位相図

数学において、位相図とは、位相平面における力学系の軌道を幾何学的に表現したものである。各初期条件は、それぞれ異なる点または曲線で表される。

位相図は、力学系の研究において非常に貴重なツールです。位相図は、位相空間における典型的な軌跡のプロットで構成されます。これにより、選択したパラメータ値に対してアトラクター、リペラー、またはリミットサイクルが存在するかどうかなどの情報が明らかになります。位相等価性の概念は、2つの異なる位相図が同じ定性的な動的挙動を表す場合を特定することにより、システムの挙動を分類する上で重要です。アトラクターは安定点であり、「シンク」とも呼ばれます。リペラーは不安定点と考えられ、「ソース」とも呼ばれます。

力学系の位相空間図は、位相空間における系の軌跡（矢印）、安定定常状態（点）、不安定定常状態（円）を表します。軸は状態変数です。

• 単純振り子（右図参照）。
• 位相図が原点（固定点）を中心とする楕円で構成される単純調和振動子。
• 減衰振動（右のアニメーションを参照）。
• ファンデルポール発振器（図参照、右下）。

位相図は、常微分方程式（ODE）系の方向性挙動を表します。位相図は、システムの安定性を示すことができます。^{[ 1 ]}

常微分方程式系の位相空間挙動は、系の固有値またはトレースと行列式（トレース = λ ₁ + λ ₂、行列式 = λ ₁ λ _{2 ）によって決定できます。} ^{[ 1 ]}

• 位相空間
• 位相平面

• Jordan, DW; Smith, P. (2007).非線形常微分方程式（第4 版）. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-920824-1。第1章
• スティーブン・ストロガッツ（2001）。非線形力学とカオス：物理学、生物学、化学、工学への応用。ISBN 9780738204536。

• Linear Phase Portraits、MIT Mathlet。