解析力学

理論物理学と数理物理学において、解析力学、または理論力学は、古典力学の密接に関連した定式化の集合です。解析力学では、システム全体を表すスカラー運動特性、通常は運動エネルギーと位置エネルギーを使用します。運動方程式は、スカラー量から、スカラーの変化に関する何らかの基本原理によって導出されます。

解析力学は、ニュートン力学に続いて、18世紀以降、多くの科学者や数学者によって発展しました。ニュートン力学は、特にシステムの構成要素の加速度、運動量、力などの運動のベクトル量を考慮しており、ベクトル力学とも呼ばれます。^[1]スカラーは量であり、ベクトルは量と方向によって表されます。これら2つの異なるアプローチの結果は同等ですが、解析力学のアプローチには複雑な問題に対する多くの利点があります。

解析力学は、システムの制約を利用して問題を解決します。制約は、システムが持つことができる自由度を制限し、運動を解くために必要な座標の数を減らすために使用できます。この形式は、文脈では一般化座標として知られる任意の座標の選択に適しています。システムの運動エネルギーと位置エネルギーは、これらの一般化座標または運動量を使用して表現され、運動方程式を簡単に設定できるため、解析力学を使用すると、完全なベクトル方法よりも効率的に多くの機械的問題を解くことができます。解析力学は、非保存力や摩擦などの散逸力に対して常に機能するとは限りません。その場合は、ニュートン力学に戻ることができます。

解析力学の 2 つの主要な分野は、ラグランジアン力学(配置空間の一般化座標と対応する一般化速度を使用) とハミルトン力学(位相空間の座標と対応する運動量を使用) です。 両方の定式化は、一般化座標、速度、運動量に対するルジャンドル変換によって同等になります。したがって、どちらもシステムのダイナミクスを記述するための同じ情報を含んでいます。 他に、ハミルトン–ヤコビ理論、ルーシアン力学、アペルの運動方程式などの定式化があります。 どのような形式でも、粒子と場のすべての運動方程式は、最小作用の原理と呼ばれる広く適用可能な結果から導くことができます。 1 つの結果がネーターの定理であり、これは保存則をそれに関連する対称性と結び付けるステートメントです。

解析力学は新しい物理学を導入するものではなく、ニュートン力学よりも一般的でもありません。むしろ、幅広い応用が可能な同等の形式論の集合です。実際、同じ原理と形式論は、相対論的力学と一般相対性理論で使用でき、多少の修正を加えると、量子力学と量子場の理論でも使用できます。

解析力学は、基礎物理学から応用数学、特にカオス理論まで幅広く使用されています。

解析力学の方法は、それぞれが有限の自由度を持つ離散粒子に適用されます。解析力学の方法は、無限の自由度を持つ連続場や流体を記述するように変更できます。定義と方程式は、力学の定義と方程式と非常によく似ています。

機械理論の目的は、物理学や工学で生じるような機械的な問題を解決することです。メカニズムや星系などの物理システムから始めて、微分方程式の形式で数学モデルを作成します。モデルを数値的または解析的に解くことで、システムの動きを判定できます。

ニュートンのベクトル力学アプローチは、力、速度、加速度などのベクトル量を使用して運動を記述します。これらの量は、「質点」または質量が付着している単一の点として理解される「粒子」として理想化された物体の運動を特徴付けます。ニュートンの方法は、地球の重力場における粒子の運動や太陽の周りの惑星の運動など、幅広い物理的問題に適用されてきました。このアプローチでは、ニュートンの法則が微分方程式によって運動を記述し、問題はその方程式を解くことに帰着します。

しかし、機械システムが多数の粒子を含む場合 (複雑なメカニズムや流体など)、ニュートンのアプローチを適用するのは困難です。適切な予防措置、つまり各粒子を他の粒子から分離し、その粒子に作用するすべての力を決定することを行えば、ニュートンのアプローチを使用することは可能です。このような分析は、比較的単純なシステムであっても面倒です。ニュートンは、彼の第 3 法則「作用は反作用に等しい」がすべての複雑な問題を解決できると考えました。^{[要出典]これは、}固体の回転のような単純なシステムであっても誤りです。^[要説明]より複雑なシステムでは、ベクトル アプローチでは適切な説明を行うことができません。

解析的アプローチは、機械システムを、各粒子を独立した単位としてではなく、相互作用する粒子の集合体として扱うことで問題を単純化します。ベクトル的アプローチでは、各粒子に対して個別に力を決定する必要がありますが、解析的アプローチでは、システム上およびシステム内で作用するすべての力を暗黙的に含む単一の関数を知るだけで十分です。このような単純化は、事前に述べられた特定の運動条件を使用して行われることがよくあります。ただし、解析的処理ではこれらの力の知識は必要なく、これらの運動条件は当然のことと見なされます。^[要出典]

それでも、複雑な機械システムの運動方程式を導くには、方程式が従う統一的な基礎が必要である。^{[説明が必要]これはさまざまな}変分原理によって提供される。各方程式セットの背後には、セット全体の意味を表す原理がある。作用と呼ばれる基本的かつ普遍的な量が与えられた場合、この作用は他の機械的量の小さな変化の下では定常であるという原理により、必要な微分方程式セットが生成される。この原理の記述には特別な座標系は必要なく、すべての結果は一般化座標で表現される。これは、解析的な運動方程式が座標変換によって変化しないことを意味する。これはベクトル運動方程式には欠けている不​​変性である。[ 2 ^]

微分方程式を「解く」とはどういうことか、まったく明らかではありません。 問題は、時刻tにおける粒子の座標が、 tと、初期位置および速度を定義するパラメータの単純な関数として表現されたときに解決されたと見なされます。 しかし、「単純な関数」は明確に定義された概念ではありません。今日では、関数 f ( t ) は、ニュートンの時代のようにtにおける正式な表現(基本関数) ではなく、最も一般的にはtによって決定される量と見なされており、「単純な」関数と「単純でない」関数の間に明確な線を引くことはできません。 単に「関数」について話す場合、すべての機械的問題は、初期条件と t が与えられればtにおける座標が決定されるため、微分方程式で適切に表現されればすぐに解決されます。 これは、微分方程式が差分方程式に置き換えられ、機械的問題に対する算術的解が任意の精度で提供される現代のコンピュータ モデリング手法では特に事実です。

それでも、正確な定義はないものの、2 体問題には簡単な解があるのに対し、3 体問題にはないことは明らかです。2 体問題は、パラメータを含む式によって解かれます。パラメータの値を変更して、すべての解のクラス、つまり問題の数学的構造を調べることができます。さらに、2 つの物体の運動について、正確な心象または描画図を作成することができ、実際の物体が運動して相互作用するのと同じくらい現実的で正確なものになります。3 体問題では、パラメータに特定の値を割り当てることもできますが、これらの割り当て値での解、またはそのような解の集合では、問題の数学的構造は明らかにされません。他の多くの問題と同様に、数学的構造は微分方程式自体を調べることによってのみ解明できます。

解析力学は、さらにそれ以上のことを目標としています。つまり、単一の力学問題の数学的構造を理解することではなく、力学のほとんどを網羅するほど広範な問題群の数学的構造を理解することです。解析力学は、ラグランジアンまたはハミルトンの運動方程式が適用可能なシステムに焦点を当てており、非常に広範囲の問題を扱っています。^[3]

解析力学の発展には、(i) 適用範囲の広い標準技術を開発して解決可能な問題の範囲を広げること、および (ii) 力学の数学的構造を理解することという 2 つの目的があります。しかし、長期的には、(ii) は、既に方法が設計されている特定の問題に集中するよりも、(i) の目的に役立ちます。

ニュートン力学では、物体の運動中の位置を参照するために、通常、3 つの直交座標系、またはその他の 3D座標系を使用します。ただし、物理システムでは、何らかの構造またはその他のシステムによって、物体の運動が特定の方向や経路をたどることが制限されるのが普通です。そのため、制約によって座標間の関係が変化するため、直交座標の完全なセットは必要ないことがよくあります。この関係は、制約に対応する方程式によってモデル化できます。ラグランジアン形式とハミルトン形式の場合、制約は運動のジオメトリに組み込まれ、運動をモデル化するために必要な最小限の座標数にまで削減されます。これらは一般化座標と呼ばれ、 q _i ( i = 1, 2, 3...)で表されます。^{[4] : 231}

一般化座標は、システムに対する制約を組み込んでいます。自由度ごとに1 つの一般化座標q _iがあります(便宜上、インデックスi = 1、2... Nでラベル付け)。つまり、システムが構成を変更できる各方法 (曲線の長さや回転角度など) です。一般化座標は曲線座標と同じではありません。曲線座標の数は、問題の位置空間の次元(通常、3 次元空間の場合は 3)に等しくなりますが、一般化座標の数は必ずしもこの次元に等しいわけではありません。制約により、自由度の数 (したがって、システムの構成を定義するために必要な一般化座標の数) を減らすことができます。一般的な規則は次のとおりです。^{[5] [疑わしい–議論]}

N自由度を持つシステムの場合、一般化座標はN組にまとめられ、 この組の 時間微分(ここではオーバードットで示される) によって一般化速度が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=\left({\frac {dq_{1}}{dt}},{\frac {dq_{2}}{dt}},\dots ,{\frac {dq_{N}}{dt}}\right)\equiv \mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dots ,{\dot {q}}_{N}).}$$

ダランベールの原理は、力によって可逆的な変位にわたってなされる微小な仮想仕事はゼロであり、これはシステムの理想的な制約と一致する力によってなされる仕事である、と述べている。制約の考え方は有用である。なぜなら、これによってシステムができることが制限され、システムの動きを解くための手順が提供されるためである。ダランベールの原理の方程式は以下のとおりである: ^{[6] : 265} ここで、 は一般化された力(以下の標準変換との衝突を避けるため、通常の Q ではなくスクリプト Q が使用される)、q は一般化された座標である。これは、解析力学の言語における ニュートンの法則の一般化された形式につながる:$${\displaystyle \delta W={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\cdot \delta \mathbf {q} =0\,,}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {Q}}}=({\mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_{2},\dots ,{\mathcal {Q}}_{N})}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {Q}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)-{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$$

ここで、T はシステムの 全運動エネルギーであり、表記 は便利な省略形です (この表記については 行列計算を参照してください)。$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}=\left({\frac {\partial }{\partial q_{1}}},{\frac {\partial }{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial q_{N}}}\right)}$$

曲線座標系が標準位置ベクトル rによって定義され、位置ベクトルが一般化座標qと時間tを用いて次の形式で記述でき、この関係がすべての時間tに対して成り立つ場合、q はホロノミック制約と呼ばれます。^[7]ベクトルr は、制約が時間とともに変化する場合にはq ( t )だけでなく、明示的にtに依存します。時間に依存しない状況では、制約はスクレロノミックとも呼ばれ、時間に依存する場合はレオノミックと呼ばれます。^[5]$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (\mathbf {q} (t),t)}$$

一般化座標と基本的なラグランジアン関数の導入:

${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

ここで、Tは全運動エネルギー、V はシステム全体の全位置エネルギーです。変分法に従うか、上記の式を使用すると、オイラー-ラグランジュ方程式が導かれます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

これは、各q _i ( t )ごとに1つずつ、N個の2次常微分方程式の集合です。

この定式化では、総エネルギーが固定され、移動時間に条件が課されないと仮定して、運動エネルギーの時間積分が最小となる経路の選択として、運動がたどる実際の経路が特定されます。

ラグランジアン定式化では、システムの構成空間、つまりすべての可能な一般化座標の集合を使用します。

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,,}$

ここで、 はN次元の実空間です（集合構築記法も参照）。オイラー・ラグランジュ方程式の特定の解は（構成）パスまたは軌道と呼ばれ、必要な初期条件に従う特定のq ( t ) です。一般解は、時間の関数として可能な構成の集合を形成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$

${\displaystyle \{\mathbf {q} (t)\in \mathbb {R} ^{N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {C}}\,,}$

配置空間は、位相 多様体と接束の観点から、より一般的に、そしてより深く定義することができます。

ラグランジアンに対するルジャンドル変換は、一般化座標と速度( q 、 q̇ )を( q 、 p )に置き換えます。一般化座標と一般化運動量は、一般化座標に共役になります。

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}},{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{2}}},\cdots {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{N}}}\right)=(p_{1},p_{2}\cdots p_{N})\,,}$

そしてハミルトニアン（一般化された座標と運動量で表される）を導入します。

${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

ここで はドット積を表し、これもハミルトン方程式につながります。 ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,}$

これらは、 q _i ( t ) とp _i ( t ) それぞれに対して 1 つずつ、2 N 個の1 次常微分方程式のセットになります。ルジャンドル変換からの別の結果は、ラグランジアンおよびハミルトニアンの時間微分に関係します。

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,,}$

これは、他の方程式に加えてハミルトンの運動方程式の 1 つと見なされることが多い。一般化された運動量は、ニュートンの運動の第 2 法則と同じように、一般化された力で表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} ={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\,.}$

配置空間と同様に、すべての運動量の集合は一般化された運動量空間です。

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,.}$

（「運動量空間」は「 k空間」とも呼ばれ、量子力学や波動理論で使用されるすべての波動ベクトル（ド・ブロイ関係式で与えられる）の集合）

すべての位置と運動量の集合は位相空間を形成します。

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {C}}\times {\mathcal {M}}=\{(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in \mathbb {R} ^{2N}\}\,,}$

つまり、配置空間と一般化運動量空間の 直積です。

ハミルトン方程式の特定の解は位相経路と呼ばれ、必要な初期条件に従う特定の曲線 ( q ( t ), p ( t )) です。すべての位相経路の集合、つまり微分方程式の一般解は位相ポートレートです。

${\displaystyle \{(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))\in \mathbb {R} ^{2N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {P}}\,,}$

すべての動的変数は、位置q、運動量p、および時間tから導出でき、これらの関数として記述できます: A = A ( q、p、t )。A ( q、p、t ) とB ( q、p、t ) が 2 つのスカラー値の動的変数である場合、ポアソン括弧は一般化座標と運動量によって定義されます:

${\displaystyle {\begin{aligned}\{A,B\}\equiv \{A,B\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&={\frac {\partial A}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial A}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {q} }}\\&\equiv \sum _{k}{\frac {\partial A}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{k}}}\,,\end{aligned}}}$

これらのうちの1つ、例えばAの全微分を計算し、その結果にハミルトン方程式を代入すると、Aの時間発展が得られます。

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\,.}$

Aのこの方程式は、量子力学のハイゼンベルク描像における運動方程式と密接に関連しています。この描像では、古典的な動的変数が量子演算子(帽子 (^) で示される) になり、ポアソン括弧はディラックの標準量子化によって演算子の交換子に置き換えられます。

${\displaystyle \{A,B\}\rightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]\,.}$

以下はラグランジアン関数とハミルトン関数の重複する性質である。^{[5] [8]}

• すべての自由度における個々の一般化座標q _i ( t )、速度q̇ _i ( t )、運動量p _i ( t ) は、相互に独立しています。関数の明示的な時間依存性とは、関数が実際にq ( t )、p ( t )に加えて変数として時間t を含むことを意味し、単にq ( t ) とp ( t )を介したパラメーターとして含まれる場合は明示的な時間独立性を意味します。
• ラグランジアンは、q'とtの任意の関数の全 時間微分を加えても不変です。つまり、各ラグランジアンLとL はまったく同じ動きを表します。言い換えると、システムのラグランジアンは一意ではありません。$${\displaystyle L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,}$$
• 同様に、ハミルトニアンはq、p、tの任意の関数の部分時間微分を加えても不変です。つまり、次のようになります( Kはこの場合よく使用される文字です)。この特性は標準変換で使用されます(以下を参照)。$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial }{\partial t}}G(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\,,}$$
• ラグランジアンがいくつかの一般化座標から独立している場合、それらの座標に共役な一般化運動量は運動の定数、つまり保存されます。これはラグランジュの方程式からすぐにわかります。このような座標は「巡回」または「無視できる」ものです。ハミルトニアンもまったく同じ一般化座標で巡回していることが示せます。$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\rightarrow \,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0}$$
• ラグランジアンが時間に依存しない場合、ハミルトニアンも時間に依存しません (つまり、両方とも時間に対して一定です)。
• 運動エネルギーが一般化速度の 2 次同次関数であり、ラグランジアン が明示的に時間に依存しない場合、次のようになります。ここでλは定数であり、ハミルトニアンは保存される全エネルギーとなり、システムの全運動エネルギーと全位置エネルギーに等しくなります。これはシュレーディンガー方程式の基礎であり、量子演算子を挿入すると直接得られます。$${\displaystyle T((\lambda {\dot {q}}_{i})^{2},(\lambda {\dot {q}}_{j}\lambda {\dot {q}}_{k}),\mathbf {q} )=\lambda ^{2}T(({\dot {q}}_{i})^{2},{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},\mathbf {q} )\,,\quad L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )\,,}$$$${\displaystyle H=T+V=E\,.}$$

作用は、解析力学におけるラグランジアン 関数として定義される別の量です。

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt\,.}$

作用から運動方程式を見つける一般的な方法は、最小作用の原理である：^[10]

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0\,,}$

ここで出発時刻t ₁と到着時刻t ₂は固定されている。^[1]「経路」または「軌道」という用語は、配置空間を通る経路としてのシステムの時間的発展、つまりq ( t ) が 内の経路をトレースすることを指す。作用が最小となる経路がシステムがたどる経路である。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

この原理から、古典力学におけるすべての 運動方程式を導くことができる。このアプローチは粒子系ではなく場に拡張することができ（下記参照）、量子力学の経路積分定式化の基礎となっており、^{[11] [12] 、}一般相対性理論における測地線運動の計算にも使われている。^[13]

正準変換

ハミルトニアンの不変性（p、q、tの任意の関数の部分時間微分の追加の下で）により、1組の座標qと運動量pにおけるハミルトニアンを、新しい組Q = Q ( q、p、t ) およびP = P ( q、p、t )に変換できます。これには4つの方法があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)\\\end{aligned}}}$

PとQに制限を加えると、変換されたハミルトン系は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {\dot {P}} =-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {Q}} =+{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\,,}$

上記の変換は正準変換と呼ばれ、各関数G _{n は}「n番目の種類」または「タイプn 」の生成関数と呼ばれます。座標と運動量の変換により、与えられた問題に対するハミルトン方程式を解くための簡略化が可能になります。

QとPの選択は完全に任意であるが、すべての選択が標準変換につながるわけではない。q → Qとp → Pの変換が標準であるための単純な基準は、ポアソン括弧が1であるということであり、

${\displaystyle \{Q_{i},P_{i}\}=1}$

i = 1, 2,... Nすべてに対して成り立つ。これが成り立たない場合、変換は標準的ではない。^[5]

ハミルトン・ヤコビ方程式

正準変換されたハミルトニアンK = 0 に設定し、タイプ 2 生成関数をハミルトンの主関数(作用) に任意の定数Cを加えたものに等しくすると、次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,t)={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+C\,,}$

一般化された運動量は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }}}$

Pが定数である場合、ハミルトン-ヤコビ方程式（HJE）はタイプ2の正準変換から導出できます。

${\displaystyle H=-{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}}$

ここで、Hは前述のハミルトニアンです。

${\displaystyle H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}$

もう一つの関連関数はハミルトンの特性関数である。

${\displaystyle W(\mathbf {q} )={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+Et}$

時間に依存しないハミルトニアンHの加法的な変数分離によって HJE を解くために使用されます。

ハミルトン・ヤコビ方程式の解の研究は、自然にシンプレクティック多様体とシンプレクティック位相の研究につながります。^{[14] [15]この定式化では、ハミルトン・ヤコビ方程式の解は}ハミルトンベクトル場の積分曲線です。

ルーシアン力学はラグランジアン力学とハミルトン力学のハイブリッドな定式化であり、あまり使用されないが、巡回座標を除去するのに特に有用である。^[要出典]システムのラグランジアンに、共役運動量p = p ₁、p ₂、 ... p _sを持つs巡回座標q = q ₁、q ₂、 ... q _sがあり、残りの座標が非巡回でζ = ζ ₁、ζ ₁、 ... 、ζ _{N − s}と表記される場合、ルーシアンを導入することでそれらを除去できる。

${\displaystyle R=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}})\,,}$

これは巡回座標qに対する2sハミルトン方程式のセットにつながる。

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=+{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {p} }}\,,\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

非巡回座標ζにおけるN − sラグランジアン方程式。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\boldsymbol {\zeta }}}}}={\frac {\partial R}{\partial {\boldsymbol {\zeta }}}}\,.}$

このように設定すると、ルーシアンはハミルトニアンの形を持ちますが、自由度 N − sを持つラグランジアンと考えることができます。

座標q は巡回的である必要はなく、ハミルトン方程式に入る座標とラグランジアン方程式に入る座標の分割は任意です。単に、ハミルトン方程式から巡回座標を削除し、非巡回座標をラグランジアン運動方程式に残しておくのが便利です。

アペルの運動方程式には、一般化加速度、つまり一般化座標の 2 次時間微分が含まれます。

${\displaystyle \alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}={\frac {d^{2}q_{r}}{dt^{2}}}\,,}$

ダランベールの原理で述べた一般化された力も同様である。方程式は

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}\,,\quad S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

はk番目の粒子の加速度であり、その位置ベクトルの2次時間微分です。各加速度a _{k は}一般化加速度α _rで表され、同様に各r _{k は一般化座標}q _rで表されます。

一般化座標は離散粒子に適用されます。N個の スカラー場 φ _i ( r , t ) ( i = 1, 2, ... N )の場合、ラグランジュ密度はこれらの場とその空間および時間導関数、および場合によっては空間および時間座標自体の関数です。 また、オイラー–ラグランジュ方程式には、場に対する類似物があります。 ここで、∂ _{μ は}4 次元勾配を示し、総和規則が使用されています。N個のスカラー場の場合、これらのラグランジュ場方程式は、場のN個の 2 次偏微分方程式のセットであり、一般に結合され非線形になります。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\dots ,\partial _{t}\phi _{1},\partial _{t}\phi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)\,.}$$$${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}\,,}$$

このスカラー場定式化はベクトル場、テンソル場、スピノル場に拡張できます。

ラグランジアンはラグランジアン密度の体積積分である: ^{[12] [16]} $${\displaystyle L=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {L}}\,dV\,.}$$

上記の定式化はもともと古典的な場のために開発されたものですが、ニュートン重力、古典電磁気学、一般相対性理論、量子場理論など、古典的、量子的、相対論的状況におけるすべての物理場に適用できます。正しい場の方程式を生成するには、正しいラグランジアン密度を決定することが問題となります。

N個のスカラー場φ _i ( r , t )に共役な対応する「運動量」場密度は、次のとおりである: ^[12] ここで、この文脈では、上線は部分時間微分を表し、全時間微分を表すものではない。ハミルトン密度は、力学との類推によって定義される: $${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {r} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,\quad {\dot {\phi }}_{i}\equiv {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\phi }}_{i}(\mathbf {r} ,t)\pi _{i}(\mathbf {r} ,t)-{\mathcal {L}}\,.}$$

運動方程式は次のようになります 。 ここでは、単なる偏微分ではなく、変分微分 を使用する必要があります。N 個のフィールドの場合、これらのハミルトン場方程式は 2 N個の 1 次偏微分方程式 のセットであり、一般に結合され非線形になります。$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}}$$

再び、ハミルトニアン密度の体積積分はハミルトニアンである。 $${\displaystyle H=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {H}}\,dV\,.}$$

古典的空間と時間における対称性の変換

それぞれの変換は演算子（つまり、位置rまたは運動量p変数に作用してそれらを変化させる関数）によって記述することができる。以下は演算子がrまたはpを変化させない場合、つまり対称性の場合である。^[11]

ここで、R ( n̂ , θ) は、単位ベクトルn̂と角度 θ によって定義される軸を中心とした回転行列です。

ネーターの定理

ノイマンの定理は、作用の連続的な対称変換が保存則に対応することを述べています。つまり、作用（およびラグランジアン）はパラメータ sによってパラメータ化された変換では変化しません。 ラグランジアンは、長さ、回転角度、または時間であるs とは無関係に同じ運動を記述します。qに対応する運動量は保存されます。^[5]$${\displaystyle L[q(s,t),{\dot {q}}(s,t)]=L[q(t),{\dot {q}}(t)]}$$

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