スレンダーグループ

数学において、細長い群とは、以下の定義で明確にされる意味で「小さい」、 ねじれのない アーベル群です。

Z ^{N が}ベーア・スペッカー群、つまり項ごとの加算を伴うすべての整数列の群を表すものとします。各自然数nに対して、n番目の項が 1 で他の項がすべて 0 である列をe _nとします。

捩れのないアーベル群Gは、 Z ^NからGへのすべての準同型写像がe _nの有限個を除くすべてを単位元に写す場合、細長い群であると言われます。

すべての自由アーベル群は細長い。

有理数 の加法群Q は細長くない: e _nからQへの任意の写像はe _nによって生成される自由部分群からの準同型に拡張され、Q は単射なのでこの準同型はZ ^N全体に拡張される。したがって、細長い群は簡約されなければならない。

すべての可算な縮小された捩れのないアーベル群は細長いので、Qのすべての適切な部分群は細長いです。

• 捩れのないアーベル群が細長いのは、それが縮約されていて、ベーア・スペッカー群のコピーと任意のpに対するp進整数のコピーを含まない場合のみです。
• 細長群の直和も細長群である。
• 細長いグループのサブグループは細長いです。
• Z ^Nから細長群への準同型写像はすべて、ある自然数nについてZ ⁿを介して因数分解されます。

• Fuchs, László (1973)。無限アーベル群。第 II 巻。純粋および応用数学。第 36 巻。ボストン、マサチューセッツ州: Academic Press。第 XIII 章。MR  0349869。Zbl 0257.20035  。。
• グリフィス、フィリップ A. (1970)。無限アーベル群論。シカゴ数学講義。シカゴ大学出版局。pp. 111–112。ISBN 0-226-30870-7.ZBL0204.35001  。​
• Nunke, RJ (1961). 「細長群」.アメリカ数学会報. 67 (3): 274–275. doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10582-X . Zbl  0099.01301.
• Shelah, Saharon ; Kolman, Oren (2000). 「細長い群とねじれのない群の無限公理化可能性」.ベルギー数学会報. 7 : 623–629. MR  1806941. Zbl  0974.03036.