2つの二項関数の積を求めるための記憶法
FOIL法 FOIL ルールの視覚的表現。色付きの線はそれぞれ、乗算する必要がある 2 つの項を表します。
タイプ 方法 分野 初等代数 、 初等算数 声明 分配法則 を使用して 代数式 内の2 つの二 項式 を乗算する手法 。 最初に述べたのは ウィリアム・ベッツ 最初に述べられたのは 1929年 ; 95年前 （ 1929年 ）
初等代数学 において 、 FOILは 2つの二項式 を掛け合わせる標準的な方法の 記憶法 である [1] 。そのため、この方法は FOIL法 と呼ばれることもある。FOIL という 単語は 、積の4つの項の
頭字語 である。
最初 （各二項式の「最初の」項を掛け合わせます） 外側 （「外側」の項が乗算されます。つまり、最初の二項式の最初の項と 2 番目の二項式の 2 番目の項が乗算されます） 内部 （「内部」の項が乗算されます - 最初の二項式の 2 番目の項と 2 番目の二項式の 1 番目の項） 最後 （各二項式の「最後の」項が乗算されます） 一般的な形式は
（ 1つの + b ） （ ｃ + d ） =
1つの ｃ
⏟
初め
+
1つの d
⏟
外
+
b ｃ
⏟
内部
+
b d
⏟
最後
。
{\displaystyle (a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.}
a は 「最初の」項であると同時に「外側の」項であり、 b は「最後の」項であると同時に「内側の」項であるなどであることに注意してください 。合計における 4 つの項の順序は重要ではなく、FOIL という単語の文字の順序と一致する必要はありません。
歴史 FOIL法は、分配法則 を用いて代数式を掛け合わせるより一般的な方法の特殊なケースである 。FOIL という言葉は もともと、 高校生が代数を学ぶための 記憶術としてのみ意図されていた。この用語はウィリアム・ベッツの1929年の著書 『今日の代数』 に登場し、次のように述べている。 [2]
... 最初の項、外側の項、内側の項、最後の項。(上記の規則は、first、outer、inner、last の頭文字から FOIL という単語で覚えることもできます。)
ウィリアム・ベッツは当時アメリカで 数学改革 運動に積極的に参加し、 初等数学 に関する多くの著書を執筆し、「数学教育の改善に生涯を捧げた」 [3] 。
現在、米国の多くの学生や教育者は、「FOIL」という単語を「2つの二項式の積を展開する」という意味の動詞として使用しています。 [4]
例 この方法は、線形 二項式の乗算に最もよく使用されます 。たとえば、
(
x
+
3
)
(
x
+
5
)
=
x
⋅
x
+
x
⋅
5
+
3
⋅
x
+
3
⋅
5
=
x
2
+
5
x
+
3
x
+
15
=
x
2
+
8
x
+
15.
{\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}}
いずれかの二項式に減算 が含まれる場合 、対応する項は 否定され なければなりません。たとえば、
(
2
x
−
3
)
(
3
x
−
4
)
=
(
2
x
)
(
3
x
)
+
(
2
x
)
(
−
4
)
+
(
−
3
)
(
3
x
)
+
(
−
3
)
(
−
4
)
=
6
x
2
−
8
x
−
9
x
+
12
=
6
x
2
−
17
x
+
12.
{\displaystyle {\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}}
分配法則 FOIL法は分配法則を含む2段階のプロセスに相当する： [5]
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
=
a
(
c
+
d
)
+
b
(
c
+
d
)
=
a
c
+
a
d
+
b
c
+
b
d
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}}
最初のステップでは、( c + d ) が最初の二項式の加算に分配されます。 2 番目のステップでは、分配法則を使用して 2 つの項をそれぞれ簡略化します。 このプロセスでは、分配法則を合計 3 回適用する必要があることに注意してください。 FOIL 法とは対照的に、分配法則を使用する方法は、 三項式 以上の項が多い積に簡単に適用できます。
リバースFOIL FOIL規則は、2つの二項式の積を4つの単項式の和（同類項を結合すればそれ以下）に変換する 。 [ 6 ] 逆 のプロセスは 因数 分解 と呼ばれる。特に、上記の証明を逆に読むと、 グループ化による因数分解 と呼ばれる手法がわかる 。
FOIL の代替としてのテーブル 視覚記憶ツールは、任意の数の項を持つ多項式 のペアの FOIL 記憶法を置き換えることができます 。最初の多項式の項を左端に、2 番目の多項式の項を上端に置いた表を作成し、その表に乗算の積を入力します。FOIL 規則に相当する表は次のようになります。
×
c
d
a
a
c
a
d
b
b
c
b
d
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}}
これらが多項式( ax + b )( cx + d ) の場合 、与えられた次数の項は 対角線 に沿って加算することによって求められます。
×
c
x
d
a
x
a
c
x
2
a
d
x
b
b
c
x
b
d
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}}
それで
(
a
x
+
b
)
(
c
x
+
d
)
=
a
c
x
2
+
(
a
d
+
b
c
)
x
+
b
d
.
{\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}
( a + b + c )( w + x + y + z ) を掛け合わせると 、表は次のようになります。
×
w
x
y
z
a
a
w
a
x
a
y
a
z
b
b
w
b
x
b
y
b
z
c
c
w
c
x
c
y
c
z
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}}
表のエントリの合計は多項式の積です。つまり、
(
a
+
b
+
c
)
(
w
+
x
+
y
+
z
)
=
(
a
w
+
a
x
+
a
y
+
a
z
)
+
(
b
w
+
b
x
+
b
y
+
b
z
)
+
(
c
w
+
c
x
+
c
y
+
c
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}}
同様に、 ( ax 2 + bx + c )( dx 3 + ex 2 + fx + g ) を掛けるには、同じ表を書きます。
×
d
e
f
g
a
a
d
a
e
a
f
a
g
b
b
d
b
e
b
f
b
g
c
c
d
c
e
c
f
c
g
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &d&e&f&g\\\hline a&ad&ae&af&ag\\b&bd&be&bf&bg\\c&cd&ce&cf&cg\end{array}}}
対角線に沿った和は次のようになります。
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
(
d
x
3
+
e
x
2
+
f
x
+
g
)
=
a
d
x
5
+
(
a
e
+
b
d
)
x
4
+
(
a
f
+
b
e
+
c
d
)
x
3
+
(
a
g
+
b
f
+
c
e
)
x
2
+
(
b
g
+
c
f
)
x
+
c
g
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}}
一般化 FOIL 規則は、2 つ以上の被乗数または 2 つ以上の被乗数を持つ積の展開に直接適用することはできません。ただし、 結合法則 と再帰フォイル化を適用することで、このような積を展開できます。たとえば、
(
a
+
b
+
c
+
d
)
(
x
+
y
+
z
+
w
)
=
(
(
a
+
b
)
+
(
c
+
d
)
)
(
(
x
+
y
)
+
(
z
+
w
)
)
=
(
a
+
b
)
(
x
+
y
)
+
(
a
+
b
)
(
z
+
w
)
+
(
c
+
d
)
(
x
+
y
)
+
(
c
+
d
)
(
z
+
w
)
=
a
x
+
a
y
+
b
x
+
b
y
+
a
z
+
a
w
+
b
z
+
b
w
+
c
x
+
c
y
+
d
x
+
d
y
+
c
z
+
c
w
+
d
z
+
d
w
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}}
分配に基づく代替方法では、FOIL ルールを使用しませんが、覚えやすく適用しやすい場合があります。例:
(
a
+
b
+
c
+
d
)
(
x
+
y
+
z
+
w
)
=
(
a
+
(
b
+
c
+
d
)
)
(
x
+
y
+
z
+
w
)
=
a
(
x
+
y
+
z
+
w
)
+
(
b
+
c
+
d
)
(
x
+
y
+
z
+
w
)
=
a
(
x
+
y
+
z
+
w
)
+
(
b
+
(
c
+
d
)
)
(
x
+
y
+
z
+
w
)
=
a
(
x
+
y
+
z
+
w
)
+
b
(
x
+
y
+
z
+
w
)
+
(
c
+
d
)
(
x
+
y
+
z
+
w
)
=
a
(
x
+
y
+
z
+
w
)
+
b
(
x
+
y
+
z
+
w
)
+
c
(
x
+
y
+
z
+
w
)
+
d
(
x
+
y
+
z
+
w
)
=
a
x
+
a
y
+
a
z
+
a
w
+
b
x
+
b
y
+
b
z
+
b
w
+
c
x
+
c
y
+
c
z
+
c
w
+
d
x
+
d
y
+
d
z
+
d
w
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\end{aligned}}}
参照
参考文献
^ 「FOILメソッドレッスンを使用した簡素化」 。 2018年 5月10日 閲覧。 ^ ベッツ、ウィリアム（1929）、 今日の代数学（第1巻） 、ギンアンドカンパニー、p.291 。 ^ WDR（1937年11月）、「今日の代数学レビュー：初年度」、 数学教師 、 30 （7）、全国数学教育協議会：348 。 ^ McCrea, Emma (2019-05-01). 「すべての数学のレッスンを有効活用する：優れた数学教育をサポートする 6 つの原則 (すべてのレッスンを有効活用するシリーズ)」Crown House Publishing Ltd. ISBN 978-1-78583-421-9 。 ^ Khare, Apoorva; Lachowska, Anna (2015). 美しく、シンプル、正確、そしてクレイジー: 現実世界の数学。イェール大学出版局。p. 3. ISBN 978-0-300-19089-2 これは「FOIL」法と呼ばれることもあります。 本質的には、分配法則を2回適用するだけです。 。 ^ カークランド、カーラ C.; クリーブランド、チャン (2020-01-29)。Praxis Core For Dummies オンライン練習テスト付き。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p. 78。ISBN 978-1-119-62047-1 ... 逆 FOIL を使用すると、1 つの式から 2 つの項から成る式を掛け合わせるという逆の方向に進むことができます。これは因数分解の一種です。
さらに読む Steege, Ray; Bailey, Kerry (1997)。Schaum の Outline of Theory and Problems of Intermediate Algebra。Schaum の Outline Series。ニューヨーク: McGraw– Hill。ISBN 978-0-07-060839-9 。
