純粋サブグループ

数学、特に代数学の領域でアーベル群の理論を研究する分野において、純粋部分群は直和項の一般化であり、アーベル群の理論や関連分野で多くの用途がある。

（典型的にはアーベル）群の部分群が 純粋であるとは、 の元がに根を持つときはいつでも、にも必ず根を持つということを意味する。正式には、 、G に が存在してとなり、S にが存在してとなることを意味する。^[1]${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} ,a\in S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{n}=a\Rightarrow }$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{n}=a}$

純粋部分群は孤立部分群またはサービング部分群とも呼ばれ、1923 年のPrüferの論文^[2]で初めて研究されました。この論文では、純粋部分群を使用して、主アーベル群を巡回群の直和として分解するための条件が説明されています。Prüferの研究は Kulikoff ^[3]によって補完され、多くの結果が純粋部分群を使用して体系的に再度証明されました。特に、有限指数の純粋部分群は直和であることが証明されました。純粋部分群のより完全な議論、無限アーベル群理論との関係、およびそれらの文献の概要は、Irving Kaplanskyの小さな赤い本に記載されています。^[4]

• 群のすべての直和項は純粋な部分群です。
• 純粋部分群のすべての純粋部分群は純粋です。
• アーベル群の分割可能な部分群は純粋です。
• 商群が捩れなしの場合、部分群は純粋です。
• アーベル群の捩れ部分群は純粋である。
• 純粋部分群の有向和は純粋部分群である。

有限生成アーベル群では、捩れ部分群は直和であるので、捩れ部分群は常にアーベル群の直和であるのかと疑問に思う人もいるかもしれない。結局、常に直和であるわけではなく、純粋部分群であることが判明する。ある緩やかな条件下では、純粋部分群は直和である。したがって、Kulikoff の論文のように、それらの条件下でも、望ましい結果を回復することができる。純粋部分群は、有限性条件を伴う直和の結果と、それほど制限のない有限性条件を伴う直和の完全な結果との間の中間的な特性として使用することができる。この使用法の別の例は Prüfer の論文であり、そこでは「有限捩れアーベル群は巡回群の直和である」という事実が、純粋部分群の中間的な考慮を介して「有限指数のすべての捩れアーベル群は巡回群の直和である」という結果に拡張されている。

純粋部分群は、アーベル群とアーベル加群の理論においていくつかの方法で一般化されました。 純粋部分加群はさまざまな方法で定義されましたが、最終的にはテンソル積または方程式のシステムに関する現代的な定義に落ち着きました。初期の定義は通常、上記の n 乗根に使用された単一の方程式のように、より直接的な一般化でした。 純粋単射加群と純粋射影加群は、プリューファーの 1923 年の論文のアイデアから密接に従っています。純粋射影加群は純粋単射ほど多くの用途が見つかっていませんが、元の研究とより密接に関連しています。加群が純粋射影的であるのは、有限に提示された加群の直和の直和である場合です。整数群とアーベル群の場合、純粋射影加群は巡回群の直和に相当します。

• フィリップ・A・グリフィス（1970年）。無限アーベル群論。シカゴ数学講義。シカゴ大学出版局。pp.9-16。ISBN 0-226-30870-7。 第3章