バッキンガムのπ定理

数量があると仮定します${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$単位は$q_i$長さのべき乗を含む${\displaystyle c_{i}}$長さを元々メートルで測定していたが、後でセンチメートルに切り替えた場合、数値は$q_i$係数で再スケーリングされます$100^{c_{i}}$物理的に意味のある法則は、あらゆる基本単位の任意のスケール変更に対して不変でなければならない。これは、π定理の根幹をなす事実である。

システムが与えられた場合${\displaystyle n}$次元変数$q_1, ..., q_n$で${\displaystyle \ell }$基本（基底）次元、次元行列は${\displaystyle \ell \times n}$マトリックス${\displaystyle M}$だれの${\displaystyle \ell }$行は基本次元に対応し、${\displaystyle n}$列は変数の次元です。${\displaystyle (i,j)}$th エントリ (${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$そして${\displaystyle 1\leq j\leq n}$）は、${\displaystyle i}$の th 基本次元${\displaystyle j}$番目の変数。この行列は、変数量の組み合わせを入力として受け取り、その組み合わせの次元を基本次元で表したものと解釈できます。したがって、${\displaystyle \ell \times 1}$（列）乗算の結果得られるベクトル $${\displaystyle M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$$ ユニットで構成されています $${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}}$$ に関して言えば${\displaystyle \ell }$基本的な独立（基礎）単位。^{[注3 ]}

スケールを変更すると${\displaystyle i}$ⁿ 基本単位を係数で$\displaystyle \alpha _{i}}$、 それから$q_j$再スケーリングされる$\displaystyle \alpha _{1}^{-m_{1j}}\,\alpha _{2}^{-m_{2j}}\cdots \alpha _{\ell }^{-m_{\ell j}}}$、 どこ${\displaystyle m_{ij}}$は${\displaystyle (i,j)}$次元行列の 番目の要素。これを線形代数の問題に変換するために、対数を取る（底は関係ない）と、次のようになる。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}-M^{\operatorname {T} }{\begin{bmatrix}\log {\alpha _{1}}\\\vdots \\\log {\alpha _{\ell }}\end{bmatrix}},}$$これは、${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }}$の上${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$物理法則を任意の関数と定義する。${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ^{+})^{n}\to \mathbb {R} }$そのため${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$は、物理システムにとって許容される値のセットです。${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}$さらに、${\displaystyle f}$この作用の下で不変である。したがって、関数に降下する。${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}\to \mathbb {R} }$残っているのは、同型性を示すことだけです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}}$そして${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$π群の（対数）空間${\displaystyle (\log {\pi _{1}},\log {\pi _{2}},\dots ,\log {\pi _{p}})}$。

私たちは構築します${\displaystyle n\times p}$マトリックス${\displaystyle K}$その列は、${\displaystyle \ker {M}}$埋め込み方法を示しています${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$の中へ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$核として${\displaystyle M}$つまり、正確な数列が得られる。

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} ^{p}\xrightarrow {\ K\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ M\ } \mathbb {R} ^{\ell }.}$

転置を行うと、別の正確な数列が得られる。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }\xrightarrow {\ M^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ K^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{p}\to 0.}$

最初の同型定理は、剰余類を変換する目的の同型を生成します。${\displaystyle v+M^{\operatorname {T} }\mathbb {R} ^{\ell }}$に${\displaystyle K^{\operatorname {T} }v}$これはタプルの書き換えに相当します。${\displaystyle (\log q_{1},\log q_{2},\dots ,\log q_{n})}$パイ群へ${\displaystyle (\log \pi _{1},\log \pi _{2},\dots ,\log \pi _{p})}$コラムから${\displaystyle K}$。

国際単位系は、アンペア、ケルビン、秒、メートル、キログラム、カンデラ、モルの7つの基本単位を定義しています。次元解析の手法を洗練させるために、追加の基本単位や手法を導入することが有益な場合もあります。（方位解析および参考文献^{[ 9 ]}を参照）。

この例は初歩的なものですが、手順を説明するのに役立ちます。

車が 時速100kmで走行しているとします。200km走行するのにどれくらいの時間がかかりますか ？

この質問では${\displaystyle n=3}$次元変数: 距離${\displaystyle d,}$時間${\displaystyle t,}$そしてスピード${\displaystyle v,}$そして私たちは次のような法則を求めている${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d).}$これらの変数のうち2つは次元的に独立しているが、3つを合わせるとそうではない。したがって、${\displaystyle p=n-k=3-2=1}$無次元量。

次元行列は $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}}$$ ここで、行は基底次元に対応する。${\displaystyle L}$そして${\displaystyle T,}$そして、考慮された寸法の柱${\displaystyle L,T,{\text{ and }}V,}$ここで、後者は速度次元を表します。行列の要素は、それぞれの次元が何乗されるかに対応します。例えば、3列目${\displaystyle (1,-1),}$と述べている${\displaystyle V=L^{0}T^{0}V^{1},}$列ベクトルで表される${\displaystyle \mathbf {v} =[0,0,1],}$基底次元に関して表現すると次のようになる。${\displaystyle V=L^{1}T^{-1}=L/T,}$以来${\displaystyle M\mathbf {v} =[1,-1].}$

無次元定数の場合${\displaystyle \pi =L^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}},}$私たちはベクターを探しています${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}$行列とベクトルの積が${\displaystyle M\mathbf {a} }$ゼロベクトルに等しい${\displaystyle [0,0].}$線形代数において、この性質を持つベクトルの集合は、次元行列の核（または零空間）として知られています。この場合、その核は1次元です。上記の次元行列は簡約行階段形になっているため、乗法定数を除いて、非ゼロの核ベクトルを読み取ることができます。 $${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.}$$

次元行列がまだ縮小されていない場合は、ガウス・ジョルダン消去法を次元行列に適用することで、カーネルをより容易に決定できる。したがって、次元を対応する次元変数に置き換えた無次元定数は、次のように表すことができる。 $${\displaystyle \pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.}$$

カーネルは乗法定数の範囲内でのみ定義されているため、上記の無次元定数を任意のべき乗にすると、別の（同等の）無次元定数が得られます。

次元解析によって、3つの物理変数を関連付ける一般的な方程式が得られた。 $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ または、${\displaystyle C}$関数の零点を表す${\displaystyle F,}$$${\displaystyle \pi =C,}$$ これは、希望する形式で記述できます（思い出してください${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d)}$） として $${\displaystyle t=C{\frac {d}{v}}.}$$

3つの変数間の実際の関係は単純に${\displaystyle d=vt.}$つまり、この場合${\displaystyle F}$には物理的に意味のある根が 1 つあり、それは 1 です。${\displaystyle C}$次元解析の手法では、それが1に等しいことは明らかにされない。

期間を決定したい${\displaystyle T}$単純振り子の微小振動について。これは長さの関数であると仮定する。${\displaystyle L,}$大衆${\displaystyle M,}$そして地球表面における重力による加速度${\displaystyle g,}$これは長さを時間の二乗で割った次元を持つ。モデルは次の形式である。 $${\displaystyle f(T,M,L,g)=0.}$$

（これは関数ではなく関係として記述されていることに注意してください。）${\displaystyle T}$関数としてここには書かれていません${\displaystyle M,L,{\text{ and }}g.}$）

周期、質量、長さは次元的に独立していますが、加速度は時間と長さで表すことができるため、4つの変数をまとめて考えると次元的に独立ではありません。したがって、必要なのは${\displaystyle p=n-k=4-3=1}$無次元パラメータ、${\displaystyle \pi ,}$そして、このモデルは次のように再表現できる。 $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ どこ${\displaystyle \pi }$は $${\displaystyle \pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}}$$ いくつかの値に対して${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.}$

次元量の次元は次のとおりです。 $${\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}$$

次元行列は次のとおりです。 $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}$$

（行は寸法に対応しています）${\displaystyle t,m,}$そして${\displaystyle \ell ,}$そして次元変数への列${\displaystyle T,M,L,{\text{ and }}g.}$例えば、4列目、${\displaystyle (-2,0,1),}$と述べている${\displaystyle g}$変数の次元は${\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}.}$）

カーネルベクトルを探しています${\displaystyle a=\left[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right]}$行列積${\displaystyle \mathbf {M} }$の上${\displaystyle a}$ゼロベクトルを生成する${\displaystyle [0,0,0].}$上記の次元行列は簡約行階段形なので、乗法定数内のカーネルベクトルを読み取ることができます。 $${\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}$$

もし既に次元が縮小されていなければ、次元行列に対してガウス・ジョルダン消去法を用いることで、カーネルをより容易に決定できる。したがって、無次元定数は次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}$$ 根本的に言えば： $${\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}\left(\ell /t^{2}\right)^{1}=1,}$$ これは無次元です。カーネルは乗法定数の範囲内でのみ定義されているため、上記の無次元定数を任意のべき乗にすると、別の同等の無次元定数が得られます。

この例では、4 つの次元量のうち 3 つは基本単位なので、最後の (${\displaystyle g}$）は、前のものの組み合わせでなければなりません。注意：${\displaystyle a_{2}}$（係数${\displaystyle M}$) がゼロでなかった場合、${\displaystyle M}$価値;したがって${\displaystyle a_{2}}$ゼロでなければならない。次元解析により、振り子の周期はその質量の関数ではないという結論が得られた。${\displaystyle M.}$（質量、時間、距離のべき乗の 3D 空間では、質量のベクトルは他の 3 つの変数のベクトルとは線形独立であると言えます。スケーリング係数を除いて、${\displaystyle {\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}}$これは、無次元パラメータのベクトルを構築する唯一の非自明な方法である。

このモデルは次のように表現できます。 $${\displaystyle F\left(gT^{2}/L\right)=0.}$$

するとこれは次のことを意味する${\displaystyle gT^{2}/L=C_{i}}$あるゼロに対して${\displaystyle C_{i}}$関数の${\displaystyle F.}$ゼロが1つしかない場合は、${\displaystyle C,}$それから${\displaystyle gT^{2}/L=C.}$ゼロが実際に1つだけ存在し、定数が実際に次のように与えられることを示すには、より物理的な洞察または実験が必要である。${\displaystyle C=4\pi ^{2}.}$

振り子の大きな振動の場合、解析は最大振れ角という無次元パラメータによって複雑になる。上記の解析は、振れ角がゼロに近づくにつれて良い近似となる。

π定理の適用例を示すために、特定の形状の撹拌機の消費電力を考えてみましょう。電力Pは、次元 [M · L ² /T ³ ] で表され、撹拌される流体の密度ρ [ M / L ³ ] と粘度μ [M/(L · T)]、撹拌機の直径D [L]で表されるサイズ、および撹拌機の角速度n [1/T] の関数です。したがって、この例を表す変数は合計n = 5個あります。これらのn = 5 個の変数は、長さ L ( SI単位: m )、時間 T ( s )、質量 M ( kg ) など、 k = 3 個の独立した次元から構成されています。

π定理によれば、n = 5 個の変数はk = 3 次元によってp = n − k = 5 − 3 = 2 個の独立した無次元数に縮小できる。通常、これらの量は次のように選択される。${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$流体の流れの様式を表すレイノルズ数と呼ばれるもの、${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$は、撹拌機の無次元記述である動力数です。

2 つの無次元量は一意ではなく、n = 5 個の変数のうちどれがk = 3 次元独立基底変数として選択されるかによって決まることに注意してください。この例では、基底変数は両方の無次元量に現れます。レイノルズ数とべき乗数は、以下の条件を満たす場合に上記の解析から得られます。${\textstyle \rho }$、n、およびDは基底変数として選択されます。代わりに、${\textstyle \mu }$n 、Dが選択され、レイノルズ数が回復され、2番目の無次元量は${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$我々は、${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$は、レイノルズ数とべき乗数の積です。

次元解析の例としては、薄くて中実で平行な側面を持つ回転円盤の力学の場合が挙げられる。関係する変数は 5 つあり、これらは 2 つの無次元群に還元される。これらの間の関係は、例えば有限要素法を用いた数値実験によって決定することができる。^{[ 10 ]}

この定理は物理学以外の分野、例えばスポーツ科学でも使用されている。^{[ 11 ]}