キャパシタンス

一般的な記号	Ｃ
SI単位	ファラド
その他のユニット	μF、nF、pF
SI基本単位では	F = A 2 s 4 kg −1 m −2
他の量からの導出	C =電荷/電圧
寸法	${\displaystyle {\mathsf {L}}^{-2}{\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {T}}^{4}{\mathsf {I}}^{2}}$

静電容量は、物質またはデバイスが電荷を蓄える能力です。これは、電位差に対する電荷によって測定され、それらの量の比として表されます。一般的に認識されている静電容量の概念には、自己静電容量と相互静電容量という2つがあります。^{[1] ：237–238}電気的に充電できる物体は自己静電容量を示し、その電位は物体と地面の間で測定されます。相互静電容量は2つの部品間で測定され、電気回路に静電容量を追加するように設計された基本的な線形電子部品であるコンデンサの動作において特に重要です。

2 つの導体間の静電容量は、形状、導体の対向表面積、導体間の距離、および導体間にある誘電体の誘電率のみによって決まります。多くの誘電体では、誘電率、つまり静電容量は、導体間の電位差や導体上の総電荷とは無関係です。

静電容量のSI単位はファラッド（記号：F）で、イギリスの物理学者マイケル・ファラデーにちなんで名付けられました。^[2] 1ファラッドのコンデンサに1クーロンの電荷が充電されると、その極板間に1ボルトの電位差が生じます。 ^[3]静電容量の逆数はエラスタンスと呼ばれます。

電気回路について議論する際、静電容量という用語は通常、コンデンサの2つのプレートなど、隣接する2つの導体間の相互静電容量の略語として使用されます。ただし、すべての孤立した導体も静電容量を示し、ここでは自己静電容量と呼びます。これは、孤立した導体の電位を1測定単位、たとえば1ボルト上げるために導体に追加する必要がある電荷の量によって測定されます。^[4]この電位の基準点は、無限半径の理論上の中空導体球であり、この球の中心に導体があります。

導体の自己容量は電荷と電位の比によって定義されます。 ここで $${\displaystyle C={\frac {q}{V}},}$$

• ${\textstyle q}$起訴は保留中である、
• ${\textstyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\sigma }{r}}\,dS}$電位は
• ${\textstyle \sigma }$表面電荷密度、
• ${\textstyle dS}$導体の表面上の微小な面積要素であり、その面積にわたって表面電荷密度が積分される。
• ${\textstyle r}$は導体上の固定点Mまでの長さであり、${\textstyle dS}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$真空の誘電率です。

この方法を用いると、自由空間（つまり他の電荷分布から遠く離れた場所）にある半径の導電性球の自己容量は次のようになる： ^[2]${\textstyle R}$ $${\displaystyle C=4\pi \varepsilon _{0}R.}$$

自己容量の値の例は次のとおりです。

• ヴァンデグラフ発電機の上部の「プレート」、通常は半径20cmの球の場合：22.24 pF、
• 地球：約710μF。[ ^5]

コイルの巻線間容量は自己容量と呼ばれることもありますが^[6]、これは別の現象です。これは実際にはコイルの個々の巻線間の相互容量であり、浮遊容量または寄生容量の一種です。この自己容量は高周波では重要な考慮事項です。コイルのインピーダンスを変え、並列共振を引き起こします。多くのアプリケーションでは、これは望ましくない効果であり、回路の正常な動作の上限周波数を設定します。^[要出典]

一般的な形式は平行板コンデンサで、これは互いに絶縁された 2 つの導電板で構成され、通常は誘電体を挟んでいます。平行板コンデンサでは、静電容量は導電板の表面積にほぼ比例し、板間の分離距離に反比例します。

プレート上の電荷が で、 がプレート間の電圧を与える場合、静電容量はで与えられ 、電圧と電流の関係 を与えます。 ここでは電圧の瞬間的な変化率、 は静電容量の瞬間的な変化率です。ほとんどのアプリケーションでは、時間の経過に伴う静電容量の変化は無視できるため、式は次のようになります。 ${\textstyle +q}$${\textstyle -q}$${\textstyle V}$${\textstyle C}$$${\displaystyle C={\frac {q}{V}},}$$$${\displaystyle i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}}+V{\frac {dC}{dt}},}$$${\textstyle {\frac {dv(t)}{dt}}}$${\textstyle {\frac {dC}{dt}}}$$${\displaystyle i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}},}$$

コンデンサに蓄えられたエネルギーは、仕事を積分することによって求められます。 ${\textstyle W}$$${\displaystyle W_{\text{charging}}={\frac {1}{2}}CV^{2}.}$$

上記の議論は、サイズと形状は任意ですが、2 つの導体プレートの場合に限定されています。定義は、2 つ以上の帯電プレートがある場合、または 2 つのプレートの正味電荷がゼロでない場合は適用されません。このケースを処理するために、ジェームズ クラーク マクスウェルは電位係数 を導入しました。3 つの (ほぼ理想的な) 導体に電荷 が与えられた場合、導体 1 の電圧は で与えられ 、他の電圧についても同様です。ヘルマン フォン ヘルムホルツとウィリアム トムソン卿は、電位係数が対称であることを示しました。つまり、 などです。したがって、システムは、次のように定義される エラスタンス マトリックスまたは逆容量マトリックスと呼ばれる係数の集合で記述できます。${\displaystyle C=Q/V}$${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3}}$$${\displaystyle V_{1}=P_{11}Q_{1}+P_{12}Q_{2}+P_{13}Q_{3},}$$${\displaystyle P_{12}=P_{21}}$$${\displaystyle P_{ij}={\frac {\partial V_{i}}{\partial Q_{j}}}.}$$

このことから、2つの物体間の相互静電容量は、総電荷を解き、を使用して定義することができます^[7]。 ${\displaystyle C_{m}}$${\textstyle Q}$${\displaystyle C_{m}=Q/V}$

$${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{(P_{11}+P_{22})-(P_{12}+P_{21})}}.}$$

実際のデバイスでは、2 つの「プレート」のそれぞれに完全に等しく反対の電荷が保持されることはありません。そのため、コンデンサで報告されるのは相互静電容量です。

係数の集合は静電容量行列^{[8] [9] [10]}として知られており、弾性行列の 逆行列である。${\displaystyle C_{ij}={\frac {\partial Q_{i}}{\partial V_{j}}}}$

電子回路で使用されるコンデンサーの大部分の静電容量は、一般にファラッドよりも数桁小さい。静電容量の最も一般的な単位は、マイクロファラッド(μF)、ナノファラッド(nF)、ピコファラッド(pF) であり、超小型回路ではフェムトファラッド(fF) である。一部のアプリケーションでは、数百ファラッドにもなるはるかに大きなスーパーキャパシターも使用され、寄生容量要素はフェムトファラッド未満になることがある。歴史的な文献では、ファラッドの別の古い分数、たとえばマイクロファラッド (μF) には「mf」や「mfd」、ピコファラッド (pF) には「mmf」、「mm​​fd」、「pfd」、「μμF」が使用されている。^{[11] [12]}

導体の形状と導体間の絶縁体の誘電特性が分かっていれば、静電容量を計算できます。静電容量は重なり合う面積に比例し、導電シート間の距離に反比例します。シート同士が近いほど、静電容量は大きくなります。

一例として、距離 で隔てられた2 つの平行板 (ともに面積 ) で構成されたコンデンサの静電容量が挙げられます 。が の最小弦に対して十分に小さい場合、 が高精度で成立します。 ${\textstyle A}$${\textstyle d}$${\textstyle d}$${\textstyle A}$$${\displaystyle \ C=\varepsilon {\frac {A}{d}};}$$

$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r},}$$

どこ

• ${\textstyle C}$静電容量（ファラッド単位）です。
• ${\textstyle A}$2枚のプレートが重なり合う面積（平方メートル）です。
• ${\textstyle \varepsilon _{0}}$は電気定数 （ ）である。${\textstyle \varepsilon _{0}\approx 8.854\times 10^{-12}~\mathrm {F{\cdot }m^{-1}} }$
• ${\textstyle \varepsilon _{r}}$プレート間の物質の比誘電率（誘電率ともいう） （${\textstyle \varepsilon _{r}\approx 1}$空気の場合）であり、
• ${\textstyle d}$プレート間の距離（メートル単位）。

dがプレート上の他の寸法に比べて小さく、コンデンサ領域の電界が均一で、周囲のいわゆる フリンジ電界が静電容量に与える寄与が小さい場合、この式は良好な近似値となります。

静電容量の式とコンデンサに蓄えられるエネルギーの上記の式を組み合わせると、平板コンデンサの場合、蓄えられるエネルギーは次のようになります。 はエネルギー (ジュール単位)、は静電容量 (ファラッド単位)、 は電圧 (ボルト単位) です。 $${\displaystyle W_{\text{stored}}={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {A}{d}}V^{2}.}$$${\textstyle W}$${\textstyle C}$${\textstyle V}$

隣接する 2 本の導体はいずれもコンデンサとして機能しますが、導体が長距離にわたって接近していたり​​、広い面積にわたって接近していない限り、静電容量は小さくなります。この (多くの場合は不要な) 静電容量は、寄生静電容量または浮遊静電容量と呼ばれます。浮遊静電容量により、本来は分離された回路間で信号が漏れる可能性があり (クロストークと呼ばれる効果)、高周波での回路の適切な機能を制限する要因となる場合があります。

増幅回路の入力と出力の間の浮遊容量は、フィードバックの経路を形成し、アンプの不安定性や寄生振動を引き起こす可能性があるため、問題となることがあります。解析目的では、この容量を、入力対接地容量 1 つと出力対接地容量 1 つを組み合わせたものに置き換えると便利なことがよくあります。入力対出力容量を含む元の構成は、しばしば π 構成と呼ばれます。この置き換えを行うには、ミラーの定理を使用できます。ミラーの定理では、2 つのノードのゲイン比が⁠1/け⁠、2つのノードを接続するインピーダンスZは、 ⁠ず/1 − ケ⁠最初のノードとグランド間のインピーダンスと⁠クウェート/1 の⁠ 2番目のノードとグランド間のインピーダンス。インピーダンスは静電容量に反比例して変化するため、ノード間静電容量Cは、入力からグランドまでの静電容量KCと、⁠（K  − 1）C/け⁠出力からグランドへ。入力から出力へのゲインが非常に大きい場合、等価入力からグランドへのインピーダンスは非常に小さくなりますが、出力からグランドへのインピーダンスは基本的に元の（入力から出力への）インピーダンスに等しくなります。

システムの静電容量を計算することは、 3 次元空間に埋め込まれた導体の 2 次元表面上の定電位でラプラス方程式 を解くことと同じです。これは対称性によって簡略化されます。より複雑なケースでは、基本関数による解はありません。 ${\textstyle \nabla ^{2}\varphi =0}$${\textstyle \varphi }$

平面の場合、解析関数を使用して異なるジオメトリを相互にマッピングできます。シュワルツ-クリストッフェル マッピングも参照してください。

コンデンサに蓄えられたエネルギー (ジュール単位) は、電荷をコンデンサに押し込む、つまりコンデンサを充電するために必要な仕事に等しいです。静電容量C のコンデンサが、一方のプレートに電荷 + q を保持し、もう一方のプレートに電荷 - q を保持しているとします。電位差V = q / Cに逆らって、小さな電荷要素 d q を一方のプレートからもう一方のプレートに移動させるには、仕事 d Wが必要です。 ここで、Wはジュール単位で測定された仕事、qはクーロン単位で測定された電荷、C はファラッド単位で測定された静電容量です。 $${\displaystyle \mathrm {d} W={\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q,}$$

コンデンサに蓄えられたエネルギーは、この式を積分することで求められます。電荷のない静電容量（ q = 0 ）から始めて、プレートに電荷 + Qと − Qが蓄積されるまで、一方のプレートからもう一方のプレートに電荷を移動させるには、仕事W が必要です。 $${\displaystyle W_{\text{charging}}=\int _{0}^{Q}{\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C}}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}=W_{\text{stored}}.}$$

量子ドットなどのナノスケール誘電体コンデンサの静電容量は、従来の大型コンデンサの方式とは異なる場合があります。特に、従来のコンデンサで電子が受ける静電ポテンシャル差は、従来のコンデンサに存在する統計的に多数の電子に加えて、金属電極の形状とサイズによって空間的に明確に定義され、固定されています。しかし、ナノスケールコンデンサでは、電子が受ける静電ポテンシャルは、デバイスの電子特性に寄与するすべての電子の数と位置によって決まります。このようなデバイスでは、電子の数が非常に少ないため、デバイス内の等電位面の空間分布は極めて複雑になります。

接続された、つまり「閉じた」単一電子デバイスの静電容量は、接続されていない、つまり「開いた」単一電子デバイスの静電容量の 2 倍です。^[23]この事実は、より根本的には、単一電子デバイスに蓄積されたエネルギーに起因します。その「直接分極」相互作用エネルギーは、電子の存在によるデバイス自体の分極電荷と電子の相互作用と、デバイスに分極電荷を形成するために必要なポテンシャルエネルギーの量 (デバイスの誘電体内の電荷と電子によるポテンシャルとの相互作用) に等しく分割できます。^[24]

少数電子デバイスの「量子容量」の導出には、N粒子系の熱力学的化学ポテンシャルが関係し、これは次のように表される。 $${\displaystyle \mu (N)=U(N)-U(N-1),}$$

エネルギー項はシュレーディンガー方程式の解として得られる。静電容量の定義は、 電位差 $${\displaystyle {1 \over C}\equiv {\Delta V \over \Delta Q},}$$$${\displaystyle \Delta V={\Delta \mu \, \over e}={\mu (N+\Delta N)-\mu (N) \over e}}$$

個々の電子を追加または除去することでデバイスに適用することができ 、$${\displaystyle \Delta N=1}$$$${\displaystyle \Delta Q=e.}$$

デバイスの「量子容量」は^[25] $${\displaystyle C_{Q}(N)={\frac {e^{2}}{\mu (N+1)-\mu (N)}}={\frac {e^{2}}{E(N)}}.}$$

この「量子容量」の表現は、 と書くことができます。 これは、導入部で説明した従来の表現とは異なります。ここで、蓄積された静電ポテンシャルエネルギー は、 ⁠ の係数で表されます。$${\displaystyle C_{Q}(N)={e^{2} \over U(N)},}$$${\displaystyle W_{\text{stored}}=U}$$${\displaystyle C={Q^{2} \over 2U},}$$1/2⁠と。 ${\displaystyle Q=Ne}$

しかし、純粋に古典的な静電相互作用の枠組みの中では、⁠1/2⁠ は、コンデンサを充電するときに行われる仕事を含む従来の定式化における積分の結果であり、 $${\displaystyle W_{\text{charging}}=U=\int _{0}^{Q}{\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q,}$$

これは、多数の電子または金属電極を含むシステムでは適切であるが、少数の電子システムでは適切ではない。積分は一般に合計になる。静電容量と静電相互作用エネルギーの式を簡単に組み合わせ て 、 ${\displaystyle \mathrm {d} q=0}$${\displaystyle \mathrm {d} q\to \Delta \,Q=e}$$${\displaystyle Q=CV}$$$${\displaystyle U=QV,}$$$${\displaystyle C=Q{1 \over V}=Q{Q \over U}={Q^{2} \over U},}$$

これは量子容量に似ています。より厳密な導出が文献で報告されています。^[26]特に、デバイス内の空間的に複雑な等電位面の数学的課題を回避するために、各電子が経験する平均静電ポテンシャルが導出に利用されます。

数学的な違いは、より根本的に理解できるかもしれない。孤立したデバイス（自己容量）のポテンシャルエネルギーは、下限では「接続された」デバイスに蓄えられたエネルギーの2倍である。が大きくなると、となる。^[24]したがって、静電容量の一般的な表現は次のようになる。 ${\displaystyle U(N)}$${\displaystyle N=1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle U(N)\to U}$$${\displaystyle C(N)={(Ne)^{2} \over U(N)}.}$$

量子ドットなどのナノスケール デバイスでは、「コンデンサ」はデバイス内の分離された、または部分的に分離されたコンポーネントであることがよくあります。ナノスケール コンデンサとマクロ (従来の) コンデンサの主な違いは、過剰電子 (デバイスの電子動作に寄与する電荷キャリア、つまり電子) の数と、金属電極の形状とサイズです。ナノスケール デバイスでは、金属原子で構成されるナノワイヤは、通常、マクロ (バルク材料) の対応するものと同じ導電性特性を示しません。

電子デバイスや半導体デバイスでは、端子間の過渡電流または周波数依存電流に伝導成分と変位成分の両方が含まれます。伝導電流は電荷キャリア（電子、正孔、イオンなど）の移動に関連し、変位電流は時間とともに変化する電界によって発生します。キャリアの輸送は電界と、キャリアのドリフトと拡散、トラッピング、注入、接触関連効果、衝撃イオン化などの多くの物理現象の影響を受けます。その結果、デバイスのアドミタンスは周波数に依存し、静電容量の単純な静電容量式は適用できません。静電容量のより一般的な定義（静電容量式を含む）は次のとおりです。^[27] ここで、はデバイスのアドミタンス、は角周波数です。 ${\displaystyle C=q/V,}$ $${\displaystyle C={\frac {\operatorname {Im} (Y(\omega ))}{\omega }},}$$${\displaystyle Y(\omega )}$${\displaystyle \omega }$

一般的に、静電容量は周波数の関数です。高周波数では、静電容量は一定値に近づき、端子の形状とデバイス内の誘電体含有量によって決まる「幾何学的」静電容量に等しくなります。Steven Laux の論文^[27]では、静電容量計算の数値手法についてレビューしています。特に、静電容量は、ステップ状の電圧励起に応答する過渡電流のフーリエ変換によって計算できます。 $${\displaystyle C(\omega )={\frac {1}{\Delta V}}\int _{0}^{\infty }[i(t)-i(\infty )]\cos(\omega t)dt.}$$

通常、半導体デバイスの静電容量は正です。しかし、一部のデバイスや特定の条件（温度、印加電圧、周波数など）では、静電容量が負になることがあります。ステップ状の励起に対する過渡電流の非単調な挙動は、負の静電容量のメカニズムとして提案されています。^[28]負の静電容量は、さまざまなタイプの半導体デバイスで実証され、研究されてきました。^[29]

静電容量計は、主に個別のコンデンサの静電容量を測定するために使用される電子テスト機器です。ほとんどの目的およびほとんどの場合、コンデンサは回路から切り離されている必要があります。

多くの DVM (デジタル電圧計) には静電容量測定機能があります。これらは通常、テスト対象のコンデンサを既知の電流で充電および放電し、結果として生じる電圧の上昇率を測定することで動作します。上昇率が遅いほど、静電容量は大きくなります。DVM は通常、ナノファラッドから数百マイクロファラッドまでの静電容量を測定できますが、より広い範囲も珍しくありません。また、既知の高周波 交流電流をテスト対象のデバイスに流し、その両端に生じる電圧を測定することで静電容量を測定することもできます (極性コンデンサでは機能しません)。

より高度な計測器では​​、テスト対象のコンデンサをブリッジ回路に挿入するなどの他の技術が使用されます。ブリッジの他の脚の値を変更することで (ブリッジのバランスをとるため)、未知のコンデンサの値を決定します。静電容量の測定を間接的に使用するこの方法により、より高い精度が保証されます。ケルビン接続やその他の注意深い設計技術を使用することで、これらの計測器は通常、ピコファラッドからファラッドまでの範囲でコンデンサを測定できます。

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