにより、関数を正弦 (奇数) または余弦 (偶数) のみの級数に展開できます。奇数と偶数の選択は、通常、が満たす微分方程式に関連する境界条件によって決まります。 ${\displaystyle [0,L]}$${\displaystyle [-L,L]}$${\displaystyle f(x),x\in [0,L]}$${\displaystyle [-L,0]}$${\displaystyle f(x)}$

例

関数の半範囲フーリエ正弦級数を計算します。 ${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$${\displaystyle 0<x<\pi }$

正弦級数を計算しているので 、 ${\displaystyle a_{n}=0\ \quad \forall n}$${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(x)\sin(nx)\,\mathrm {d} x={ \frac {2n((-1)^{n}+1)}{\pi (n^{2}-1)}}\quad \forall n\geq 2}$

nが奇数のとき、 nが偶数のとき、 つまり ${\displaystyle b_{n}=0}$${\displaystyle b_{n}={4n \over \pi (n^{2}-1)}}$${\displaystyle b_{2k}={8k \over \pi (4k^{2}-1)}}$

特別な場合では、必要なフーリエ正弦級数は ${\displaystyle b_{1}=0}$

${\displaystyle \cos(x)={{8 \over \pi }\sum _{n=1}^{\infty }{n \over (4n^{2}-1)}\sin(2nx)}}$