ニアリング

数学において、近環（近環、近環とも）は、環に似ているが満たす公理の数が少ない代数構造である。近環は、群上の関数から自然に生じる。

集合Nに 2 つの二項演算+ (加算と呼ばれる) と ⋅ (乗算と呼ばれる)を加えたものは、次の場合、 (右) 近環と呼ばれます。

• N は加法に関して群（必ずしも可換群ではない）である。
• 乗法は結合的である（したがってNは乗法の下で半群である）；そして
• 右側の 乗算は加算に対して分配される。N内の任意のx 、 y 、zに対して、 ( x + y ) ⋅z = ( x⋅z ) +( y⋅z )が成り立つ。^[1]

同様に、右分配法則を対応する左分配法則に置き換えることで左近環を定義することができます。文献には右近環と左近環の両方が登場します。たとえば、 Pilzの本^[2]では右近環が使用され、Clay の本^[3]では左近環が使用されています。

この片側分配法則から直ちに導かれる結果は、 0⋅ x = 0は真であるが、 N内の任意のxに対してx ⋅0 = 0は必ずしも真ではないということです。もう 1 つの直接的な結果は、 N内の任意のx、yに対して (− x )⋅ y = −( x ⋅ y )が真であるが、 x ⋅(− y ) = −( x ⋅ y )である必要はないということです。近傍環がrngであるための必要条件は、加算が可換であり、乗算も左側の加算に対して分配的である場合です。近傍環が乗法的単位元を持つ場合、両辺の分配法則で十分であり、加算の可換性が自動的に続きます。

G を加法的に記述されるが必ずしもアーベル的ではない群とし、M ( G ) をGからGへのすべての関数の集合{ f | f  : G → G }とします。 M ( G )には加法演算が定義できます。f、gがM ( G )に与えられている場合、 GからGへの写像f + gは、 Gの すべてのxに対して( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )で与えられます。 このとき、 ( M ( G ), +) も群であり、 Gがアーベル的である場合に限り、アーベル的です。 写像の合成を積 ⋅ とすると、M ( G ) は近環になります。

近傍環M ( G )の0元は零写像、すなわちGのあらゆる元をGの単位元に写す写像である。M ( G )におけるfの加法逆元−fは自然な点ごとの定義、すなわちGの すべてのxに対して(−f ) ( x )=−( f ( x ))と一致する。

G が少なくとも 2 つの元を持つ場合、たとえGがアーベルであっても、 M ( G ) は環ではありません。( GからGの固定元g ≠ 0への定数写像g を考えると、g ≠ 0 = g ≠ 0です。) しかし、 M ( G )の部分集合E ( G ) が存在し、これはGのすべての群自己準同型、つまり、 G のすべての x 、 y に対して f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) となるようなすべての写像f : G → Gで構成されます。( G 、 + )がアーベルである場合 、M ( G  )の両方の近傍環演算は E ( G ) 上で閉じており、 ( E ( G ), +, ⋅) は環です。 ( G、+ )が非アーベルである場合、E ( G )は一般に近傍環演算に対して閉じていません。しかし、近傍環演算によるE ( G )の閉包は近傍環である。

M ( G )の多くの部分集合は興味深く有用な近傍環を形成する。例えば: ^[1]

• f (0) = 0となるマッピング。
• 定数マッピング、つまり、グループのすべての要素を 1 つの固定要素にマッピングするマッピング。
• 群の自己準同型から加算と否定によって生成される写像の集合（自己準同型集合の「加法閉包」）。Gがアーベルである場合、自己準同型集合はすでに加法的に閉じているため、加法閉包はGの自己準同型集合であり、近似環だけでなく環も形成します。

グループにさらに構造がある場合は、さらに例が続きます。たとえば、次のようになります。

• 位相群における連続写像。
• 多項式は、加法と多項式合成に関して単位元を持つ環上の関数です。
• ベクトル空間におけるアフィン写像。

任意の近傍環は、あるGに対してM ( G )の部分近傍環と同型です。

多くのアプリケーションでは、近接場と呼ばれる近接リングのサブクラスが関係します。これについては、近接場に関する記事を参照してください。

適切な近接リング、つまりリングでも近接場でもないもののさまざまな用途があります。

最もよく知られているのは、平面近似環を用いた不完全ブロック設計^[2]のバランスをとることである。これは、群の固定点のない自己同型群の軌道を使用して差分族を得る方法である。James R. Clay らは、これらのアイデアをより一般的な幾何学的構成に拡張した。^[3]

• 近接場（数学）
• セミリング
• 準半リング

• Celestina Cotti Ferrero、Giovanni Ferrero (2002)。Nearrings : Some Developments Linked to Semigroups and Groups。Kluwer Academic Publishers。ISBN 978-1-4613-0267-4。

• ヨハネス・ケプラー大学リンツ校のニアリングのメインページ