二項有理数

数学において、二項有理数または二項有理数は、分母が2 の累乗である分数として表現できる数です。たとえば、1/2、3/2、3/8 は二項有理数ですが、1/3 はそうではありません。これらの数は有限の二項表現を持つ唯一の数であるため、コンピューター サイエンスでは重要です。二項有理数は、度量衡や計測、音楽の拍子、初期の数学教育にも応用されています。これらは、任意の実数を正確に近似できます。

任意の 2 つの二項有理数の和、差、積は、別の二項有理数であり、簡単な式で表されます。ただし、1 つの二項有理数を別の二項有理数で割っても、必ずしも二項有理数になるわけではありません。数学的には、これは二項有理数が、整数の環と有理数の体の間にある環 を形成することを意味します。この環は と表記されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

高度な数学では、二進有理数は、二進ソレノイド、ミンコフスキーの疑問符関数、ドーブシーのウェーブレット、トムソン群、プリューファーの2-群、超実数、可融数の構成において中心的な役割を果たしています。これらの数は有理数と順序同型であり、 2進数と実数のサブシステムを形成し、 2進数の小数部を表すことができます。自然数から二進有理数への関数は、逆数学における数学的解析を形式化するために使用されてきました。

伝統的な度量衡システムの多くは、単位の分数を計測する際に二項有理数を生成する反復二分法の考え方に基づいています。インチは、通常、小数点ではなく二項有理数で分割されます。^[1]ガロンを半ガロン、クォート、パイント、カップに分割する慣習も二項です。^[2]古代エジプト人は、分母が最大 64 の二項有理数を使用して計測しました。^{[3]同様に、}インダス文明の重量システムは、大部分が反復二分法に基づいています。人類学者の Heather M.-L. Miller は、「二分法は梁秤を使った比較的簡単な操作であり、この時代の重量システムの多くが二進法を使用していたのはそのためである可能性が高い」と書いています。^[4]

二項有理数は、多くのコンピュータが直接操作できる小数の一種として、コンピュータサイエンスの中心的な存在です。 ^[5]特に、コンピュータが使用するデータ型として、浮動小数点数は、整数に 2 の正または負の累乗を掛けたものと定義されることがよくあります。IEEE浮動小数点データ型などの浮動小数点形式で正確に表現できる数は、その表現可能数と呼ばれます。ほとんどの浮動小数点表現では、表現可能数は二項有理数のサブセットです。^[6]同じことが固定小数点データ型にも当てはまり、ほとんどの場合、暗黙的に 2 の累乗を使用します。^[7]二項有理数による計算は簡単なため、区間演算を使用した正確な実数計算にも使用され、^[8]計算可能数のいくつかの理論モデルの中心となっています。^{[9] [10] [11]}

ランダムなビットから一定の時間内にランダム変数を生成することは、その変数が有限個の結果を持ち、その確率がすべて二項有理数である場合にのみ可能です。確率が二項有理数でないランダム変数の場合、その確率を二項有理数で近似するか、時間自体がランダムで無制限であるランダム生成プロセスを使用する必要があります。^[12]

イーゴリ・ストラヴィンスキーの『春の祭典』の
拍子記号を示す5小節³
₁₆、²
₁₆、³
₁₆、 そして²
₈

西洋音楽の記譜法における拍子記号は、伝統的に分数に似た形式で表記されます（例：²
₂、⁴
₄、 または⁶
₈）^[13]ただし、五線譜の一番上の数字と一番下の数字を分ける水平線は、五線譜とは別に拍子記号を書くときは通常省略される。分数としては一般に二分音符であるが^{[14] 、}二分音符でない拍子記号も使用されている。^[15]分数として解釈される拍子記号の数値は、小節の長さを全音符に対する分数として表す。分子は小節あたりの拍数を表し、分母は各拍の長さを表す。^{[13] [14]}

ジャン・ピアジェの研究に基づく分数概念の幼児期発達理論では、半分にしたり、繰り返し半分にしたりすることで生じる分数は、分数の最も初期の形態の一つであるとされている。^[16]分数概念の発達のこの段階は、「アルゴリズム的半分化」と呼ばれている。^[17]これらの数の加算と減算は、整数の倍数、半分、加算、減算のみの手順で実行できる。対照的に、より一般的な分数の加算と減算には、共通分母に達するための整数の乗算と因数分解が含まれる。したがって、2分数の方が、より一般的な分数よりも学生にとって計算しやすい可能性がある。^[18]

二項数は、整数を2の累乗で割った結果の有理数です。^[9]有理数は、最も簡単に言えば、が2の累乗であるとき二項有理数です。^{[19]二項有理数を定義する別の同等の方法は、}二進表現が終端である実数であるということです。^[9]${\displaystyle p/q}$${\displaystyle q}$

任意の2つの二項有理数の加算、減算、乗算は、次の式に従って別の二項有理数を生成する。^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{aligned}}}$

しかし、ある二項有理数を別の二項有理数で割った結果は必ずしも二項有理数になるわけではありません。 ^[21]たとえば、1と3はどちらも二項有理数ですが、1/3はそうではありません。

すべての整数とすべての半整数は二項有理数である。^[22]どちらも整数を2の累乗で割った値の定義を満たしている。すべての整数は1で割った整数（2の0乗）であり、すべての半整数は2で割った整数である。

あらゆる実数は、 2 項有理数によって任意に近い値に近似できる。特に、実数 について、 という形式の 2 項有理数を考える。ここで は任意の整数で、 は引数を整数に切り捨てる床関数を表す。これらの数はより下から の誤差の範囲内で近似するが、 を任意に大きく選択することで、この誤差を任意に小さくすることができる。実数のフラクタル部分集合の場合、この誤差境界は最適の定数倍以内である。つまり、これらの数に対して、定数倍より小さい誤差を持つ近似は存在しない。^{[23] [24]}正確な 2 項近似の存在は、すべての 2 項有理数の集合が実数直線上で稠密であると言うことで表現できる。^[22]より強く言えば、この集合は、分母が である 2 項有理数が実数直線上で均一に間隔を空けて配置されているという意味で、一様稠密である。 ^[9]${\displaystyle x}$${\textstyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \lfloor \dots \rfloor }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/2^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n/2^{i}}$${\displaystyle 1/2^{i}}$${\displaystyle 2^{i}}$

二項有理数とは、まさに有限の二進展開を持つ数である。^[9]二項有理数における二進展開は一意ではない。0以外の各二項有理数には、有限表現と無限表現がそれぞれ1つずつ存在する（末端の0は無視する）。例えば、0.11 ₂ = 0.10111... ₂となり、3/4には2つの異なる表現が与えられる。^{[9] [25]}二項有理数は、二項展開が一意ではない唯一の数である。^[9]

二項有理数は加算、減算、乗算に対しては閉じているが、除算に対しては閉じていないため、環ではあるが体ではない。^[26]二項有理数の環は と表記される場合があり、これは引数 1/2 で整数係数を持つ多項式を評価することによって生成できることを意味する。^[27]環として、二項有理数は有理数の部分環であり、整数の過剰環である。 ^[28]代数的には、この環は2 の累乗の集合に関する整数の局所化である。^[29]${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

二進有理数は、実数の部分環を形成するだけでなく、 2進数の部分環も形成します。2進数とは、2進小数点の右側には有限ですが、左側には無限に拡張できる2進表現から定義できる数体系です。2進数には、二進有理数だけでなく、すべての有理数が含まれます。二進有理数を2進数に埋め込むと、二進有理数の算術は変わりませんが、実数の部分環として持っているものとは異なる位相構造が与えられます。実数の場合と同様に、二進有理数は2進数の稠密な部分集合を形成し、^[30]有限の2進展開を持つ2進数の集合です。すべての2進数は、2進整数と二進有理数の和に分解できます。この意味では、二進有理数は2進数の小数部を表すことができるが、この分解は一意ではない。^[31]

1を法とする二項有理数の加算（二項有理数を整数で割った商群）は プリューファー2群を形成する。^[32]${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]/\mathbb {Z} }$

二項有理数の加算と減算の演算のみを考慮すると、加法アーベル群の構造が得られます。ポンチャギン双対性は、複素数の乗法群への群準同型を要素とする双対群を構築し、点ごとの乗算を双対群演算としてアーベル群を理解する方法です。このようにして構築された加法二項有理数の双対群は、位相群と見なすこともできます。これは二項ソレノイドと呼ばれ、実数と2進数の位相積を二項有理数の対角埋め込みで割ったものと同型です。^{[30]これは、}プロトーラス、ソレノイド、および分解不可能な連続体の例です。^[33]

二項有理数は実数の稠密な部分集合であるため、数値順序とともに稠密な順序を形成する。任意の2つの無限可算稠密線型順序と同様に、カントールの同型定理^[34]により、二項有理数は有理数と順序同型である。この場合、ミンコフスキーの疑問符関数は、すべての有理数の集合と二項有理数の集合の間に順序保存一対一の関係を提供する。 ^[35]

二項有理数は、ドーブシーウェーブレットのスケーリング関数が滑らかでない点の集合として、ドーブシーウェーブレットの解析において重要な役割を果たします。 ^{[26]同様に、二項有理数は、}エノンマップのパラメータ空間における安定点と不安定点の境界の不連続性をパラメータ化します。^[36]

単位区間からそれ自身への、2のべき乗の傾きと二項有理数ブレークポイントを持つ区分線型 同相写像の集合は、関数合成の操作の下で群を形成する。これはトンプソン群であり、無限だが有限に提示された単純群の最初の既知の例である。^{[37]同じ群は、根付き二分木への作用、 [38]}または単位区間内の二項有理数への作用によっても表すことができる。^[32]

逆数学では、実数を構築する方法の1つは、実数を一項数から二項有理数への関数として表すことであり、引数に対するこれらの関数の1つの値は、与えられた実数を近似する分母を持つ二項有理数である。このように実数を定義すると、数学的解析の基本的な結果の多くを、「実行可能解析」（BTFA）と呼ばれる制限された2階算術理論の範囲内で証明することができる。^[39]${\displaystyle i}$${\displaystyle 2^{i}}$

超実数は、すべての有限二項有理数を生成することから始まり、次に無限数、無限小数、その他の新しい奇妙な種類の数を生成するという反復構成原理によって生成されます。^{[40]この数体系は}組み合わせゲーム理論の基礎であり、二項有理数は、この理論では特定の組み合わせゲームの値の集合として自然に生じます。^{[41] [42] [19]}

可融数は二項有理数の部分集合であり、演算 による集合の閉包で、のペアに制限される。可融数は整列しており、順序型はイプシロン数に等しい。各整数 に対して、より大きい最小の可融数は の形式を持つ。各 に対してが存在することはペアノ算術では証明できない、^[43]であり、の関数として急速に増加するため、 に対して は（クヌースによる大きな数の上矢印記法では） 既に より大きい。^[44]${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle x,y\mapsto (x+y+1)/2}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle |xy|<1}$ ${\displaystyle \varepsilon_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1/2^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle 2\uparrow ^{9}16}$

ウリゾーンの補題の通常の証明では、補題から分離関数を構築するために二項分数が利用されます。