ホワイトヘッド問題

抽象代数学の一分野である群論 において、ホワイトヘッド問題は次の問いである。

Ext ¹ ( A , Z ) = 0となるすべてのアーベル群 Aは自由アーベル群ですか?

サハロン・シェラはホワイトヘッドの問題が集合論の標準公理であるZFCとは独立していることを証明した。 ^[1]

Aがアーベル群であり、すべての短完全列

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0}$

Bもアーベル群であれば、必ず分割される。ホワイトヘッドの問題は、A は自由群でなければならないか？という問いである。この分割要件は、Ext ¹ ( A , Z ) = 0という条件と同等である。この条件を満たすアーベル群Aはホワイトヘッド群と呼ばれることもあるため、ホワイトヘッドの問題は、すべてのホワイトヘッド群は自由群であるか？という問いである。この条件は、正確なシーケンス

${\displaystyle 0\rightarrow C\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0}$

任意のアーベル群Cに対して が分割しなければならない場合、これはAが自由であることと同値であることはよく知られています。

注意: ホワイトヘッドの問題の逆、つまりすべての自由アーベル群はホワイトヘッドであるというのは、群論のよく知られた事実です。著者の中には、Ext ¹ ( A , Z ) = 0 を満たす非自由群Aのみをホワイトヘッド群と呼ぶ人もいます。ホワイトヘッドの問題は、ホワイトヘッド群は存在するのか、という問いです。

サハロン・シェラは、標準的なZFC公理系が与えられた場合、この問題は集合論の通常の公理とは独立していることを示した。^[1]より正確には、彼は次のことを示した。

• すべての集合が構成可能であれば、すべてのホワイトヘッド群は自由です。
• マーティンの公理と連続体仮説の否定が両方とも成り立つ場合、非自由ホワイトヘッド群が存在します。

ZFC の一貫性は、次の両方の一貫性を意味します。

• 構成可能性の公理（すべての集合は構成可能であると主張する）
• マーティンの公理と連続体仮説の否定、

ホワイトヘッドの問題は ZFC では解決できません。

JHCホワイトヘッドは、第二いとこ問題に触発されて、1950年代に初めてこの問題を提起しました。スタインは可算群に対して肯定的に答えました。^[2]より大きな群に対する進歩は遅く、この問題は数年間、 代数学における重要な問題と考えられていました。

シェラの結果は全く予想外のものだった。決定不可能な命題の存在は1931年のゲーデルの不完全性定理以来知られていたが、決定不可能な命題の以前の例（連続体仮説など）はすべて純粋集合論におけるものであった。ホワイトヘッドの問題は、決定不可能であることが証明された最初の純粋代数問題であった。

シェラは後に、ホワイトヘッド問題は連続体仮説を仮定しても決定不可能なままであることを示した。^{[3] [4]}実際、一般化された連続体仮説の下でも決定不可能なままである。^[5]ホワイトヘッド予想は、すべての集合が構成可能である場合に真である。このことや非可算アーベル群に関する他の命題がZFCから独立していることが証明されていることは、そのような群の理論が、仮定されている基礎集合論に非常に敏感であることを示しています。

• 自由アーベル群
• ホワイトヘッド捻転
• ZFC で決定できないステートメントのリスト
• Lで真である文