単位変換

因子ラベル法は、あらゆる数式に適用でき、数式の左辺の次元単位と右辺の次元単位が同じかどうかを確認することができます。数式の両辺の単位が同じであっても、必ずしも数式が正しいとは限りませんが、両辺の単位が異なる場合（基本単位で表した場合）、数式が間違っていることを意味します。

例えば、普遍気体法則の式PV = nRTを、次の場合に確認してみましょう。

• 圧力Pの単位はパスカル（Pa）です。
• 体積Vは立方メートル（m³）で表され^ます。
• 物質nの量はモル（mol）単位で表されます。
• 普遍気体定数Rは8.3145  Pa⋅m ³ /(mol⋅K)です。
• 温度Tはケルビン（K）で表されます。

$${\displaystyle \mathrm {Pa{\cdot }m^{3}} ={\frac {\cancel {\mathrm {mol} }}{1}}\times {\frac {\mathrm {Pa{\cdot }m^{3}} }{{\cancel {\mathrm {mol} }}\ {\cancel {\mathrm {K} }}}}\times {\frac {\キャンセル {\mathrm {K} }}{1}}}$$

ご覧のとおり、等式の右辺の分子と分母に現れる次元単位が相殺されると、等式の両辺は同じ次元単位になります。次元解析は、関連性のない物理化学的性質を関連付ける方程式を構築するためのツールとして使用できます。これらの方程式は、残余次元（次元調整因子）の形で、物質の未発見または見落とされた性質を明らかにし、その後、物理的な意味を割り当てることができます。このような「数学的操作」は、前例がないわけでも、科学的に重要な意味がないわけでもないことを指摘することが重要です。実際、基本的な物理定数であるプランク定数は、紫外線破局を防ぐためのレイリー・ジーンズの法則に基づいて構築された、純粋に数学的な抽象化または表現として「発見」されました。プランク定数は、数学的な次元調整と同時に、または調整後に、量子力学的な物理的意味を割り当てられ、昇格しました。それ以前には割り当てられていませんでした。

因子ラベル法は、単位が0で交わる線形関係にある単位量（スティーブンスの類型論における比率尺度）のみを変換できます。ほとんどの変換はこのパラダイムに適合します。この方法が使えない例として、摂氏とケルビン（または華氏）間の変換があります。摂氏とケルビンの間には一定の比率ではなく一定の差がありますが、摂氏と華氏の間には一定の差も一定の比率もありません。ただし、アフィン変換（⁠ ）が存在します。${\displaystyle x\mapsto ax+b}$線形変換ではなく${\displaystyle x\mapsto ax}$⁠ ) 彼らの間に。

例えば、水の凝固点は0  ℃と32  °Fであり、5  ℃の変化（5Kの 変化）は9°Fの変化と同じです 。したがって、華氏から摂氏に変換するには、32  °F（基準点からのオフセット）を引いて、9  °Fで割り、5  ℃（単位の比率でスケーリング）を掛け、0℃（基準点からのオフセット）を加えます。これを逆にすると、華氏から摂氏単位の量を求める式が得られます。100 ℃と212 °F の等価性から始めても同じ式が得られます。  

したがって、華氏温度T [F]の数値を摂氏温度T [C]の数値に変換するには、次の式を使用できます。

T [C] = ( T [F] − 32) × 5/9。

摂氏温度T [C]を華氏温度T [F]に変換するには、次の式を使用できます。

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32。

まず最初に：

${\displaystyle Z=n_{i}\times [Z]_{i}}$

元のユニットを交換する${\displaystyle [Z]_{i}}$望ましい単位の観点からの意味${\displaystyle [Z]_{j}}$例えば、​${\displaystyle [Z]_{i}=c_{ij}\times [Z]_{j}}$そして：

${\displaystyle Z=n_{i}\times (c_{ij}\times [Z]_{j})=(n_{i}\times c_{ij})\times [Z]_{j}}$

今​${\displaystyle n_{i}}$そして​​${\displaystyle c_{ij}}$どちらも数値なので、積を計算するだけです。

あるいは、数学的に同じことですが、Zに1を掛けても、積は依然としてZです。

${\displaystyle Z=n_{i}\times [Z]_{i}\times (c_{ij}\times [Z]_{j}/[Z]_{i})}$

例えば、単位フィート毎秒（⁠${\displaystyle [Z]_{i}}$⁠ ) そして、それをマイル毎時単位で表したいのです( ⁠${\displaystyle [Z]_{j}}$⁠ ):

あるいは、メートル法を用いた例として、燃費の値が100キロメートルあたりのリットル単位で表されている場合、それを1メートルあたりのマイクロリットル単位で表したいとします。

${\displaystyle \mathrm {\frac {9\,{\rm {L}}}{100\,{\rm {km}}}} =\mathrm {\frac {9\,{\rm {L}}}{100\,{\rm {km}}}} \mathrm {\frac {1000000\,{\rm {\mu L}}}{1\,{\rm {L}}}} \mathrm {\frac {1\,{\rm {km}}}{1000\,{\rm {m}}}} ={\frac {9\times 1000000}{100\times 1000}}\,\mathrm {\mu L/m} =90\,\mathrm {\mu L/m} }$

と仮定する${\displaystyle m=1\,{\text{Da}},\mu =k_{\text{B}}\cdot 1\,{\text{nK}}}$⁠、これにより $${\displaystyle \xi ={\frac {\hbar }{\sqrt {2m\mu }}}=15.574\,\mathrm {\mu m} \,,}$$ それが私たちの要因です。

さて、次の事実を活用しましょう。${\displaystyle \xi \propto {\frac {1}{\sqrt {m\mu }}}}$⁠ . と共に⁠${\displaystyle m=23\,{\text{Da}},\mu =128\,k_{\text{B}}\cdot {\text{nK}}}$⁠、 ⁠${\displaystyle \xi ={\frac {15.574}{\sqrt {23\cdot 128}}}\,{\text{μm}}=0.287\,{\text{μm}}}$⁠ .

この方法は、入力量が複数の異なる値をとるプログラミングやワークシートの作成に特に役立ちます。たとえば、上記で計算した係数を使用すると、化学ポテンシャルが 20.3 nKの¹⁷⁴ Ybの治癒長が次のようになることが非常に簡単にわかります。 

⁠${\displaystyle \xi ={\frac {15.574}{\sqrt {174\cdot 20.3}}}\,{\text{μm}}=0.262\,{\text{μm}}}$⁠ .