ATS定理

数学において、ATS 定理は、三角関数の和をより短い和で近似することに関する定理です 。数学および理論物理学の特定の問題に ATS 定理を適用すると、非常に役立ちます。

数学や数理物理学のいくつかの分野では、

${\displaystyle S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}\qquad (1)}$

研究中です。

ここで、およびは実数値関数であり、 です 。このような和は、たとえば、数論におけるリーマンゼータ関数の解析 、平面上の領域および空間内の整数点に関連する問題の解決、フーリエ級数の研究、 波動方程式、ポテンシャル方程式、熱伝導率方程式などの微分方程式の解法などで現れます。 ${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle i^{2}=-1.}$

級数(1)を適切な関数で近似する問題は、すでにオイラーと ポアソンによって研究されている。

和の長さを${\displaystyle S}$ 数 (整数の場合、これは の加数の数です) と定義します 。${\displaystyle ba}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle S}$

特定の条件下では、 和は別の和で高い精度で置き換えることができる。${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{1},}$

${\displaystyle S_{1}=\sum _{\alpha <k\leq \beta }\Phi (k)e^{2\pi iF(k)},\ \ \ (2)}$

長さははるかに短い${\displaystyle \beta -\alpha }$${\displaystyle ba.}$

形式の最初の関係

${\displaystyle S=S_{1}+R,\qquad (3)}$

ここで、はそれぞれ(1)と(2)の和、は剰余項、具体的な関数、はGH HardyとJE Littlewood ^{[1] [2] [3]} がリーマンゼータ関数の近似関数方程式を導いた際に 得られ、IM Vinogradov ^[4]は平面上の領域における整数点の量の研究において得られました。一般形では、定理はJ. Van der Corput ^{[5] [6]}によって証明されました（Van der Corputの定理に関連する最近の結果については ^[7]で読むことができます）。 ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle \zeta (s)}$

上記の研究のいずれにおいても、関数 とに何らかの制限が課せられています。 と に便利な（応用のための）制限を加える と、定理はAA Karatsubaによって^[8]で証明されました（ ^{[9] [10]}も参照）。 ${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle f(x),}$

[ 1 ]記録上 ${\displaystyle B>0,B\to +\infty ,}$ ${\displaystyle B\to 0,}$

${\displaystyle 1\ll {\frac {A}{B}}\ll 1}$

定数があることを意味する ${\displaystyle C_{1}>0}$

そして ${\displaystyle C_{2}>0,}$

そのような

${\displaystyle C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.}$

[2] 実数の場合、 記録は${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \|\alpha \|}$

${\displaystyle \|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),}$

どこ

${\displaystyle \{\alpha \}}$

は小数部です ${\displaystyle \alpha .}$

実関数 ƒ ( x )とが 線分[ a ,  b ]上で次の条件を満たすものとします。${\displaystyle \varphi (x)}$

1)連続している。${\displaystyle f''''(x)}$ ${\displaystyle \varphi ''(x)}$

2)数やが存在する ような${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle H>0,\qquad 1\ll U\ll V,\qquad 0<ba\leq V}$

そして

${\displaystyle {\begin{array}{rc}{\frac {1}{U}}\ll f''(x)\ll {\frac {1}{U}}\ 、&\varphi (x)\ll H、\\\\f'''(x)\ll {\frac {1}{UV}}\ 、&\varphi '(x)\ll {\frac {H}{V}}、\\\\f''''(x)\ll {\frac {1}{UV^{2}}}\ 、&\varphi ''(x)\ll {\frac {H}{V^{2}}}.\\\\\\end{array}}}$

次に、方程式から数値を定義すると${\displaystyle x_{\mu}}$

${\displaystyle f'(x_{\mu })=\mu ,}$

我々は持っています

${\displaystyle \sum _{a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\sum _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,}$

どこ

${\displaystyle R=O\left({\frac {HU}{ba}}+HT_{a}+HT_{b}+H\log \left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);}$

${\displaystyle T_{j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}f'(j){\text{ is an integer}};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right),&{\text{if }}\|f'(j)\|\neq 0;\\\end{cases}}}$

${\displaystyle j=a,b;}$

${\displaystyle C(\mu )={\begin{cases}1,&{\text{if }}f'(a)<\mu <f'(b);\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}\mu =f'(a){\text{ or }}\mu =f'(b);\\\end{cases}}}$

${\displaystyle Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\ .}$

定式化された定理の最も単純な変形は、文献ではファン・デル・コルプートの補題と呼ばれるステートメントです。

を区間内の実微分可能関数とし、さらにこの区間内では、その導関数は単調かつ符号保存関数であり、不等式を満たす定数に対して、${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]a,b],}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 0<\delta <1}$ ${\displaystyle |f'|\leq \delta .}$

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+\theta \left(3+{\frac {2\delta }{1-\delta }}\right),}$

どこ ${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

パラメータ とが整数の場合、最後の関係を次の関係に置き換えることができます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}\,dx+{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(b)}-{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(a)}+\theta {\frac {2\delta }{1-\delta }},}$

どこ${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

ATS の物理学の問題への応用については以下を参照してください。

• Karatsuba, Ekatherina A. (2004). 「特定の物理的問題における振動加数の和の近似」. Journal of Mathematical Physics . 45 (11). AIP Publishing: 4310–4321. doi :10.1063/1.1797552. ISSN  0022-2488.
• Karatsuba, Ekatherina A. (2007-07-20). 「量子光学における Jaynes–Cummings 和の研究へのアプローチについて」.数値アルゴリズム. 45 (1–4). Springer Science and Business Media LLC: 127–137. doi :10.1007/s11075-007-9070-x. ISSN  1017-1398. S2CID  13485016.
• Chassande-Mottin, Éric; Pai, Archana (2006-02-27). 「ベストチャープレットチェーン: 重力波チャープのほぼ最適な検出」. Physical Review D . 73 (4). American Physical Society (APS): 042003. arXiv : gr-qc/0512137 . doi :10.1103/physrevd.73.042003. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-4BBD-B . ISSN  1550-7998. S2CID  56344234.
• Fleischhauer, M.; Schleich, WP (1993-05-01). 「リバイバルの単純化: Jaynes-Cummings モデルのリバイバルの鍵となるポアソン和公式」. Physical Review A. 47 ( 5). American Physical Society (APS): 4258–4269. doi :10.1103/physreva.47.4258. ISSN  1050-2947. PMID  9909432.