フェルミ問題

フェルミ問題（フェルミクイズ、フェルミ質問、フェルミ推定とも呼ばれる）は、物理学や工学教育における推定問題であり、次元解析や極限科学計算の近似を教えるために考案されたものである。フェルミ問題は通常、大まかな計算である。推定手法は、実際のデータがほとんどまたは全くなくても近似計算をうまく行う能力で知られていた物理学者エンリコ・フェルミにちなんで名付けられた。フェルミ問題では通常、数量とその分散または下限と上限について正当な推測を行う。場合によっては、次元解析を使用して桁数推定値を導き出すこともできる。

一例として、エンリコ・フェルミは、爆発中に手から落とした紙切れが飛んだ距離に基づいて、トリニティ実験で爆発した原子爆弾の威力を推定した。フェルミの推定値であるTNT火薬10キロトンは、現在認められている21キロトンという値とほぼ一桁以内であった。^{[1] [2] [3]}

フェルミ問題は本質的に極端な場合が多く、一般的な数学的または科学的情報を使用して解決することはできません。

公式フェルミコンペティションで出された例題: ^{[説明が必要]}

「小さじ一杯の水の質量をすべて熱の形でエネルギーに変換できるとしたら、最初は室温だった水の何体積を沸騰させることができるでしょうか？（リットル）」

「ファンショーダムを通過するとテムズ川はどのくらい温まるでしょうか？（摂氏度）」

「今月北米で廃車になった自動車の総重量はいくらですか？（キログラム）」^{[4] [5]}

おそらく最も有名なフェルミ問題は、銀河系内の知的文明の数を推定しようとするドレイク方程式です。そのような文明が相当数存在するのに、なぜ人類文明は他の文明に遭遇したことがないのかという基本的な疑問は、フェルミのパラドックスと呼ばれています。^[6]

科学者は、より洗練された方法で正確な答えを計算する前に、問題に対する答えのフェルミ推定値を求めることがよくあります。これは、結果の有効なチェックになります。推定値はほぼ間違いなく間違っていますが、簡単な計算であるため、エラー チェックが容易で、生成された数値が合理的に予想される数値をはるかに超えている場合は、誤った仮定を見つけることができます。対照的に、正確な計算は極めて複雑になることがあります。ただし、生成される答えが正しいことが期待されます。関係する要素と操作の数が非常に多いため、数学的プロセスまたは方程式の基になる仮定のいずれかで非常に重大なエラーが不明瞭になる可能性がありますが、結果は、良好な結果をもたらすことが期待される正確な式から導き出されたため、依然として正しいと想定できます。作業の基準となる適切なフレームがなければ、結果が許容できるほど正確であるか、または何桁も (数十倍または数百倍) 大きすぎるか小さすぎるかが明確になることはほとんどありません。フェルミ推定値は、合理的に予想される答えの基準フレームをすばやく簡単に取得する方法を提供します。

推定における最初の仮定が妥当な量である限り、得られた結果は正しい結果と同じスケール内の答えを与え、そうでない場合はなぜそうなるのかを理解する基礎を与えます。たとえば、シカゴのピアノ調律師の数を決定するように求められたとします。最初の推定では 100 人程度であるはずだったのに、正確な答えでは何千人もいると分かった場合、予想される結果となぜこのように異なるのかを突き止める必要があることがわかります。まず誤差を探し、次に推定で考慮されなかった要因を探します。シカゴには、ピアノと人の比率が不釣り合いに高い音楽学校やその他の場所がいくつかあるのでしょうか。観測された結果に近いか非常に遠いかにかかわらず、推定が提供するコンテキストは、計算のプロセスと、問題を調べるために使用された仮定の両方について有用な情報を与えます。

フェルミ推定は、計算方法の最適な選択が答えの予想サイズに依存する問題に取り組む際にも役立ちます。たとえば、フェルミ推定は、構造の内部応力が線形弾性によって正確に説明できるほど低いかどうか、または推定値が他の値と比較してスケールにおいてすでに重要な関係を持っているかどうかを示します。たとえば、構造が推定値の数倍の負荷に耐えられるように過剰に設計されているかどうかなどです。^{[引用が必要]}

フェルミ計算は、その仮定に多くの問題がある場合があるため、正確ではないことが多いですが、この種の分析により、より良い答えを得るために何を探すべきかを知ることができます。上記の例では、ピアノ調律師が通常の日に調律するピアノの数をより正確に推定したり、シカゴの人口の正確な数を調べたりすることができます。また、いくつかの目的には十分な概算も得られます。たとえば、シカゴでピアノ調律機器を販売する店を開きたい人が、事業を継続するには 10,000 人の潜在的顧客が必要であると計算した場合、上記の推定値は 10,000 人よりはるかに少ないため、別の事業計画を検討する必要があると合理的に推測できます (さらに、もう少し作業すれば、それぞれの仮定に現れる可能性のある最も極端な妥当な値を考慮して、ピアノ調律師の数の大まかな上限を計算することもできます)。

フェルミ推定が一般的に機能するのは、個々の項の推定値がほぼ正確であり、過大評価と過小評価が互いに打ち消し合うためです。つまり、一貫した偏りがなければ、推定された複数の要素 (シカゴのピアノ調律師の数など) を掛け合わせるフェルミ計算は、おそらく当初想定されていたよりも正確になります。

詳細には、推定値を掛け合わせることは、それらの対数を加算することに相当するため、対数スケールで一種のウィーナー過程またはランダムウォークが得られ、これは(項数nで)として拡散します。離散項では、過大評価の数から過小評価の数を引いた値は、二項分布になります。連続項では、実際の値からの標準偏差単位を対数スケールにしてnステップのフェルミ推定値を作成すると、全体の推定値の標準偏差は になります。これは、合計の標準偏差が加数の数の としてスケールするためです。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

たとえば、9 ステップのフェルミ推定を行う場合、各ステップで正しい数値を 2 倍（または標準偏差 2）過大評価または過小評価すると、9 ステップ後には標準誤差は対数係数 だけ大きくなり、2 ³ = 8 になります。したがって、正しい値の1 ⁄ 8 ～ 8 倍以内、つまり 1桁以内になると予想され、2 ⁹ = 512倍（約 2.71 桁）の誤差が生じる最悪のケースよりもはるかに小さくなります。チェーンが短くなるか、より正確に推定すると、全体的な推定値もそれに応じて良くなります。 ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$

• 推定
• 推測航法
• 手を振る
• ヒューリスティック
• 近似の順序
• スタインの例
• 球形の牛

以下の書籍には、フェルミ問題とその解決例が多数掲載されています。

• ジョン・ハート『球形の牛を考える：環境問題解決コース』大学科学書。1988年。ISBN 0-935702-58-X。 
• ジョン・ハート『円筒形の牛を考える: 環境問題解決のさらなる冒険』大学科学書。2001年。ISBN 1-891389-17-3。 
• クリフォード・シュワルツ『Back -of-the Envelope Physics』ジョンズ・ホプキンス大学出版局。2003年。ISBN 0-8018-7263-4。ISBN 978-0801872631。  
• Lawrence Weinstein & John A. Adam、『Guesstimation: Solving the World's Problems on the Back of a Cocktail Napkin』、プリンストン大学出版局。2008 年。ISBN 0-691-12949-5。ISBN 978-1-4008-2444-1 。フェルミ問題の教科書。  
• アーロン・サントス、『How Many Licks?: Or, How to Estimate Damn Near Anything 』。ランニング・プレス。2009年。ISBN 0-7624-3560-7。ISBN 978-0-7624-3560-9。  
• サンジョイ・マハジャン『ストリートファイティング数学：知識に基づいた推測と機会主義的な問題解決の芸術』MIT出版。2010 年 。ISBN 026251429X。ISBN 978-0262514293。  
• Göran Grimvall、『Quantify! A Crash Course in Smart Thinking』、ジョンズ・ホプキンス大学出版局。2010 年 。ISBN 0-8018-9717-3。ISBN 978-0-8018-9717-7。  
• ローレンス・ワインスタイン『Guesstimation 2.0: Solving Today's Problems on the Back of a Napkin』プリンストン大学出版局。2012年。ISBN 978-0-691-15080-2。 
• サンジョイ・マハジャン『科学と工学における洞察の芸術』 MIT出版。2014年。ISBN 9780262526548。 
• Dmitry Budker、Alexander O. Sushkov、『Physics on your feet』、Berkeley Graduate Exam Questions 、Oxford University Press。2015年。ISBN 978-0199681655。 
• Rob Eastaway、『封筒の裏に書かれた数学：何でも（大まかに）計算する賢い方法』 HarperCollins。2019年。ISBN 978-0008324582。 

• メリーランド大学物理教育グループはフェルミ問題のコレクションを管理しています。
• フェルミの質問: 教師、生徒、イベント監督者のためのガイド、著者: ロイド・エイブラムス。
• 「もしも​​？地球を描こう」は、ランドール・マンロー著『もしも？不条理な仮説的疑問に対する真剣な科学的回答』より。
• 自動車が発明されて以来自動車が消費したガソリンの総量と太陽から放出されるエネルギーの出力との比較に関するフェルミ問題の例。
• Nuño Sempere 著の「フェルミ推定入門」には、フェルミ式の分解によってより良い推定値が得られる理由の証明の概要が記載されています。
• 「数学者以外の人々に数学をどのように教えるべきか？」ティモシー・ガワーズ著。

フェルミ問題の推定と解決に特化した大学レベルのコースは数多く存在しています。これらのコースの資料は、フェルミ問題の追加例や解決戦略に関する資料の優れた情報源となります。

• 6.055J / 2.038Jマサチューセッツ工科大学(MIT)のサンジョイ・マハジャンが教える科学と工学における近似の技術。
• オールドドミニオン大学でローレンス・ワインスタインが教える「封筒の裏に書かれた物理学」。
• カリフォルニア工科大学でスタール・フィニーが教える「オーダー・オブ・マグニチュード物理学」。
• カリフォルニア大学サンタクルーズ校でパトリック・チュアンが教える「桁数の推定」。
• トロント大学のリンダ・ストラブ氏が教える「桁数問題解決」。
• カリフォルニア大学バークレー校でユージン・チャンが教える「オーダー・オブ・マグニチュード物理学」。
• コロンビア大学のデイビッド・ヘルファンド教授が教える「科学の最前線：科学的思考習慣」の第 2 章「封筒の裏に書かれた発見」。