緯度

天体航法では、緯度は子午線高度法によって測定されます。より精密な緯度測定には、経緯儀の設置やGPS衛星の軌道決定のために、地球の重力場に関する知識が必要です。地球の形状とその重力場を研究する学問が測地学です。

グリッドは、地球の自転軸を基準として構築された等緯線と等経線によって形成されます。主要な基準点は、地球の自転軸が基準面と交わる極です。自転軸を含む平面は、子午線で基準面と交わります。任意の子午線平面と本初子午線を通る平面との間の角度が経度を定義します。子午線は等経線です。地球の中心を通り、自転軸に垂直な平面は、赤道と呼ばれる大円で基準面と交わります。赤道面に平行な平面は、等緯線で基準面と交わります。赤道の緯度は0°、北極の緯度は北緯90°（90°  Nまたは+90°と表記）、南極の緯度は南緯90°（90° Sまたは-90°と表記 ）です。任意の点の緯度は、赤道面と、その点における球面の法線との間の角度である。球面の法線は、半径方向ベクトルに沿っている。

このように球面上で定義された緯度は、測地緯度や本稿の以降の節で定義される補助緯度との混同を避けるため、しばしば球面緯度と呼ばれる。

赤道以外にも、重要な緯線が4つある。

地球の太陽周回軌道面は黄道面と呼ばれ、地球の自転軸に垂直な面は赤道面と呼ばれます。黄道面と赤道面の間の角度は、地軸傾斜角、傾斜角、または黄道傾斜角などと呼ばれ、慣習的にiで表されます。熱帯圏の緯度はiに等しく、極圏の緯度はその補角 (90° - i ) です。自転軸は時間とともにゆっくりと変化し、ここに示されている値は現在のエポックの値です。時間変化については、地軸傾斜角に関する記事でより詳しく説明されています。^{[ a ]}

この図は、太陽が南回帰線上のどこかの地点で真上にある冬至のときに、黄道に垂直で地球と太陽の中心を通る平面の断面の幾何学的形状を示しています。南極圏より南の極緯度は昼間であり、北極圏より北の極緯度は夜間です。太陽が北回帰線で真上にある夏至には、状況は逆転します。太陽が真上（天頂）になるのは、2つの回帰線の間の緯度に限られます。

地図投影法において、経線と緯線がどのように表示されるべきかについて、普遍的な規則はありません。以下の例は、一般的に使用されているメルカトル図法と横メルカトル図法における緯線（赤い線）を示しています。前者では緯線は水平、経線は垂直ですが、後者では緯線と経線は水平と垂直に正確に対応しておらず、どちらも複雑な曲線となっています。

1687年、アイザック・ニュートンは『自然哲学の数学的原理』を出版し、その中で、平衡状態にある回転する自重流体は扁平楕円体の形をとることを証明した。^{[ 3 ]} （この記事では、古い用語である球状体よりも楕円体という用語を優先して使用している。）ニュートンの結果は、18世紀に測地学的測定によって確認された。（子午線弧を参照。）扁平楕円体は、楕円をその短軸（短軸）を中心に回転させたときに生成される三次元表面である。「回転扁平楕円体」は、この記事の残りの部分では「楕円体」と略される。（対称軸を持たない楕円体は三軸楕円体と呼ばれる。）

測地学の歴史において、さまざまな基準楕円体が使用されてきました。衛星が普及する以前は、限られた測量範囲においてジオイドにうまく適合するように考案されていましたが、 GPSの登場により、地球の重心を中心とし、短軸が地球の自転軸に一致する基準楕円体（ WGS84など）を使用することが一般的になりました。これらの地心楕円体は通常、ジオイドから100メートル（330フィート）以内の誤差に収まります。緯度は楕円体を基準として定義されるため、特定の点の位置は楕円体ごとに異なります。使用する楕円体を指定せずに、地理的特徴の緯度と経度を正確に指定することはできません。各国の機関が管理する多くの地図は古い楕円体に基づいて作成されているため、緯度と経度の値が楕円体間でどのように変換されるかを知っておく必要があります。 GPS端末には、WGS84をローカル基準楕円体とその関連グリッドにリンクさせる測地系変換を実行するソフトウェアが搭載されています。  

回転楕円体の形状は、その短軸（短軸）を中心に回転する楕円の形状によって決まります。必要なパラメータは2つです。1つは必ず赤道半径、つまり長半径aです。もう1つのパラメータは通常、（1） 極半径または短半径b、（2） （第1）扁平率f、（3） 離心率eです。これらのパラメータは独立ではなく、次の関係式で結びついています。

${\displaystyle f={\frac {ab}{a}},\qquad e^{2}=2f-f^{2},\qquad b=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,.}$

測地学、地球物理学、地図投影の研究には、他にも多くのパラメータ（楕円、楕円体を参照）が登場しますが、それらはすべて、集合a、b、f、eの 1 つまたは 2 つの要素で表現できます。f と e はどちらも小さく、計算の級数展開によく現れます。それぞれ1/298と0.0818のオーダーです。いくつかの楕円体の値は、地球の図に示されています。基準楕円体は通常、長半径と逆扁平率1 / fで定義されます。たとえば、すべての GPS デバイスで使用されるWGS84楕円体の定義値は^{[ 4 ]です}。

• a（赤道半径）：正確 には6,378,137.0メートル​
• 1 / f（逆平坦化）：正確には298.257 223 563です。

そこから派生する

• b（極半径）：6 356 752 .314 25  m
• e ² (偏心率の二乗):0.006 694 379 990 14

長半径と短半径の差は約21km （13マイル）で、長半径に対する割合は扁平率に相当します。コンピューターのモニター上では、この楕円体は300×299ピクセルのサイズで表示できます。これは300×300ピクセルの球体とほとんど区別がつかないため、図解では通常、扁平率が誇張されます。 

楕円体上のグリッド線は、球面上のグリッド線と全く同じ方法で構築されます。楕円体表面上の点における法線は、赤道上または極上の点を除いて中心を通りませんが、緯度の定義は、法線と赤道面との間の角度として変わりません。緯度に関する用語は、以下の点を区別することでより正確にする必要があります。

• 測地緯度：法線と赤道面との間の角度。英語の出版物では、標準表記はϕである。これは、緯度という言葉が修飾語なしで使用される場合に想定される定義である。この定義には、楕円体の指定が伴わなければならない。
• 地心緯度（ 3D極角にちなんで球面緯度とも呼ばれる）：半径（中心から表面上の点までの距離）と赤道面との間の角度。（下図参照）。標準的な表記法はなく、様々な文献にはθ、 ψ、 q、 ϕ′、 ϕc、 ϕgなどの例が見られる。この記事では_θを使用する。

地理緯度は、測地緯度の同義語として使用する著者もいれば、天文緯度の代替として使用する著者もいるため、慎重に使用する必要があります。「緯度」（修飾語なし）は通常、測地緯度を指すべきです。

基準測地系を指定することの重要性は、簡単な例で説明できます。WGS84の基準楕円体では、エッフェル塔の中心の測地緯度は北緯48度 51分 29 秒（48.8583度 ）、経度は東経2度 17分 40秒 （2.2944度）です。ED50測地系では、同じ座標は塔から140メートル（460フィート）離れた地上の地点を示します。ウェブ検索では、塔の緯度について複数の異なる値が表示されることがありますが、基準楕円体が明記されていることはほとんどありません。

球面上では法線は中心を通るため、緯度（ϕ）は赤道から当該点までの子午線弧が中心でなす角度に等しくなります。子午線距離をm（ϕ）とすると 、$${\displaystyle m(\phi )={\frac {\pi }{180^{\circ }}}R\phi _{\mathrm {度} }=R\phi _{\mathrm {ラジアン} }}$$ ここで、R は地球の平均半径を表します。Rは6,371 km または 3,959 マイルです。より高精度の結果を得るには楕円体モデルが必要となるため、Rにはこれ以上の精度は適切ではありません。このRの値を使用すると、球面上の緯度 1 度の経線の長さは111.2 km (69.1 マイル) (60.0 海里) です。緯度 1 分の長さは1.853 km (1.151 マイル) (1.00 海里) であり、緯度 1 秒の長さは30.8 m または 101 フィートです (海里を参照)。  

子午線弧と標準テキスト^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}では、緯度ϕから赤道までの子午線に沿った距離は( ϕはラジアン)で与えられると示されています。

$${\displaystyle m(\phi )=\int _{0}^{\phi }M(\phi ')\,d\phi '=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '}$$

ここで、M ( ϕ )は子午線方向の曲率半径である。

赤道から極までの四分の一子午線距離は

$${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,}$$

WGS84の場合、この距離は10,001.965,729 km 。​​​

経線距離積分の評価は、測地学や地図投影法の多くの研究の中心となる。積分を二項級数で展開し、項ごとに積分することで評価できる。詳細は「経線弧」を参照のこと。与えられた 2 つの緯度間の経線弧の長さは、積分の範囲を該当する緯度に置き換えることで求められる。小さな経線弧の長さは、 ^{[ 6 ] [ 7 ]}で与えられる。

$${\displaystyle \delta m(\phi )=M(\phi )\,\delta \phi =a\left(1-e^{2}\right)\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,\delta \phi }$$

緯度差が 1 度、つまり π / 180 ラジアンの場合、弧の距離は 約$${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}={\frac {\pi a\left(1-e^{2}\right)}{180^{\circ }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}}$$

緯度間の距離（メートル単位、0.01メートルまで正確）${\displaystyle \phi }$ −0.5 度と${\displaystyle \phi }$  WGS84楕円体上で+0.5度 は$${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}=111\,132.954-559.822\cos 2\phi +1.175\cos 4\phi }$$

この距離の緯度（ WGS84 ）による変化を、経度1度分の長さ（東西方向の距離） とともに表に示します。$${\displaystyle \Delta _{\text{long}}^{1}={\frac {\pi a\cos \phi }{180^{\circ }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\,}$$ 米国政府の国家地理空間情報局（NGA）は、任意の緯度に対応した計算機を提供している。^{[ 8 ]}

地心緯度とは、赤道面と、中心から注目点までの半径との間の角度のことである。

点が楕円体の表面上にある場合、地心緯度（θ）と測地緯度（ϕ）の関係は次のようになります。

${\displaystyle \theta (\phi )=\tan ^{-1}\left(\left(1-e^{2}\right)\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)^{2}\tan \phi \right)\,.}$

楕円体の表面上にない点については、関係式にはさらに楕円体の高さhが含まれる。

${\displaystyle \theta (\phi ,h)=\tan ^{-1}\left({\frac {N(1-f)^{2}+h}{N+h}}\tan \phi \right)}$

ここでNは曲率の主垂直半径です。測地緯度と地心緯度は赤道と極では等しくなりますが、他の緯度では数分角だけ異なります。二乗離心率の値を 0.0067 (楕円体の選択によって異なります) とすると、最大差は${\displaystyle \phi {-}\theta }$ 測地緯度約45° 6′では、約11.5分角であることが示される。 ^{[ b ]}

パラメトリック緯度または縮小緯度βは、楕円体の中心から周囲の球 (半径a ) 上の点Qまで引いた半径によって定義されます。この点 Q は、緯度ϕにある楕円体上の点Pの地球の軸に平行な投影です。これは、Legendre ^{[ 11 ]}と Bessel ^{[ 12 ]}によって導入され、彼らはこのより小さな緯度を使用して楕円体上の測地線の問題を球面測地線の同等の問題に変換することで解決しました。Bessel の表記u ( ϕ )も現在の文献で使用されています。パラメトリック緯度は、測地緯度と次の関係にあります。^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \beta (\phi )=\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)\tan \phi \right)}$

別名は、子午線断面を表す楕円の方程式のパラメータ化に由来する。短軸からの距離pと赤道面からの距離zをデカルト座標で表すと、楕円の方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

点のデカルト座標は次のようにパラメータ化されます。

${\displaystyle p=a\cos \beta \,,\qquad z=b\sin \beta \,;}$

ケイリーはこれらの方程式の形式からパラメトリック緯度という用語を提案した。 ^{[ 13 ]}

パラメトリック緯度は地図投影の理論では使用されません。その最も重要な応用は楕円体測地線の理論にあります（Vincenty、Karney ^{[ 14 ]}）。

補正緯度μは、極での値が90度、つまりπ / 2ラジアンになるようにスケーリングされた子午線距離です。

${\displaystyle \mu (\phi )={\frac {\pi }{2}}{\frac {m(\phi )}{m_{\mathrm {p} }}}}$

ここで、赤道から緯度ϕまでの経線距離は（経線弧を参照）

${\displaystyle m(\phi )=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '\,,}$

そして、赤道から極までの子午線四分円の長さ（極距離）は

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

補正緯度を用いて半径の球面上の緯度を定義する

${\displaystyle R={\frac {2m_{\mathrm {p} }}{\pi }}}$

楕円体から球面への投影を定義し、すべての経線が真の長さと均一なスケールを持つようにします。次に、球面を正距円筒図法で平面に投影して、楕円体から平面への二重投影を行い、すべての経線が真の長さと均一な経線スケールを持つようにします。補正緯度の使用例としては、等距離円錐図法があります。(Snyder、第16節)。^{[ 9 ]}補正緯度は、横メルカトル図法の構築においても非常に重要です。

等面積緯度（ギリシャ語で「同じ面積」を意味する）ξは、球面への等面積投影を与える。

${\displaystyle \xi (\phi )=\sin ^{-1}\left({\frac {q(\phi )}{q_{\mathrm {p} }}}\right)}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}q(\phi )&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)\\[2pt]&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\mathrm {p} }=q\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=1-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e}{1+e}}\right)\\&=1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\end{aligned}}}$

球の半径は次のように定義される。

${\displaystyle R_{q}=a{\sqrt {\frac {q_{\mathrm {p} }}{2}}}\,.}$

自緯度の使用例としては、アルベルス等積円錐図法が挙げられる。^{[ 9 ]： §14}

等角緯度χは、球面に対して 角度保存（等角）変換を与える。 ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\phi )&=2\tan ^{-1}\left[\left({\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{e}\right]^{\frac {1}{2}}-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=2\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=\tan ^{-1}\left[\sinh \left(\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right)\right]\\&=\operatorname {gd} \left[\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right]\end{aligned}}}$

ここで、gd( x )はグデルマン関数である。（メルカトル図法も参照。）

等角緯度は、楕円体から任意の半径の球への変換を定義するもので、楕円体上の任意の2本の直線の交角が球上の対応する角度と同じになるようにします（これにより、小さな要素の形状がよく保存されます）。球から平面へのさらなる等角変換は、楕円体から平面への等角二重投影を与えます。このような等角投影を生成する方法はこれだけではありません。例えば、楕円体上の横メルカトル図法の「厳密な」バージョンは二重投影ではありません（ただし、これは等角緯度を複素平面に一般化したものです）。

等方緯度ψは、通常のメルカトル図法と横メルカトル図法の楕円体版の作成に使用されます。「等方」という名前は、楕円体上の任意の点でψと経度λの等増分がそれぞれ子午線と緯線に沿った等距離の変位をもたらすという事実から来ています。一定のψと一定のλの線によって定義されるグリッドは、楕円体の表面を (さまざまなサイズの) 正方形のメッシュに分割します。等方緯度は赤道でゼロですが、測地緯度から急速に乖離し、極で無限大に近づきます。慣習的な表記は Snyder (15 ページ) に記載されています。^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\phi )&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right]+{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right]\\&=\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\\&=\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi ).\end{aligned}}}$

通常のメルカトル図法（楕円体上）では、この関数は緯線の間隔を定義します。投影図上の赤道の長さがE （長さまたはピクセル単位）の場合、緯度ϕの緯線から赤道までの距離yは次のようになります。

${\displaystyle y(\phi )={\frac {E}{2\pi }}\psi (\phi )\,.}$

等角緯度ψは等角緯度χと密接に関係している。

${\displaystyle \psi (\phi )=\operatorname {gd} ^{-1}\chi (\phi )\,.}$

前の節の式は、測地緯度を用いて補助緯度を表す。地心緯度とパラメトリック緯度の式は直接逆算できるが、残りの4つの場合、すなわち補正緯度、自緯度、等角緯度、等長緯度ではこれは不可能である。対処方法は2つある。

• まず、補助緯度の各値ごとに定義方程式の数値逆変換を行う。利用可能な手法としては、不動点反復法とニュートン・ラフソン法による根探索法がある。
  • 等角投影または等角投影から測地投影に変換する場合、ニュートン・ラフソン法を2回繰り返すと、2倍の精度が得られます。^{[ 16 ]}
• もう1つの、より有用なアプローチは、補助緯度を測地緯度で表した級数として表現し、ラグランジュ反転法によって級数を反転することです。このような級数は、テイラー級数展開を使用し、離心率で係数を与えるアダムスによって提示されています。^{[ 10 ]} オリウエラ^{[ 17 ]}は、第3の扁平率n = ( a - b )/( a + b )で、すべての補助緯度のペア間の変換の級数を与えています。カーニー^{[ 18 ]}は、このような級数の打ち切り誤差は、離心率で表した同等の級数よりも一貫して小さいことを立証しています。級数法は等角緯度には適用できないため、中間段階で等角緯度を求める必要があります。^{[ 6 ]}

右のグラフは、WGS84楕円体の場合における、等軸緯度（極で無限大に発散する）以外の補助緯度と測地緯度の差を示しています。グラフに示されている差は分角単位です。北半球（正の緯度）では、θ ≤ χ ≤ μ ≤ ξ ≤ β ≤ ϕが成り立ちます。南半球（負の緯度）では、不等式が逆転し、赤道と極で等しくなります。グラフは45°を中心として対称に見えますが、曲線の最小値は実際には45°2′と45°6′の間にあります。代表的なデータポイントを以下の表に示します。等角緯度と地心緯度はほとんど区別がつかず、この事実は手電卓の時代に地図投影の作成を迅速化するために利用されました。^{[ 9 ]： 108}

扁平率fの一次近似では、補助緯度は ζ = ϕ − Cf sin 2 ϕと表すことができ 、定数Cはζ = [ β , ξ , μ , χ , θ ] に対して [ 1 ⁄ 2 , 2 ⁄ 3 , 3 ⁄ 4 , 1, 1] の 値をとります。

任意の点Pにおいて、基準楕円体に垂直な直線PN を考えます。測地座標P( ɸ , λ , h )は、楕円体上の点Nの緯度と経度、および距離PNです。この高さは、ジオイドからの高さ、または特定の場所における平均海面からの高さなどの基準高さとは異なります。PN の方向も、鉛直線の方向とは異なります。これらの異なる高さの関係を理解するには、ジオイドの形状と地球の重力場に関する知識が必要です。

地心緯度θは、点の座標がP( r , θ ′, λ )で表される従来の球面極座標における極角または余緯度θ′の補座標です。ここで、 rは点 Pから中心Oまでの距離、θ′は半径ベクトルと極軸の間の角度、λは経度です。楕円体上の一般的な点における法線は中心を通らないため、法線上の点P'はすべて同じ測地緯度を持ちますが、地心緯度は異なることは明らかです。球面極座標系は重力場の解析に使用されます。

パラメトリック緯度は、3 次元座標系にも拡張できます。基準楕円体 (半軸OAおよびOB )上にない点Pに対して、基準楕円体と共焦点 (焦点F、F′が同じ) な補助楕円体を構築します。必要な条件は、両方の楕円体で半長軸と離心率の積aeが同じであることです。補助楕円体の半短軸 ( OD ) をuとします。さらに、補助楕円体上のPのパラメトリック緯度をβとします。集合( u、β、λ )は、楕円体調和座標^{[ 19 ]}または単に楕円体座標^{[ 5 ]}を定義します^{: §4.2.2} (ただし、この用語は測地座標を指す場合にも使用されます)。これらの座標は、回転する楕円体の重力場のモデルにおいて自然な選択です。上記は二軸楕円体（扁平回転楕円体座標系における回転楕円体）に適用されます。一般化については、三軸楕円体座標系を参照してください。

上記の座標系とデカルト座標の関係についてはここでは説明しません。測地座標とデカルト座標間の変換は、地理座標変換で確認できます。デカルト座標と球面極座標の関係は、球面座標系で説明されています。デカルト座標と楕円体座標の関係については、Torge ^{[ 5 ]}で説明されています。