オペレーター（物理）

どこ${\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}$は、単位ベクトルで定義される軸に関する回転行列です。${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$そして角度θ。

波動関数は二乗可積分でなければならない（L ^p空間を参照）。つまり、次のようになる。

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }$

そして正規化可能であるため、次のようになります。

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}$

固有状態（および固有値）の2つのケースは次のとおりです。

• 離散固有状態の場合${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$離散基底を形成するので、どの状態も合計である$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }$$ここでc _iは複素数であり、| c _i | ² = c _i ^* c _iは状態を測定する確率である。${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$、対応する固有値a _iの集合も離散的であり、有限または可算無限のいずれかである。この場合、2 つの固有状態の内積は次のように与えられる。${\displaystyle \langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$、 どこ${\displaystyle \delta _{mn}}$クロネッカーデルタを表します。ただし、
• 連続基底を形成する固有状態の連続体の場合、どの状態も積分である$${\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle }$$ここで、c ( φ )は複素関数であり、| c (φ) | ² = c (φ) ^* c (φ)は状態を測定する確率である。${\displaystyle |\phi \rangle }$、そして、非可算無限個の固有値aが存在する。この場合、2 つの固有状態の内積は次のように定義される。${\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')}$ここは${\displaystyle \delta (x-y)}$はディラックのデルタを表します。

ψを量子系の波動関数とし、${\displaystyle {\hat {A}}}$を、ある観測量A (位置、運動量、エネルギー、角運動量など)に対する任意の線形演算子とする。ψが演算子の固有関数である場合${\displaystyle {\hat {A}}}$、 それから

${\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,}$

ここで、aは演算子の固有値であり、観測量の測定値に対応します。つまり、観測量A の測定値はaです。

ψ が与えられた演算子の固有関数である場合${\displaystyle {\hat {A}}}$ならば、状態ψに対して観測量Aの測定を行うと、確定量 (固有値a ) が観測される。逆に、ψが の固有関数でない場合${\displaystyle {\hat {A}}}$の場合、固有値は存在しない。${\displaystyle {\hat {A}}}$、この場合、観測量は単一の確定値を持たない。代わりに、観測量Aの測定は、ある確率で各固有値を得る（ ψの正規直交固有基底に対する分解に関連する）。${\displaystyle {\hat {A}}}$)

上記はブラケット記法で次のように書くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}}$

等しい場合${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$は、観測量Aの固有ベクトル、または固有ケットです。

線形性のおかげで、ベクトルは任意の次元で定義できます。これは、ベクトルの各成分が関数に個別に作用するためです。数学的な例としては、それ自体がベクトルであるデル演算子があります（下の表にある運動量関連の量子演算子で役立ちます）。

n次元空間における演算子は次のように記述できる。

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}}$

ここで、e _jは各成分演算子A _jに対応する基底ベクトルである。各成分は対応する固有値を生成する。${\displaystyle a_{j}}$. 波動関数ψにこれを作用させる：

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}$

我々は、${\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}$

ブラケット記法では：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}$

2 つの観測量AとB が線形演算子を持つ場合${\displaystyle {\hat {A}}}$そして${\displaystyle {\hat {B}}}$交換子は次のように定義される。

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

交換子自体が（合成）演算子である。ψに交換子を作用させると次のようになる。

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}$

ψが観測量AとBに対してそれぞれ固有値aとbを持つ固有関数であり、演算子が可換である場合：

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}$

すると、観測量AとB は無限の精度で同時に測定できる、つまり不確実性は${\displaystyle \Delta A=0}$、${\displaystyle \Delta B=0}$同時に。ψはAとBの同時固有関数であると言われます。これを説明するために：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}$

これは、AとBの測定によって状態が変化しない、つまり初期状態と最終状態が同じである（測定による擾乱がない）ことを示しています。Aを測定して値aを得たとします。次にBを測定して値bを得ます。再びAを測定します。それでも同じ値aが得られます。明らかにシステムの状態（ψ）は破壊されていないため、AとBを同時に無限の精度で測定することができます。

オペレーターが通勤しない場合：

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}$

それらは任意の精度で同時に準備することはできず、観測量の間には不確定性関係が存在する。

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}$

ψが固有関数であっても、 上記の関係は成り立つ。注目すべきペアとしては、位置と運動量、エネルギーと時間の不確定性関係、および任意の2つの直交軸（L _xとL _y、s _yとs _zなど）に関する角運動量（スピン、軌道、全角運動量）が挙げられる。^{[ 2 ]}

期待値（平均値または平均値とも呼ばれる）は、領域R内の粒子の観測量の平均値である。期待値は${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle }$オペレーターの${\displaystyle {\hat {A}}}$は以下から計算されます: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}$

これは、演算子の任意の関数Fに一般化できる。

${\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}$

Fの一例として、 Aがψに対して行う 2 重作用、つまり演算子を二乗すること、またはそれを 2 回行うことが挙げられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}$

エルミート演算子の定義は次のとおりです。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}$

これを踏まえて、ブラケット記法では次のようになる。

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}$

エルミート演算子の重要な特性には以下が含まれる。

• 実固有値、
• 異なる固有値を持つ固有ベクトルは直交する。
• 固有ベクトルは完全な正規直交基底となるように選択できる。

演算子は、ある基底ベクトルを別の基底ベクトルにマッピングする行列形式で記述できます。演算子は線形であるため、行列は基底間の線形変換（遷移行列とも呼ばれる）です。各基底要素${\displaystyle \phi _{j}}$次の式によって別のものと接続できます。 ^{[ 3 ]}

${\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,}$

これは行列要素です。

${\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

エルミート演算子のもう1つの特性は、異なる固有値に対応する固有関数が直交することです。^{[ 1 ]}行列形式では、演算子によって測定値に対応する実固有値を求めることができます。直交性により、量子システムの状態を表すのに適したベクトルの基底セットが得られます。演算子の固有値も、正方行列の場合と同様に、特性多項式を解くことによって評価されます。

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}$

ここで、Iはn × nの単位行列であり、演算子としては単位演算子に対応します。離散基底の場合：

${\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$

継続的に：

${\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }$

非特異演算子${\displaystyle {\hat {A}}}$逆数を持つ${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$定義:

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}$

演算子に逆演算子が存在しない場合、それは特異演算子である。有限次元空間において、演算子が非特異であるのは、その行列式がゼロでない場合のみである。

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}$

したがって、特異演算子の場合、行列式はゼロとなる。

量子力学で使用される演算子は、以下の表にまとめられています（例えば、^{[ 1 ] [ 4 ]}を参照）。太字でサーカムフレックスが付いているベクトルは単位ベクトルではなく、3次元ベクトル演算子です。つまり、3つの空間成分すべてを合わせたものです。

波動関数から情報を抽出する手順は以下のとおりです。粒子の運動量pを例に考えてみましょう。1次元の位置基底における運動量演算子は次のようになります。

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

これをψに作用させると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}$

ψが固有関数である場合${\displaystyle {\hat {p}}}$すると、運動量固有値pは粒子の運動量の値であり、次のように求められます。

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}$

3次元の場合、運動量演算子はナブラ演算子を用いて次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}$

デカルト座標系（標準的なデカルト基底ベクトルe _x、e _y、e _zを使用）では、次のように記述できます。

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

つまり：

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}$

固有値を求めるプロセスは同じです。これはベクトルと演算子の方程式なので、ψが固有関数であれば、運動量演算子の各成分は、その運動量の成分に対応する固有値を持ちます。${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ψ上では以下が得られる：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}$