ねじれのないアーベル群

数学、特に抽象代数学において、捩れのないアーベル群は、非自明な捩れ元を持たないアーベル群、つまり、群演算が可換であり、単位元が有限位数を持つ唯一の元である群である。

有限生成アーベル群は完全に分類されているが、無限生成アーベル群については、捩れのない可算な場合であってもあまり知られていない。^[1]

アーベル群は、恒等元以外のどの元も有限 位数でないとき、捩れなしであるという。^{[2] [3] [4]}明示的に、任意の に対して、となる唯一の元はである。 ${\displaystyle \langle G,+,0\rangle }$${\displaystyle e}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle nx=0}$${\displaystyle x=0}$

捩れのない群の自然な例は で、整数 0 のみが有限回自身に加算されて 0 に達することができるからです。より一般的には、自由アーベル群は任意の に対して捩れがありません。有限生成アーベル群の分類の証明における重要なステップは、そのような捩れのない群はすべて と同型であるということです。 ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+,0\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$

非有限生成可算な例は、多項式環の加法群（可算ランクの自由アーベル群）によって与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

より複雑な例としては、有理体 の加法群や、 （分母が のべき乗である有理数）などのその部分群があります。さらに複雑な例は、より高いランクの群によって与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{-1}]}$${\displaystyle p}$

アーベル群の階数は、 -ベクトル空間の次元です。同様に、それは の ( 上の)線形独立な部分集合の最大濃度です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle A}$

が捩れなしである場合、 は に注入されます。したがって、階数 1 の捩れなしアーベル群は、加法群 の部分群とまったく同じです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

階数 1 の捩れのないアーベル群は完全に分類されています。そのためには、次のように素数のサブセットを群に関連付けます。任意の を選ぶと、任意の に対してであることと、任意のに対してであることに限ります。これは の選択には依存しません。別の に対してとなる が存在するからです。Baer は^{[5] [6]}が階数 1 の捩れのないアーベル群に対する完全な同型不変量であること を証明しました。${\displaystyle A}$${\displaystyle \tau (A)}$${\displaystyle x\in A\setminus \{0\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\in \tau (A)}$${\displaystyle x\in p^{k}A}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in A\setminus \{0\}}$${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$${\displaystyle ny=mx}$${\displaystyle \tau (A)}$

可算集合上の特定の種類の構造に対する分類問題の困難さは、モデル理論と記述集合論を用いて定量化することができる。この意味で、可算な捩れのないアーベル群の分類問題は可能な限り困難であることが証明されている。^[7]

• フレイリー、ジョン B. (1976)、抽象代数入門(第 2 版)、読書: Addison-Wesley、ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, IN (1964)、Topics In Algebra、ウォルサム：Blaisdell Publishing Company、ISBN 978-1114541016
• ハンガーフォード、トーマス W. (1974)、代数学、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90518-9。
• Lang, Serge (2002)、Algebra (改訂第 3 版)、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 0-387-95385-X。
• マッコイ、ニール H. (1968)、現代代数学入門、改訂版、ボストン：アリン＆ベーコン、LCCN  68-15225