乗算

乗算は、加算、減算、除算と並ぶ算術の4つの基本演算の1つです。乗算演算の結果は積と呼ばれます。乗算は、十字記号×、中線ドット演算子⋅、並置、またはプログラミング言語ではアスタリスク*で表されます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

整数の乗算は、繰り返し加算として考えることができます。つまり、2つの数の乗算は、一方の数（被乗数）をもう一方の数（乗数）と同じ数だけ加えることに相当します。これらの2つの数はどちらも因数と呼ばれます。これは、加算される項とは区別されます。

${\displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ 回}}}.}$

最初の要素が乗数なのか被乗数なのかは曖昧な場合があり、文脈によって異なる場合がある。例えば、次の式${\displaystyle 3\times 4}$は「3かける4」または「4の3つのグループ」と表現でき、乗算記号を で表記し、次のように評価できます。${\displaystyle 4+4+4}$3 は乗数ですが、「3 に 4 を掛ける」とも言え、その場合は 3 が被乗数になります。^{[ 3 ]}乗法の主な性質の 1 つは交換法則であり、この場合、4 を 3 回足すと 3 を 4 回足すのと同じ結果になることを示しています。したがって、乗数と被乗数の指定は乗法の結果に影響しません。^{[ 4 ] [ 5 ]}

この基本的な定義を体系的に一般化すると、整数（負の数を含む）、有理数（分数）、および実数の乗算が定義される。

乗算は、長方形の中に並べられた物体の数を数えること（整数の場合）や、辺の長さが与えられた長方形の面積を計算することとして視覚化することもできます。長方形の面積は、どちらの辺を先に測っても変わりません。これは交換法則によるものです。

2つの測定値（または物理量）の積は、新しいタイプの測定値（または新しい量）であり、通常は派生単位を持ちます。例えば、長方形の2辺の長さ（メートルまたはフィート）を掛け合わせると、その面積（平方メートルまたは平方フィート）が得られます。このような積は、次元解析の対象となります。

乗算の逆演算は除算です。例えば、 4に3を掛けると12になるので、12を3で割ると4になります。実際、3を掛けた後に3で割ると、元の数に戻ります。0以外の数をそれ自身で割ると1になります。

いくつかの数学的概念は、乗算という基本的な考え方を拡張したものです。数列の積、ベクトルの乗算、複素数、行列などは、その例です。これらのより高度な概念は、行列や一部のベクトルの乗算において非可換性になったり、複素数の符号が変わったりするなど、それぞれ独自の方法で基本的な性質に影響を与える傾向があります。

算術では、乗算は乗算記号（×または）を使って表記されることが多い。${\displaystyle \times }$）因子間の（つまり、中置記法で）。^{[ 6 ]}例えば、

${\displaystyle 2\times 3=6,}$（「2かける3は6」）

${\displaystyle 3\times 4=12,}$

${\displaystyle 2\times 3\times 5=6\times 5=30,}$

$2×2×2×2×2＝32。$

十字記号は1618年にエドワード・ライトによって初めて使用された^{[ 7 ]} 。乗算を表す他の数学記号もある。

• 乗算は、中央のドットでも表されます。${\displaystyle 5\cdot 2}$. ^{[ 6 ] [ 8 ] [ 7 ]}中点は、乗算記号 × が一般的な数学変数xと混同されやすいため、1698 年に GW ライプニッツによって初めて使用されました^{[ 9 ]} 。中点表記、またはドット演算子は、現在、米国およびその他の国で標準となっています。ドット演算子文字が使用できない場合は、中点( · ) が使用されます。小数点としてコンマ(千の位の区切りとしてピリオド) を使用するヨーロッパおよびその他の国のほとんどでは、乗算記号または中点を使用して乗算を示します。歴史的に、英国およびアイルランドでは、中点が罫線に消えないように小数点として使用されることがあり、乗算にはピリオド (全点) が使用されていました。しかし、 1968年に技術省が小数点としてピリオドを使用するよう決定し^{[ 10 ]}、国際単位系（SI）が広く採用されて以来、この用法は現在ではランセットなどのより伝統的な雑誌でのみ見られます^{[ 11 ]}。 
• 代数学では、変数を含む乗算はしばしば並置として記述されます（例：${\displaystyle xy}$のために${\displaystyle x}$タイムズ${\displaystyle y}$または${\displaystyle 5x}$5回${\displaystyle x}$）は暗黙の乗算とも呼ばれます。この表記は、括弧で囲まれた数量にも使用できます（例：${\displaystyle 5(2)}$、${\displaystyle (5)2}$または${\displaystyle (5)(2)}$（5 × 2 の場合）^{[ 12 ]}この暗黙の乗算の使用は、連結された変数が別の変数の名前と一致する場合、括弧の前の変数名が関数名と混同される場合、または演算順序の正しい決定において曖昧さを引き起こす可能性があります。^{[ 13 ] [ 14 ]}
• ベクトルの乗算では、十字記号とドット記号が区別されます。十字記号は一般的に、 2 つのベクトルの外積を計算し、結果としてベクトルを得ることを表します。一方、ドット記号は、2 つのベクトルの内積を計算し、結果としてスカラーを得ることを表します。

コンピュータプログラミングでは、アスタリスク（例5*2：）が依然として最も一般的な表記法です。これは、歴史的にほとんどのコンピュータが乗算記号（例：または）を持たない小さな文字セット（ASCIIやEBCDICなど）に限定されていたのに対し、アスタリスクはすべてのキーボードに存在していたためです。^{[ 15 ]}この用法はFORTRANプログラミング言語に由来します。^{[ 16 ]} （現代のコンパイラでさえ、またはを乗算演算子として認識しません。）×⋅×⋅

乗算される数は一般に因数と呼ばれます（因数分解のように）。乗算される数は被乗数、乗算される数は乗数です。通常、乗数が先に置かれ、被乗数が後に置かれます。^{[ 17 ] [ 18 ]}ただし、最初の因数が被乗数、2番目の因数が乗数とみなされる場合もあります。また、乗算の結果は因数の順序に依存しないため、被乗数と乗数の区別は、非常に初歩的なレベルと、長乗算などの一部の乗算アルゴリズムでのみ有用です。したがって、一部の資料では、被乗数は因数の同義語とみなされています。^{[ 19 ]} 代数学では、変数または式の乗数である数（例：3）$3xy²$) は係数と呼ばれます。

乗算の結果を積と呼びます。一方の因数が整数の場合、積はもう一方の因数の倍数、または他の因数の積の倍数になります。したがって、$2×π$の倍数です${\displaystyle \pi }$そのまま${\displaystyle 5133\times 486\times \pi }$整数の積は、それぞれの因数の倍数です。例えば、15は3と5の積であり、3の倍数でもあり、5の倍数でもあります。

2つの数の積、または2つの数の乗算は、自然数、整数、有理数、実数、複素数、および四元数といった一般的な特殊なケースについて定義することができる。

2つの自然数の積

2つの自然数の積${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} }$は次のように定義されます。

$${\displaystyle r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ 回}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ 回}}}.}$$

2つの複素数の積

2 つの複素数は分配法則と事実によって乗算できます。${\displaystyle i^{2}=-1}$、 次のように：

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot cb\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}}$

複素数の乗算の幾何学的意味は、複素数を極座標で書き直すことで理解できる。

${\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }}$

さらに、

${\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },}$

そこから得られる

${\displaystyle (a\cdot cb\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.}$

幾何学的な意味としては、大きさは掛け合わされ、引数は足し合わされるということである。

鉛筆と紙を使って数を掛ける一般的な方法の多くは、小さな数（通常は0から9までの任意の2つの数）の積を暗記または参照した掛け算表を必要とします。しかし、農民の掛け算アルゴリズムと呼ばれる方法では、それは必要ありません。以下の例は、「筆算による掛け算」（「標準アルゴリズム」、「小学校の掛け算」）を示しています。

 23958233 × 5830 ——————————————— 00000000 ( = 23,958,233 × 0) 71874699 ( = 23,958,233 × 30) 191665864 ( = 23,958,233 × 800) + 119791165 ( = 23,958,233 × 5,000) ——————————————— 139676498390 ( = 139,676,498,390 )

ドイツなどの一部の国では、上記の乗算は同様に表現されますが、元の問題が1行に書かれ、乗数の最初の桁から計算が始まります。^{[ 20 ]}

23958233 · 5830 ——————————————— 119791165 191665864 71874699 00000000 ——————————————— 139676498390

小数点以下数桁を超える数の乗算を手作業で行うのは面倒で間違いやすい。対数の加算は乗算と等価であるため、このような計算を簡略化するために常用対数が発明された。計算尺を使えば、小数点以下3桁程度の精度で素早く乗算できるようになった。20世紀初頭には、マーチャントなどの機械式計算機が登場し、最大10桁の数の乗算を自動化した。現代の電子計算機や電子コンピュータの登場により、手作業による乗算の必要性は大幅に減少した。

過去のアルゴリズム

乗算の方法は、古代エジプト、ギリシャ、インド、中国の文明の文献に記録されている。

紀元前18,000年から20,000年頃のものとされるイシャンゴの骨は、中央アフリカの後期旧石器時代 に増殖の知識があったことを示唆しているかもしれないが、これは推測に過ぎない。^{[ 21 ]}

エジプト人

リンド数学パピルスに記録されているエジプトの整数と分数の乗算方法は、連続的な加算と倍数化によるものでした。たとえば、13と21の積を求めるには、21を3回倍数化して、2 × 21 = 42、4 × 21 = 2 × 42 = 84、8 × 21 = 2 × 84 = 168を得る必要がありました。その後、倍数化のシーケンスで見つかった適切な項を加算することで、完全な積を求めることができました。^{[ 22 ]}

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273。

バビロニア人

バビロニア人は、現代の十進法に類似した六十進法の位取り記数法を使用していた。^{[ 23 ]}そのため、バビロニアの乗算は現代の十進法の乗算と非常によく似ていた。60 × 60 の異なる積を記憶するのは比較的困難であったため、バビロニアの数学者は乗算表を使用した。これらの表は、ある主数nの最初の 20 倍数( n、2n、...、20n )のリストと、 10nの倍数(30n、40n、50n )のリストで構成されていた。^{[ 23 ]}すると、例えば53nのような六十進法の積を計算するには、表から計算した50nと3nを加えるだけでよかった。

中国

紀元前300年以前に書かれた数学書『周壁算経 』や『九章算術』では、乗算の計算は言葉で記述されているが、初期の中国の数学者たちは位取り加算、減算、乗算、除算を含む棒計算を使用していた。中国人は戦国時代末期にはすでに十進乗算表を使用していた。^{[ 24 ]}

現代的な方法

ヒンドゥー・アラビア数字体系に基づく現代の乗算方法は、ブラフマグプタによって初めて記述された。ブラフマグプタは、加算、減算、乗算、除算の規則を示した。当時プリンストン大学の数学教授であったヘンリー・バーチャード・ファインは、次のように記している。

インディアンは位取り十進法そのものの発明者であるだけでなく、そのシステムを用いた基本的な計算に関わるほとんどの過程の発明者でもある。彼らは加算と減算を現代と全く同じように行い、乗算は様々な方法で行い、その中には我々の方法も含まれているが、除算は扱いにくかった。^{[ 25 ]}

これらの位取り十進法アルゴリズムは、9世紀初頭にアル・フワーリズミーによってアラブ諸国に導入され、 13世紀にフィボナッチ によって西洋世界に普及した。 ^{[ 26 ]}

グリッド法

グリッド法、またはボックス法と呼ばれる掛け算の方法は、イングランドとウェールズの小学校、およびアメリカ合衆国の一部の地域で、多桁の掛け算の仕組みを理解させるために用いられています。例えば、34に13を掛ける場合、数字をグリッド上に並べると次のようになります。

そして、エントリを追加します。

同じ種類の数量のみ意味のある加算または減算が可能ですが、異なる種類の数量は問題なく乗算または除算できます。たとえば、それぞれ3つのビー玉が入った4つの袋は次のように考えることができます。^{[ 4 ]}

[4袋] × [1袋あたり3個のビー玉] = 12個のビー玉。

2つの測定値を掛け合わせると、その積は測定値の種類に応じて異なる型になります。その一般的な理論は次元解析によって説明されます。この解析は物理学で日常的に用いられていますが、金融やその他の応用分野にも応用されています。

物理学における一般的な例として、速度に時間を掛けると距離が得られるという事実が挙げられます。例えば：

時速50キロメートル × 3時間 = 150キロメートル。

この場合、時間単位は相殺され、積にはキロメートル単位のみが残ります。

単位を含む乗算のその他の例としては、次のものがあります。

2.5メートル × 4.5メートル = 11.25平方メートル

11メートル/秒 × 9秒 = 99メートル

1世帯あたり4.5人 × 20世帯 = 90人

乗算を繰り返すと、結果として得られる演算はべき乗と呼ばれます。例えば、2の3つの因数（2×2×2）の積は「2の3乗」であり、2³と表記されます。これは、^2に上付き文字の3が付いたものです。この例では、2が底、3が指数です。^{[ 33 ]}一般に、指数（または上付き文字）は、式の中に底が何回現れるかを示します。

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a}$

これは、基数aをn個掛け合わせることを意味します。この表記法は、乗法がべき乗結合法則を満たすことがわかっている場合に使用できます。

実数および複素数（例えば、自然数、整数、分数など）の乗算には、次のような性質があります。

交換法則

2 つの数を掛ける順序は関係ありません。^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}$

結合法則

乗算または加算のみを含む式は、演算の順序に関して不変です。^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z).}$

分配財産

乗法と加算に関して成り立つ。この恒等式は代数式を簡略化する上で非常に重要である。^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z.}$

識別要素

乗法の単位元は 1 です。1 を掛けたものは、それ自身になります。1 のこの性質は、単位元の性質として知られています。^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot 1=x.}$

0の所有物

どんな数でも0を掛けると0になります。これは乗法のゼロの性質として知られています。 ^{[ 34 ]}

${\displaystyle x\cdot 0=0.}$

否定

−1を任意の数に掛けると、その数の 加法逆数に等しくなります。

${\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}$、 どこ${\displaystyle (-x)+x=0.}$

−1かける−1は1です。

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1.}$

逆要素

0を除くすべての数xには乗法逆元が存在する。${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$、したがって${\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$[ ^{36 ]​}

秩序の維持

正の数による乗算では、次の順序が維持されます。

a > 0の場合、b > cならば、ab > ac である。

負の数を掛けると、順序が逆になります。

a < 0の場合、b > cならばab < ac となります。

複素数には、加算と乗算の両方と互換性のある順序はありません。^{[ 37 ]}

乗算演算を含む他の数学体系では、これらの性質をすべて備えていない場合があります。たとえば、行列と四元数では、乗算は一般に可換ではありません。^{[ 34 ]}フルヴィッツの定理は、八元数、六元数、三元数を含む次元が8 以上の超複素数では、乗算は一般に結合法則を満たさないことを示しています。^{[ 38 ]}

ジュゼッペ・ペアノは著書『算術原理、新手法の解説』の中で、自然数に関する公理に基づいて算術の公理を提案した。ペアノ算術には乗算に関する2つの公理がある。

${\displaystyle x\times 0=0}$

${\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}$

ここでS ( y ) はyの後継数、つまりy の後に続く自然数を表します。結合法則などのさまざまな性質は、これらの公理や帰納法を含むペアノ算術の他の公理から証明できます。例えば、 1 で表されるS (0) は乗法単位元です。

${\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.}$

整数の公理は、通常、自然数の順序対の同値類として整数を定義します。このモデルは、xとy を整数として扱う場合、( x , y ) をx − yと同等として扱うことに基づいています。したがって、(0,1) と (1,2) はどちらも −1 と同等です。このように定義された整数の乗法公理は次のとおりです。

${\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).}$

−1 × −1 = 1 という規則は、次のことから導き出せる。

${\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).}$

乗算は同様の方法で有理数、そして実数へと拡張される。

非負整数の積は、基数またはペアノ公理を用いて集合論で定義できます。これを任意の整数、そして任意の有理数の乗算に拡張する方法については、以下を参照してください。実数の積は有理数の積で定義されます。実数の構成を参照してください。^{[ 39 ]}

乗算演算に関して、群構造を定義する公理を満たす集合は数多く存在する。これらの公理とは、閉包性、結合法則、単位元と逆元を含む性質である。

簡単な例として、ゼロでない有理数の集合が挙げられます。ここでは単位元は 1 ですが、加法における群では単位元は通常 0 です。有理数では、乗法においてゼロは逆元を持たないため、ゼロは除外されなければならないことに注意してください。つまり、ゼロを掛けても 1 になる有理数は存在しません。この例では、結果はアーベル群になりますが、常にそうとは限りません。

これを確認するには、与えられた体上の、与えられた次元の可逆正方行列の集合を考えてみましょう。ここでは、閉包性、結合性、単位行列（単位行列）と逆行列の包含関係を簡単に確認できます。しかし、行列の乗算は可換ではないため、この群は非可換群であることがわかります。

もう一つ注目すべき点は、乗算の対象となる整数は、たとえゼロを除いても群を形成しないということである。これは、1と -1以外のすべての要素に逆元が存在しないことから容易に理解できる。

群論における乗算は、通常、ドットまたは並置（要素間の演算記号の省略）によって表記されます。したがって、要素aと要素bの乗算は、次のように表記できます。${\displaystyle \cdot }$bまたはab。集合と演算の指示によってグループを参照する場合、ドットが使用されます。たとえば、最初の例は次のように表すことができます。${\displaystyle \left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)}$[ ^{40 ]​}

数は、数える（ リンゴ3個）、順序付ける（3番目の リンゴ）、測定する（高さ3.5フィート）ことができます。数学の歴史は、指を使った数え方から量子力学のモデル化へと進歩するにつれて、乗算はより複雑で抽象的な種類の数、そして数ではないもの（行列 など）や、数にあまり似ていないもの（四元数など）へと一般化されてきました。

整数

${\displaystyle N\times M}$これは、 NとMが正の整数である場合のMのNコピーの合計です。これにより、幅N 、高さMの配列内の要素の数が得られます。負の数への一般化は次のように行うことができます。

${\displaystyle N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)}$そして

${\displaystyle (-N)\times (-M)=N\times M}$

有理数と実数には、同じ符号規則が適用されます。

有理数

分数への一般化${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}}$それは、分子と分母をそれぞれ掛け合わせることによって求められます。${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}}$これは長方形の面積を表します。${\displaystyle {\frac {A}{B}}}$高くて${\displaystyle {\frac {C}{D}}}$幅が広く、有理数が整数である場合は配列内の要素の数と同じである。^{[ 34 ]}

実数

実数とその積は、有理数の数列を用いて定義することができる。

複素数

複素数を考慮すると${\displaystyle z_{1}}$そして${\displaystyle z_{2}}$実数の順序対として${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$そして${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$、製品${\displaystyle z_{1}\times z_{2}}$は${\displaystyle (a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})}$これは実際のものと同じです${\displaystyle a_{1}\times a_{2}}$仮想部分が${\displaystyle b_{1}}$そして${\displaystyle b_{2}}$ゼロです。

同等に、${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$として${\displaystyle i}$、${\displaystyle z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.}$^{[ 34 ]}

あるいは三角関数の形で、${\displaystyle z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}$、 それから${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$^{[ 34 ]}

さらなる一般化

上記の群論における乗法、および乗法群（例えば行列乗法を含む）を参照してください。乗法の非常に一般的で抽象的な概念は、環における「乗法的に表される」（2番目の）二項演算として定義されます。上記の数体系のいずれにも該当しない環の例として、多項式環があります（多項式は加算と乗算が可能ですが、多項式は通常の意味では数ではありません）。

分割

しばしば分割、${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$は逆数による乗算と同じです。${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ある種の「数」の乗算には、逆元を持たない対応する除算が存在する場合があります。整数領域では、x は逆元を持たない場合があります。${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$" しかし${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$定義される可能性がある。可除環には逆元が存在するが、${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$非可換環では曖昧になる可能性がある。${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$同じである必要はない${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}\right)x}$[ ^{41 ]​}

• ボイヤー、カール・B. （メルツバッハ、ウタ・C.改訂）（1991）。数学史。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 978-0-471-54397-8。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

• cut-the-knotのさまざまな数体系における乗算と算術演算
• そろばんを用いた現代中国の掛け算技法