シメオン・デニス・ポワソン

シメオン・ポワソン
生まれる	( 1781-06-21 )1781年6月21日 フランス王国ピティヴィエ(現在のロワレ)
死亡	1840年4月25日（1840-04-25）（58歳） フランス王国、オー ド セーヌ県ソー
母校	エコール・ポリテクニーク
知られている	ポアソン過程 ポアソン方程式 ポアソン核 ポアソン分布 ポアソン極限定理 ポアソン 括弧 ポアソン代数ポアソン回帰ポアソン 総和公式ポアソンスポットポアソン比 ポアソン零点コンウェイ・マクスウェル・ポアソン分布オイラー・ポアソン・ダルブー方程式
科学者としてのキャリア
フィールド	数学と物理学
機関	エコール工科大学 経度局パリエコール・ド・サン・シール 科学学部
学術アドバイザー	ジョセフ＝ルイ・ラグランジュ ピエール＝シモン・ラプラス
博士課程の学生	ミッシェル・シャスル ジョゼフ・リウヴィル
その他の著名な学生	ニコラ・レオナール・サディ・カルノー ピーター ・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ

シメオン・ドニ・ポアソン 男爵 （フランス語: [ si.me.ɔ̃ də.ni pwa.sɔ̃] ; 1781年6月21日 - 1840年4月25日）は、統計学、複素解析、偏微分方程式、変分法、解析力学、電気と磁気、熱力学、弾性、流体力学に関する研究を行ったフランスの数学者および物理学者。さらに、オーギュスタン＝ジャン・フレネルの波動理論を反証する試みの中で、アラゴ斑を予言した。

ポワソンは、フランス軍将校シメオン・ポワソンの息子として、フランスの ロワレ県ピティヴィエに生まれました。

1798年、彼はパリのエコール・ポリテクニークに学年首席で入学し、すぐに学校の教授たちの注目を集めるようになったが、教授たちは彼に何を学ぶかについての自由を与えた。入学から2年も経たないうちに、彼は2冊の回顧録を出版した。1冊はエティエンヌ・ベズーの消去法について、もう1冊は差分方程式の積分の数についてであり、これが非常に印象的だったため、彼は1800年に最終試験を受けずに卒業することを許された^{[1] ,}。^[2]後者の回顧録はシルヴェストル＝フランソワ・ラクロワとアドリアン＝マリー・ルジャンドルによって審査され、彼らはそれをRecueil des savants étrangersに掲載することを推薦した。これは18歳の若者にとっては前例のない栄誉であった。この成功により、ポアソンはすぐに科学界に入ることができた。ポアソンはエコール・ポリテクニークで関数論の講義を聴講していたジョゼフ・ルイ・ラグランジュに早くから才能を見出され、友人となった。一方、ポアソンが後を継いだピエール＝シモン・ラプラスは、彼を息子のように思っていた。パリ近郊のソーで亡くなるまで、ポアソンは多くの著作の執筆と出版、そして次々と任命された数多くの教育職の職務を遂行することに生涯を費やした。^[3]

エコール・ポリテクニークでの研究を終えるとすぐに、彼は同校の復習係（ティーチング・アシスタント）に任命された。これは彼がまだ在学中に素人として務めていた職である。というのは、彼の同級生たちは、異常に難しい講義の後に彼の部屋を訪れ、講義を繰り返して説明するのを聞くのが習慣になっていたからである。彼は1802年に助教授（professeur suppléant）となり、1806年にはナポレオンがグルノーブルに派遣したジャン・バティスト・ジョセフ・フーリエの後任として教授となった。1808年に彼は経度局の天文学者となり、1809年にパリ科学部が設立されると、合理力学の教授（professeur de mécanique rationelle）に任命された。彼は1812年に同研究所の会員となり、 1815年にサン＝シールの陸軍士官学校（エコール・ミリテール）の試験官、1816年にエコール・ポリテクニークの卒業試験官、1820年に同大学の評議員となり、1827年にピエール＝シモン・ラプラスの後任として経度局の幾何学者となった。^[3]

1817年、彼はナンシー・ド・バルディと結婚し、4人の子供をもうけた。幼少期の経験から貴族を嫌悪していた父親は、彼を第一共和政の厳格な信条で育てた。革命、帝政、それに続く王政復古の間中、ポアソンは政治には興味がなく、数学に専念した。1825年に男爵に叙せられたが^[3]、学位は受け取らず、その称号も使用しなかった。1818年3月、彼は王立協会会員に選出され^[4]、 1822年にはアメリカ芸術科学アカデミーの外国人名誉会員に、^{[5] 1823年には}スウェーデン王立科学アカデミーの外国人会員となった。1830年7月の革命により、彼はすべての栄誉を失う危機に瀕した。しかし、ルイ・フィリップ政府に対するこの不名誉は、フランソワ・ジャン・ドミニク・アラゴによって巧みに回避された。アラゴは、閣僚会議が彼の「辞任」を企てている間に、彼をパレ・ロワイヤルでの食事に招待し、そこで彼は市民国王から公然と熱烈に歓迎され、国王は彼を「思い出していた」。もちろん、この後、彼の屈辱はあり得ず、7年後、彼は政治的な理由ではなく、フランスの科学の代表として、フランスの貴族に任命された。^[3]

数学教師としてのポアソンは、エコール・ポリテクニークの補習生として早くから期待されていたように、並外れた成功を収めたと言われている。公務が山積しているにもかかわらず、彼は300冊以上の著作を出版した。そのうちのいくつかは大がかりな論文であり、多くは純粋数学の最も難解な分野、^[3] 応用数学、数理物理学、および合理力学を扱った回想録であった。(アラゴは「人生で良いことは2つだけだ。数学をすることと、数学を教えることだ」という名言を彼の言葉として挙げている。 ^[6] )

ポアソンの著作リストは、アラゴの伝記の最後に掲載されている。ここでは、重要なものについて簡単に触れるだけだ。ポアソンの科学に対する最大の貢献は、数学を物理学に応用したことだった。おそらく最も独創的で、間違いなく最も永続的な影響を与えたのは、電気と磁気の理論に関する彼の回想録であり、これは事実上、数理物理学の新しい分野を生み出した。^[3]

次に（あるいは一部の意見では最初に）重要なのは、彼がピエール＝シモン・ラプラスの後継者にふさわしいことを証明した天力学に関する回想録です。これらの中で最も重要なものは彼の回想録『Sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes』、『Sur lavariation des constantes arbitraires dans les question de mécanique』で、どちらも『 Journal of the École Polytechnique』（1809年）に掲載されました。 『Sur la libration de la lune』、『Connaissance des temps』（1821年）など。アカデミー紀要（1827年）の「重力の中心にある地球の運動について」など。これらの回想録の最初の部分で、ポアソンは、すでに議論されていた惑星の軌道の安定性という有名な問題について議論している。ラグランジュは、擾乱力の第一近似値に落ち着きました。ポアソンは、その結果を第二近似値に拡張できることを示し、惑星理論に重要な進歩をもたらしました。この回想録は、ラグランジュをしばらく後に呼び覚ましたという点で注目に値します。彼は、活動停止のせいで、老年になってから、回想録の中でも最も偉大な作品の一つである『惑星元素の変化の理論、そして特に星の軌道の大軸の変化について』を執筆した。彼はポアソンの回想録を非常に高く評価していたため、それを自らの手でコピーし、それが彼の死後に彼の書類の中から発見された。ポアソンは引力理論に重要な貢献をした。^[3]

300 冊を超える出版物に及ぶポアソンの科学的業績が評価され、1837 年に彼はフランス貴族の称号を授与されました。

彼の名前はエッフェル塔に刻まれた72の名前のうちの1つです。

ポテンシャル理論では、ポアソン方程式は、

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-4\pi \rho ,\;}$

は、ポテンシャルに関する2 階偏微分方程式のラプラス方程式のよく知られた一般化です。 ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$ ${\displaystyle \phi}$

が連続関数であり、（または点が無限大に「移動」する）関数が十分速く0に向かう場合、ポアソン方程式の解はニュートンポテンシャルである。${\displaystyle \rho (x,y,z)}$${\displaystyle r\rightarrow \infty }$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \phi =-{1 \over 4\pi }\iiint {\frac {\rho (x,y,z)}{r}}\,dV,\;}$

ここで、 は体積要素と点の間の距離です。積分は空間全体にわたって実行されます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle dV}$${\displaystyle P}$

ポアソン方程式は、Bulletin de la société philomatique (1813) に初めて掲載されました。^[3]この主題に関するポアソンの 2 つの最も重要な回想録は、Sur l'attraction des sphéroides (Connaiss. ft. temps、1829) とSur l'attraction d'un ellipsoide homogène (Mim. ft. l'acad.、1835) です。 。^[3]

ポアソンはラプラス方程式が固体の外側でのみ有効であることを発見した。可変密度の質量に対する厳密な証明は、 1839年にカール・フリードリヒ・ガウスによって初めて与えられた。ポアソン方程式は重力だけでなく、電気や磁気にも適用できる。^[7]

18世紀が終わりに近づくにつれ、静電気に関する人類の理解は成熟に近づきました。ベンジャミン・フランクリンはすでに電荷の概念と電荷保存を確立しており、シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンは静電気の逆二乗の法則を唱えていました。1777年、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは、拡張された物体の重力を計算するために使用できるポテンシャル関数の概念を導入しました。1812年、ポアソンはこのアイデアを採用し、ポテンシャル関数を電荷密度に関連付ける電気の適切な表現を得ました。^[8]ポアソンのポテンシャル理論に関する研究は、ジョージ・グリーンの1828年の論文「電気と磁気の理論への数学的分析の応用に関する論文」に影響を与えました。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho}$

1820年、ハンス・クリスチャン・エルステッドは、近くの電気回路を開閉することで磁針を偏向させることができることを実証し、その結果、この現象を説明しようとする論文が大量に発表された。アンペールの法則とビオ・サバールの法則がすぐに導き出された。電磁気学の科学が誕生した。ポアソンもこの頃、磁気現象を研究していたが、電気と磁気を別の現象として扱うことを主張した。彼は1826年に磁気に関する2冊の回顧録を出版した。^[9] 1830年代までに、電気の研究における主要な研究課題は、電気が物質とは異なる流体であるのか、それとも重力のように物質に作用するだけのものなのか、ということだった。クーロン、アンペール、ポアソンは、電気は物質とは異なる流体であると考えていた。マイケル・ファラデーは、電気分解から始まる実験研究で、そうではないことを示そうとした。ファラデーは、電気は物質の一部であると信じていた。^[10]

ポアソンはフランス学士院王立科学アカデミーの「古参」の学者の一人で、光の粒子説を固く信じ、その代替である波動説には懐疑的だった。1818年、アカデミーは回折を賞のテーマに定めた。参加者の一人、土木技師で光学者のオーギュスタン＝ジャン・フレネルは、ホイヘンス・フレネルの原理とヤングの二重スリット実験の両方の分析から導き出された回折を説明する論文を提出した。^[11]

ポアソンはフレネルの理論を詳細に研究し、それが間違っていることを証明する方法を探しました。フレネルの理論では、光の粒子理論では完全な暗闇が予測されるのに対し、円形の障害物が点光源を遮る影の中に軸上の明るい点が予測されることを実証したとき、ポアソンは欠陥を見つけたと考えました。ポアソンは、これは不合理であり、フレネルのモデルは間違っていると主張しました。(日常的な光源のほとんどは良い点光源ではないため、そのような点は日常の状況では簡単には観察されません。)

委員会の委員長、ドミニク・フランソワ・ジャン・アラゴが実験を行った。彼は2mmの金属円盤をワックスでガラス板に成形した。^[12]誰もが驚いたことに、彼は予測された明るい点を観測し、波動モデルの正しさを証明した。フレネルがコンテストで優勝した。

その後、光の粒子理論は消滅したが、20世紀に波動粒子二重性という別の形で復活した。アラゴは後に、回折輝点（後にアラゴ点およびポアソン点として知られるようになった）が、 1世紀前にジョセフ・ニコラ・デリスル^[12]とジャコモ・F・マラルディ^[13]によってすでに観測されていたことを指摘した。

純粋数学において、ポアソンの最も重要な著作は、定積分に関する一連の回想録とフーリエ級数についての議論であり、後者は、同じ主題に関するピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレとベルンハルト・リーマンの古典的な研究への道を開いた。これらは、1813年から1823年までのエコール・ポリテクニーク誌と1823年のアカデミー紀要に掲載されている。彼はまた、フーリエ積分も研究した。^[3]

ポアソンは変分法に関する論文（Mem. de l'acad., 1833）と、観測結果の平均の確率に関する回想録（Connaiss. d. temps, 1827、など）を著した。確率論におけるポアソン分布は彼にちなんで名付けられた。^[3]

1820年にポアソンは複素平面上の経路に沿った積分を研究し、それを初めて行った人物となった。^[14]

1829年、ポアソンは弾性体に関する論文を発表し、その中で発散定理として知られるようになる特別なケースの記述と証明を行った。^[15]

変分法は18世紀にレオンハルト・オイラーとジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって創始され、19世紀にはさらなる発展と応用が見られました。^[16]

させて

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))\,dx,}$

ここで である。オイラー・ラグランジュ方程式を満たす場合、 は極値となる。${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)=0.}$

しかし、が の高階導関数に依存する場合、つまり、${\displaystyle S}$${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y(x),y'(x),...,y^{(n)}(x)\right)\,dx,}$

はオイラー・ポアソン方程式を満たす必要がある。${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+...+(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.}$^[17]

ポアソンの『力学論』（全2巻、1811年と1833年）はラプラスとラグランジュのスタイルで書かれ、長い間標準的な著作であった。^[3]位置を 、運動エネルギーを 、位置エネルギーを とし、いずれも時間に依存しない とする。ラグランジュの運動方程式は次のように表される^。[16]${\displaystyle q}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=0,~~~~i=1,2,...,n.}$

ここで、時間微分を表すドット表記が用いられ、。ポアソン集合。^[16]彼は、 が と独立であれば、次のように書けると主張した。${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\dot {q}}}$${\displaystyle L=T-V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}},}$

与えること^[16]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0.}$

彼は運動量の明示的な公式を導入した。^[16]

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

こうして運動方程式から彼は^{[16]を得た。}

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}.}$

ポアソンの著作はウィリアム・ローワン・ハミルトンとカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの著作に影響を与えた。ポアソンの『力学論』の翻訳は1842年にロンドンで出版された。と を運動の標準変数との関数とする。そのポアソン括弧は次のように与えられる。${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle [u,v]={\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}.}$^[18]

明らかに、この演算は反交換である。より正確には、。^[18]ハミルトンの運動方程式によれば、 の全時間微分は${\displaystyle [u,v]=-[v,u]}$${\displaystyle u=u(q,p,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}&={\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}+{\frac {\partial u}{\partial t}}\\[6pt]&={\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}\\[6pt]&=[u,H]+{\frac {\partial u}{\partial t}},\end{aligned}}}$

ここではハミルトニアンである。ポアソン括弧で表すと、ハミルトン方程式はおよび と書ける。^{[18] が}運動定数であると すると、 は${\displaystyle H}$${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=[q_{i},H]}$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=[p_{i},H]}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle [H,u]={\frac {\partial u}{\partial t}}.}$

さらに、ポアソンの定理によれば、任意の2つの運動定数のポアソン括弧も運動定数となる。^[18]

1925年9月、ポール・ディラックは、量子力学として知られる物理学の新しい分野に関するヴェルナー・ハイゼンベルクの重要な論文の校正を受け取った。すぐに彼は、ハイゼンベルクの論文の鍵となるアイデアが動的変数の反可換性であることに気づき、古典力学における類似した数学的構成がポアソン括弧であることを思い出した。彼は、ET・ウィテカーの粒子と剛体の解析的ダイナミクスに必要な扱い方を見つけた。^{[19] [20]}

1821年、クロード＝ルイ・ナビエは弾性体との類推を用いて粘性流体の基本運動方程式に到達した。これは現在ナビエ・ストークス方程式と呼ばれている。1829年、ポアソンは独立に同じ結果を得た。ジョージ・ガブリエル・ストークスは1845年に連続体力学を用いてこれを再導出した。^[21]ポアソン、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ソフィー・ジェルマンは19世紀の弾性理論の主な貢献者であった。変分法は問題を解くために頻繁に使用された。^[16]

ポアソンは波動理論に関する回想録も出版している（Mém. ft. l'acad., 1825）。^[3]

熱伝導に関する研究で、ジョセフ・フーリエは、任意の関数は無限三角級数として表すことができると主張し、問題の文脈に応じてベッセル関数とルジャンドル多項式で関数を展開できる可能性を明らかにした。彼の数学的手法は厳密ではなかったため、彼のアイデアが受け入れられるまでにはしばらく時間がかかった。ポアソンは当初懐疑的だったが、フーリエの方法を採用した。1815年頃から、彼は熱伝導に関するさまざまな問題を研究し、1835年に『熱伝導の数学理論』を出版した。^[22]

1800 年代初頭、ピエール＝シモン・ド・ラプラスは、古い熱量理論に基づいて、気体の洗練された、しかし推測的な記述を開発したが、ポアソンなどの若い科学者はこれにあまり関心がなかった。ラプラスの功績は、空気中の音速に関するニュートンの公式を修正し、実験と比較して満足のいく答えを出したことである。ニュートン＝ラプラスの公式は、定積定圧における気体の比熱 を利用している。1823 年にポアソンは師の研究をやり直し、ラプラスが以前に採用した複雑な仮説に頼ることなく同じ結果に達した。さらに、ロバート・ボイルとジョセフ・ルイ・ゲイ＝リュサックの気体法則 を利用して、ポアソンは断熱変化を受ける気体の方程式 を得た。つまりであり、 は気体の圧力、体積、である。^[23]${\displaystyle c_{V}}$${\displaystyle c_{P}}$${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \gamma ={\frac {c_{P}}{c_{V}}}}$

ポアソンは多くの回想録のほかに、数理物理学に関する大著の一部となることを意図した論文を多数出版したが、その大半は彼が完成するまでには至らなかった。そのなかには次のようなものがある: ^[3]

• Nouvelle théorie de l'action capillaire (4to、1831)。
• Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière Civile (4to、1837)、すべてパリで出版。
• ポワソンの論文と作品のカタログはフランソワ・アラゴの全作品集第2巻に掲載されている。
• Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques (v. 8 in Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de l'Institut de France )、フランス国立図書館のデジタル コピー
• Recherches sur le Mouvement des Projectiles dans l'Air、en ayant égard a leur 図と leur 回転、et al'influence du mouvement diurne de la terre (1839)

• 
  Recherches sur le Mouvement des Projectiles dans l'Air (1839)のタイトルページ
• 
  積分定義の計算に関するメモワール(1826)

政治活動家のエヴァリスト・ガロワがエコール・ノルマルから追放された後に数学界に戻った後、ポアソンは方程式論に関する論文を提出するよう依頼し、ガロワは1831年1月にこれを行った。7月初旬、ポアソンはガロワの論文は「理解不能」であると断言したが、「決定的な意見を形成するために、論文全体を出版するよう」ガロワに勧めた。^[24]ポアソンの報告書はガロワが7月14日に逮捕される前に作成されたが、獄中のガロワに届くまでには10月までかかった。当時の彼の性格と状況を考えると、ガロワがアカデミーを通して論文を出版することを断固として拒否し、代わりに友人のオーギュスト・シュヴァリエを通して個人的に出版することを決めたのは意外ではない。しかし、ガロワはポアソンの助言を無視しなかった。彼は獄中から数学の原稿を集め始め、1832年4月29日に釈放されるまでアイデアを磨き続けた。 ^[25]その後、どういうわけか説得されて致命的な決闘に参加することになった。^[26]

• シメオン・ドニ・ポワソンにちなんで名付けられたものの一覧
• ハミルトン−ヤコビ方程式

• ウィキメディア・コモンズのシメオン・ドニ・ポワソンに関連するメディア
• ウィキクォートにおけるシメオン・ドニ・ポワソンに関する引用
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「シメオン・ドニ・ポアソン」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• 数学系譜プロジェクトのシメオン・デニス・ポワソン