二元的合理性

キッチン用分銅。2ポンドから1/64ポンド（1/4オンス）まで のポンドの2分数単位で計測できます。

多くの伝統的な重量と測定システムは、繰り返し半分にするという考えに基づいており、単位の小数を測定する際に二進有理数を生成します。インチは、小数分割ではなく、通常二進有理数で分割されます。^{[ 1 ]}ガロンを半ガロン、クォート、パイント、カップに分割するのも二進法です。^{[ 2 ]}古代エジプト人は、分母が最大64の二進有理数を使用して測定していました。^{[ 3 ]}同様に、インダス文明の重量システムは、大部分が繰り返し半分にするという考えに基づいています。人類学者のヘザー・M・L・ミラーは、「半分にすることは天秤を使った比較的簡単な操作であり、この時代の多くの重量システムが二進法を使用していたのはそのためだろう」と書いています。^{[ 4 ]}

二進有理数は、多くのコンピュータが直接操作できる小数の一種として、コンピュータ科学の中心的存在です。 ^{[ 5 ]}特に、コンピュータで使用されるデータ型として、浮動小数点数は、正または負の2のべき乗を乗じた整数として定義されることがよくあります。IEEE浮動小数点データ型などの浮動小数点形式で正確に表現できる数は、表現可能数と呼ばれます。ほとんどの浮動小数点表現では、表現可能数は二進有理数のサブセットです。^{[ 6 ]}固定小数点データ型についても同様で、ほとんどの場合、暗黙的に2のべき乗を使用します。^{[ 7 ]}二進有理数を用いた計算の単純さから、二進有理数は区間演算を用いた正確な実数計算にも使用され、^{[ 8 ]}計算可能数のいくつかの理論モデルの中心的存在となっています。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

ランダムなビットからランダム変数を一定時間内に生成することは、その変数が有限個の結果を持ち、その確率がすべて二進有理数である場合に限り可能です。確率が二進数でないランダム変数については、その確率を二進有理数で近似するか、時間自体がランダムで無制限なランダム生成プロセスを使用する必要があります。 ^{[ 12 ]}

イゴール・ストラヴィンスキー^の「^春の祭典」から、³ _16、2 ^16、3 _16、2 8 の_拍子記号を示す₅小節

西洋音楽記譜法における拍子記号は、伝統的に分数に似た形式（例：² _2、4 ^{4、6 8）で表記されるが、[ 13 ]}_譜表の上段^と_下段^の数字を区切る横線は、拍子記号を譜表から別々に表記する場合、通常は省略される。分数として、拍子記号は一般的に二分法であるが、[ ^{14 ]二}分法でない拍子記号も使用されている。^{[ 15 ]}分数として解釈される拍子記号の数値は、全音符の分数として小節の長さを表す。分子は小節あたりの拍数を表し、分母は各拍の長さを表す。^{[ 13 ] [ 14 ]}

ジャン・ピアジェの研究に基づく、分数の概念の発達に関する児童理論では、半分にすることや繰り返し半分にすることによって生じる分数は、発達する最も初期の分数の形態の一つである。^{[ 16 ]}この分数の概念の発達段階は「アルゴリズム的半分化」と呼ばれている。^{[ 17 ]}これらの数の加算と減算は、整数を2倍にしたり、半分にしたり、加算したり、減算したりするステップだけで実行できる。対照的に、より一般的な分数の加算と減算では、共通分母に到達するために整数の乗算と因数分解が必要となる。したがって、二分分数は、より一般的な分数よりも生徒にとって計算しやすい場合がある。^{[ 18 ]}

二進有理数は加算、減算、乗算については閉じているが除算については閉じていないため、環ではあるが体ではない。^{[ 26 ]}二進有理数の環は次のように表される。${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$つまり、整数係数を持つ多項式を引数 1/2 で評価することによって生成できるということです。^{[ 27 ]}環として、二進有理数は有理数の部分環であり、整数のオーバー環です。 ^{[ 28 ]}代数的には、この環は2 のべき乗の集合に関する整数の局所化です。^{[ 29 ]}

二進有理数は、実数の部分環を形成するだけでなく、二進数の部分環も形成します。二進数は、二進小数点の右側では有限ですが、左側では無限に広がる可能性のある二進表現から定義できる数の体系です。二進数には、二進有理数だけでなく、すべての有理数が含まれます。二進有理数を二進数に埋め込んでも、二進有理数の算術は変わりませんが、実数の部分環として持っているものとは異なる位相構造になります。実数の場合と同様に、二進有理数は二進数の稠密な部分集合を形成し、^{[ 30 ]}有限の二進展開を持つ二進数の集合です。すべての二進数は、二進整数と二進有理数の和に分解できます。この意味では、二進有理数は2進数の小数部分を表すことができるが、この分解は一意ではない。 ^{[ 31 ]}

1 を法とする二進有理数の加算（商群）${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]/\mathbb {Z} }$（整数による二進有理数の）はプリューファー2群を形成する。^{[ 32 ]}

二進有理数の加算と減算演算のみを考慮すると、それらは加法的アーベル群の構造を持つ。ポントリャーギン双対性は、元の群の指標、複素数の乗法群への群準同型、および双対群演算としての点ごとの乗法を要素とする双対群を構成することによって、アーベル群を理解する方法である。このようにして構成された加法的二進有理数の双対群は、位相群としても見ることができる。それは二進ソレノイドと呼ばれ、実数と2進数の位相積に二進有理数を対角線に埋め込んだ商と同型である。^{[ 30 ]}これはプロトーラス、ソレノイド、および分解不可能な連続体の例である。^{[ 33 ]}

ミンコフスキーの疑問符関数は、有理数を二進有理数にマッピングする。

ドーベシィウェーブレット。二進有理数における非滑らかさの点を示す。

二進有理数は実数の稠密な部分集合であるため、数値順序付けによって稠密な順序を形成します。任意の2つの非有界可算稠密線形順序と同様に、カントールの同型定理^{[ 34 ]}により、二進有理数は有理数と順序同型です。この場合、ミンコフスキーの疑問符関数は、すべての有理数の集合と二進有理数の集合の間に順序保存全単射を提供します。 ^{[ 35 ]}

二進有理数は、ドーベシィウェーブレットの解析において、これらのウェーブレットのスケーリング関数が滑らかでない点の集合として重要な役割を果たします。 ^{[ 26 ]}同様に、二進有理数は、エノン写像のパラメータ空間における安定点と不安定点の境界の不連続性をパラメータ化します。^{[ 36 ]}

単位区間からそれ自身への区分的線形同相写像のうち、傾きが 2 のべき乗で、二進有理数のブレークポイントを持つものは、関数合成の演算の下で群を形成する。これはトンプソン群であり、無限だが有限に表示可能な単純群の最初の既知の例である。^{[ 37 ]}同じ群は、根付き二分木への作用^{[ 38 ]}、または単位区間内の二進有理数への作用^{[ 32 ]によっても表現できる。}

逆算数学では、実数を構成する一つの方法は、単項数から二項有理数への関数として実数を表現することです。ここで、引数に対するこれらの関数の値は${\displaystyle i}$分母が の二項有理数である$2i$これは与えられた実数を近似する。このように実数を定義することで、数学解析の多くの基本的な結果を「実行可能解析」（BTFA）と呼ばれる2階算術の限定された理論内で証明することができる。^{[ 39 ]}

超現実数は、すべての有限二進有理数を生成することから始まり、新しい奇妙な種類の無限数、無限小数、その他の数を生成する反復構成原理によって生成されます。^{[ 40 ]}この数体系は組み合わせゲーム理論の基礎であり、二進有理数は、特定の組み合わせゲームの値の集合としてこの理論で自然に現れます。^{[ 41 ] [ 42 ] [ 19 ]}

融合数は、二進有理数の部分集合であり、集合の閉包である。${\displaystyle \{0\}}$作戦の下で${\displaystyle x,y\mapsto (x+y+1)/2}$ペアに限定${\displaystyle x,y}$と${\displaystyle |xy|<1}$それらは整列しており、その順序タイプはイプシロン数に等しい。$\displaystyle \varepsilon _{0}}$各整数について${\displaystyle n}$より小さい融点番号${\displaystyle n}$形式は${\displaystyle n+1/2^{k}}$. 存在${\displaystyle k}$各${\displaystyle n}$ペアノ算術で^は証明できない[ ^{43 ]}および${\displaystyle k}$の関数として急速に成長する${\displaystyle n}$そのため${\displaystyle n=3}$（クヌースの大きな数を表す上向き矢印表記では）すでにより大きい${\displaystyle 2\uparrow ^{9}16}$[ ^{44 ]​}

ウリゾーンの補題の通常の証明では、補題から分離関数を構築するために二項分数を利用する。