生成関数（物理学）

物理学、より具体的にはハミルトン力学において、生成関数とは、大まかに言えば、偏導関数がシステムのダイナミクスを決定する微分方程式を生成する関数です。一般的な例としては、統計力学の分割関数、ハミルトニアン、および正準変換を実行するときに 2 つの正準変数セット間の橋渡しとして機能する関数があります。

基本的な生成関数は4つあり、次の表にまとめられています。^[1]

時には、与えられたハミルトニアンは調和振動子ハミルトニアンのように見えるものに変換されることがある。これは

${\displaystyle H=aP^{2}+bQ^{2}.}$

例えば、ハミルトニアン

${\displaystyle H={\frac {1}{2q^{2}}}+{\frac {p^{2}q^{4}}{2}},}$

ここでpは一般化運動量、qは一般化座標であり、選択するのに適した標準変換は次のようになる。

これによりハミルトニアンは

${\displaystyle H={\frac {Q^{2}}{2}}+{\frac {P^{2}}{2}},}$

これは調和振動子ハミルトニアンの形式をとります。

この変換の生成関数Fは第3種であり、

${\displaystyle F=F_{3}(p,Q).}$

Fを明示的に求めるには、上の表の導関数の式を使用します。

${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}},}$

式（１ ）のPをpとQで表した式に代入すると、

${\displaystyle {\frac {p}{Q^{2}}}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}}$

これをQについて積分すると、式( 1 ) で表される変換の生成関数の式が得られる。

これが正しい生成関数であることを確認するには、それが（1）と一致することを確認します。

${\displaystyle q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}={\frac {-1}{Q}}}$

• ハミルトン・ヤコビ方程式
• ポアソン括弧

• ゴールドスタイン、ハーバート、プール、CP、サフコ、JL (2001)。古典力学（第3版）。アディソン・ウェスレー。ISBN 978-0-201-65702-9。