単位分数

単位分数は、分子が 1 である正の分数で、1/ nです。分数の分母の逆数(逆数)であり、分母は正の自然数でなければなりません。例としては、1/1、1/2、1/3、1/4、1/5 などがあります。物体を均等な部分に分割すると、各部分は全体の単位分数になります。

2 つの単位分数を掛け合わせると別の単位分数が生成されますが、他の算術演算では単位分数は保存されません。モジュラー算術では、単位分数を同等の整数に変換できるため、モジュラー除算を乗算に変換できます。すべての有理数は、個別の単位分数の合計として表すことができます。これらの表現は、古代エジプトの数学での使用に基づいてエジプト分数と呼ばれます。単位分数の無限和の多くは、数学的に意味があります。

幾何学では、単位分数は三角形群の曲率やフォード円の接線を特徴付けるために使用できます。単位分数は公平な割り算でよく使用され、このよく知られた用途は、他の分数の理解への初期ステップとして数学教育で使用されています。単位分数は、無差別原理のため、確率論でよく使用されます。また、組み合わせ最適化や水素スペクトル系列の周波数パターンの分析にも応用されています。

単位分数は、任意の正の自然数 の形式で表すことができる有理数です。したがって、単位分数は正の整数の逆数です。何かを均等に分割すると、各部分は全体の分数になります。^[1]$${\displaystyle {\frac {1}{n}},}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$

任意の2つの単位分数を掛け合わせると、別の単位分数の積が得られます。 ^[2] しかし、を加算したり、^[3]を減算したり、^[3]したり、 2つの単位分数を割ったりすると、通常は単位分数ではない結果が生成されます。 $${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$$

これらの式の最後が示すように、すべての分数は2つの単位分数の商として表すことができます。^[4]

モジュラー算術では、任意の単位分数を拡張ユークリッドの互除法を使用して同等の整数に変換できます。^{[5] [6]}この変換はモジュラー除算を実行するために使用できます。を法として数で割るには、単位分数を を法として同等の整数に変換し、その数を掛けます。^[7]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle y}$

より詳しくは、 が と互いに素であると仮定します（そうでない場合、 による除算はを法として定義されません）。最大公約数を求める拡張ユークリッドの互除法を使用して、ベズーの恒等式を満たす 整数およびを見つけることができます。 を 法として計算する場合、 は を法としてゼロになるため、削除できます。これにより が残ります。 つまり、 は のモジュラー逆数であり、 を で乗算すると 1 になる数です。同様に、^{[5] [6]}は であるため 、 による除算（ を法として）は、代わりに整数 を乗算することで実行できます。^[7]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle \displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle によって}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ $${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$

数学におけるいくつかの構成では、複数の単位分数を加算することによって組み合わせることがよくあります。

任意の正の有理数は、異なる単位分数の和として複数の方法で表すことができます。たとえば、

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

これらの和はエジプト分数と呼ばれています。古代エジプト文明では、より一般的な有理数の表記としてこれを使用していたためです。分数の可能な表現の中から選択し、そのような表現で計算するために古代人が使用した方法を分析することは、今日でも関心を集めています。 ^[8]エジプト分数の話題は、現代の数論でも関心を集めています。たとえば、エルデシュ-グラハム問題^[9]とエルデシュ-ストラウス予想^{[10]は単位分数の和に関するもので、}オーレの調和数の定義も同様です。^[11]

幾何学的群論では、三角形群は、関連する単位分数の和がそれぞれ1に等しいか、1より大きいか、1より小さいかによって、ユークリッド群、球状群、双曲型群に分類されます。^[12]

よく知られている無限級数の多くには、単位分数の項があります。これには次のものが含まれます。

• 調和級数 は、すべての正の単位分数の和である。この和は発散し、その部分和は の自然対数にオイラー・マスケローニ定数を加えたものに近似する。^[13] 1つおきの加算を減算に置き換えると、交代調和級数が生成され、その和は2 の自然対数になる。^[14]$${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$$
• ライプニッツのπの公式は^[15]である。 $${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\ cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$
• バーゼル問題は、二乗単位分数の和に関するものである。^[16] 同様に、アペリの定数は無理数であり、三乗単位分数の和である。^[17]$${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2 }}{6}}.}$$
• 二元幾何級数は^[18] $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$$

ヒルベルト行列は、番目の反対角線上の要素がすべて単位分数 に等しい正方行列です。つまり、 この行列の要素は たとえば、 です。この行列は、 逆行列のすべての要素が整数である という珍しい特性を持っています。 ^{[19]同様に、リチャードソン (2001) は、分母が}フィボナッチ数である単位分数を要素とする行列を定義しました。 ここで、 は番目のフィボナッチ数を表します。彼はこの行列をフィルベルト行列と呼び、整数逆行列を持つという同じ特性を持っています。^[20]${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1/i}$$${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$

2つの分数と は、（最小の意味で）互いに単位分数だけ異なることを意味する 場合、隣接しているといいます。 たとえば、と は隣接しています。しかし、差が単位分数である分数のペアの中には、この意味で隣接していないものもあります。たとえば、とは単位分数だけ異なりますが、 であるため隣接していません。^[21]${\displaystyle a/b}$${\displaystyle c/d}$$${\displaystyle ad-bc=\pm 1,}$$$${\displaystyle \left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.}$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$${\displaystyle 1\cdot 5-2\cdot 3=-1}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle ad-bc=3}$

この用語はフォード円の研究から来ています。フォード円は、与えられた分数で数直線に接し、その分数の分母の2乗を直径とする円のシステムです。分数とが隣接しているのは、それらのフォード円が接円である場合のみです。^[21]${\displaystyle a/b}$${\displaystyle c/d}$

数学教育では、分数は全体の等しい部分として視覚的に説明しやすいため、他の種類の分数よりも早く導入されることが多い。^{[22] [23]}単位分数の一般的な実用的な使用法は、食べ物を何人かで均等に分けることであり、このような公平な分割を行う練習は、生徒に単位分数を扱うことを教える標準的な教室の例である。^[24]

離散空間上の一様分布では、すべての確率は等しい単位分数である。無差別原理により、この形式の確率は統計計算で頻繁に発生する。^[25]

ジップの法則では、単位分数に関連する不等確率が発生します。これは、順序付けられたシーケンスから項目を選択する多くの観察された現象について、番目の項目が選択される確率が単位分数に比例することを述べています。^[26]${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$

組み合わせ最適化問題の研究では、ビンパッキング問題には、小数点以下のサイズを持つアイテムの入力シーケンスが含まれ、これらのアイテムは、容量（各ビンに配置されるアイテムの合計サイズ）が1であるビンに配置される必要があります。これらの問題の研究には、アイテムのサイズが単位分数である制限付きビンパッキング問題の研究が含まれています。^{[27] [28]}

この方法の動機の 1 つは、より一般的なビンパッキング方法のテストケースとしてです。もう 1 つは、ピンホイール スケジューリングの一種で、同じ長さのメッセージのコレクションをそれぞれ限られた数の通信チャネルで繰り返しブロードキャストする必要があり、各メッセージの繰り返しブロードキャストの開始時間の間には最大遅延があります。遅延がメッセージの長さの何倍にもなるアイテムは、割り当てられたチャネルのタイム スロットの少なくとも一部を占有する必要があるため、スケジューリング問題の解決策は、チャネルをビン、分数をアイテム サイズとする単位分数ビンパッキング問題の解決策からしか得られません。^[27]${\displaystyle k}$${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle 1/k}$

任意のアイテムサイズのビンパッキング問題でも、各アイテムサイズを次の大きな単位分数に切り上げて、単位分数サイズに特化したビンパッキングアルゴリズムを適用すると便利です。特に、調和ビンパッキング法はまさにこれを実行し、各ビンを単一の丸められた単位分数サイズのアイテムのみを使用してパックします。^[28]

水素原子が吸収または放出できる光子のエネルギーレベルは、リュードベリの公式によれば、2つの単位分数の差に比例する。この現象はボーア模型によって説明され、それによれば、水素原子の電子軌道のエネルギーレベルは単位分数の2乗に反比例し、光子のエネルギーは2つのレベルの差に量子化される。^[29]

アーサー・エディントンは、微細構造定数は単位分数であると主張した。彼は当初それを1/136と考えていたが、後に1/137に理論を変更した。この主張は、微細構造定数の現在の推定値が（有効数字6桁まで）1/137.036であることを考えると誤りである。^[30]

• 17匹の動物の継承パズル、単位分数への公平な分割を伴うパズル
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• 超比、1 に単位分数を加えたもの、音楽のハーモニーにおいて重要