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数学において、予想とは証明なしに暫定的に提示される命題である。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]リーマン予想やフェルマー予想（現在は定理であり、1995年にアンドリュー・ワイルズによって証明された）などの予想は、それを証明するために新しい数学の分野が開発されるにつれて、数学史の多くを形作ってきた。[ 4 ]
形式数学は証明可能な真理に基づいています。数学では、普遍量化予想を支持する事例がどれほど多くても、その予想の正しさを確立するには不十分です。なぜなら、反例が一つでも見つかれば、予想は即座に否定される可能性があるからです。数学雑誌では、研究チームが反例の探索をこれまで以上に拡大した際の、ささやかな成果が掲載されることがあります。例えば、特定の整数列が有限であるかどうかに関するコラッツ予想は、1.2 × 10¹² ( 1.2兆)までのすべての整数について検証されています。しかし、広範囲にわたる探索の後でも反例が見つからなかったとしても、それは予想が正しいことの証明にはなりません。なぜなら、予想は偽であっても、非常に大きな最小反例が存在する可能性があるからです。
それにもかかわらず、数学者は、まだ証明されていなくても、予想が証拠によって強く裏付けられていると考えることが多い。その証拠は、予想の結果の検証や既知の結果との強い相互関係など、さまざまな種類がある。[ 5 ]
推測が証明されたとみなされるのは、それが論理的に偽であることは不可能であることが示された場合のみです。証明方法は様々です。詳しくは数学的証明の方法を参照してください。
反例につながる可能性のあるケースが有限個しかない場合に適用できる証明方法の一つに、「総当たり」と呼ばれるものがあります。この方法では、考えられるすべてのケースを検討し、反例にならないことを示します。場合によっては、ケースの数が非常に多いため、総当たりによる証明では、実際にはすべてのケースをチェックするためにコンピュータアルゴリズムを使用する必要があるかもしれません。例えば、1976年と1997年にコンピュータによって行われた四色定理の総当たりによる証明の妥当性は当初疑問視されていましたが、最終的には2005年に定理証明ソフトウェアによって確認されました。
予想が証明されると、それはもはや予想ではなく定理となる。幾何化定理（ポアンカレ予想を解決した定理）、フェルマーの最終定理など、多くの重要な定理はかつて予想であった。
反例によって反証された予想は、偽予想と呼ばれることがある（ポリア予想やオイラーのべき乗和予想など）。後者の場合、n=4 の場合に最初に見つかった反例は数百万の数字を含むものであったが、その後、最小の反例は実際にはもっと小さいことが判明した。
すべての予想が真偽が証明されるわけではない。ある無限集合の相対的な濃度を確定しようとする連続体仮説は、最終的に、集合論における一般的に受け入れられているツェルメロ＝フレンケル公理系とは独立していることが示された。したがって、この命題、あるいはその否定を、新しい公理として一貫した方法で採用することが可能である（ユークリッドの平行線公理が幾何学の公理系において真または偽のどちらとしても扱われるのと同様である）。
この場合、証明でこの命題が使われている場合、研究者はしばしば、この仮説を必要としない新しい証明を探します（ユークリッド幾何学における命題は、平行線公準を用いずに中立幾何学の公理のみを用いて証明されることが望ましいのと同様です）。実際、これに対する大きな例外は選択公理です。なぜなら、ほとんどの研究者は、特にこの公理を研究している場合を除き、結果が選択公理を必要とするかどうかを気にしないからです。
予想が他の結果の証明において仮定として頻繁に繰り返し用いられる場合、その予想は仮説と呼ばれることがあります。例えば、リーマン予想は数論における予想であり、とりわけ素数の分布に関する予測を行います。リーマン予想が正しいことを疑う数論学者はほとんどいません。実際、いずれ証明されることを期待して、この予想の正しさを前提としたさらなる証明を開発してきた学者もいます。これらは条件付き証明と呼ばれ、仮定された予想は当面の間、定理の仮説として現れます。
しかし、これらの「証明」は、仮説が誤りであることが判明すれば崩れ去ってしまうため、この種の推測の真偽を検証することには大きな関心が寄せられている。
数論において、フェルマーの最終定理（特に古い文献ではフェルマー予想と呼ばれることもある）は、3つの正の整数が、、 そして方程式を満たすことができる任意の整数値に対して2より大きい。
この定理は、1637年にピエール・ド・フェルマーが『算術』の余白に初めて予想し、余白に収まりきらないほど大きな証明を持っていると主張した。[ 6 ]初めて成功した証明は、 1994年にアンドリュー・ワイルズによって発表され、数学者たちの358年にわたる努力の末、1995年に正式に出版された。未解決の問題は、19世紀の代数的整数論の発展と、 20世紀のモジュラリティ定理の証明を刺激した。これは数学の歴史上最も注目すべき定理の1つであり、証明される前は「最も難しい数学の問題」としてギネス世界記録に載っていた。[ 7 ]
In mathematics, the four color theorem, or the four color map theorem, states that given any separation of a plane into contiguous regions, producing a figure called a map, no more than four colors are required to color the regions of the map, i.e. no two adjacent regions have the same color. Two regions are called adjacent if they share a common boundary that is not a corner, where corners are the points shared by three or more regions.[8] For example, in the map of the United States of America, Utah and Arizona are adjacent, but Utah and New Mexico, which only share a point that also belongs to Arizona and Colorado, are not.
Möbius mentioned the problem in his lectures as early as 1840.[9] The conjecture was first proposed on October 23, 1852[10] when Francis Guthrie, while trying to color the map of counties of England, noticed that only four different colors were needed. The five color theorem, which has a short elementary proof, states that five colors suffice to color a map and was proven in the late 19th century;[11] however, proving that four colors suffice turned out to be significantly harder. A number of false proofs and false counterexamples have appeared since the first statement of the four color theorem in 1852.
四色定理は、1976年にケネス・アペルとヴォルフガング・ハーケンによって最終的に証明されました。これは、コンピュータを用いて証明された最初の主要な定理でした。アペルとハーケンのアプローチは、1,936 枚の特定の地図の集合が存在し、そのそれぞれが四色定理の最小サイズの反例の一部にはなり得ないことを示すことから始まりました（つまり、もしそれらが現れたとしても、より小さな反例を作ることができる）。アペルとハーケンは、専用のコンピュータ プログラムを使用して、これらの地図のそれぞれがこの性質を持つことを確認しました。さらに、反例になり得る地図は、必ずこれらの 1,936 枚の地図のいずれかに似た部分を持っていなければなりません。アペルとハーケンは、数百ページに及ぶ手作業による分析でこれを示し、最小の反例は存在しないと結論付けました。なぜなら、最小の反例は、これらの 1,936 枚の地図のいずれかを含まなければならないが、含まないからです。この矛盾は、反例がまったく存在しないことを意味し、したがって定理は真であることを示しています。当初、彼らの証明は、コンピュータ支援による証明が人間による手作業での検証が不可能であったため、数学者たちには全く受け入れられなかった。 [ 12 ]しかし、その後、その証明は広く受け入れられるようになったが、依然として疑問は残っている。[ 13 ]
幾何学的トポロジーの主予想（ドイツ語でHauptvermutung）とは、三角形分割可能な空間の任意の2つの三角形分割には共通の細分化、つまり両方の分割を細分化した単一の三角形分割が存在するという予想である。これはもともと1908年にシュタイニッツとティーツェによって定式化された。[ 14 ]
この予想は現在では誤りであることが知られています。非多様体バージョンは、1961年にジョン・ミルナー[ 15 ]によってライデマイスターねじれを用いて反証されました。
多様体バージョンは次元m ≤ 3で真である。m = 2 および 3 の場合については、それぞれ 1920 年代および 1950 年代にTibor RadóおよびEdwin E. Moise [ 16 ]によって証明された。
数学において、ワイル予想は、アンドレ・ワイル（1949 ）による、有限体上の代数多様体の点の数を数えることから導かれる生成関数（局所ゼータ関数として知られる）に関する非常に影響力のある提案であった。
q個の要素を持つ有限体上の多様体Vは、有限個の有理点を持つとともに、その体を含むqk個の要素を持つすべての有限体上の点も持つ。生成関数の係数は、 qk個の要素を持つ（本質的に一意な）体上の点の数Nkから導出される。
ワイルは、そのようなゼータ関数は有理関数であり、ある形式の関数方程式を満たし、零点が限られた場所に存在するはずだと推測した。最後の2つの部分は、リーマンゼータ関数とリーマン予想を意識的にモデルにしたものであった。有理性はドワーク（1960）によって、関数方程式はグロタンディーク（1965）によって、リーマン予想の類似物はドリーニュ（1974）によって証明された。
数学 において、ポアンカレ予想とは、4次元空間における単位球を囲む超球面である3次元球面の特性に関する定理である。この予想は次のように述べている。
この予想の同等な形式は、同相写像よりも粗い同相写像と呼ばれるホモトピー同相写像を含む。すなわち、3次元多様体が3次元球面とホモトピー同相であれば、それは必然的に3次元球面と同相である。
1904年にアンリ・ポアンカレによって最初に提唱されたこの定理は、局所的には通常の3次元空間のように見えるが、連結で有限の大きさを持ち、境界を持たない空間（閉じた3次元多様体）に関するものである。ポアンカレ予想は、そのような空間が、空間内の各ループを連続的に一点に絞り込むことができるという性質をさらに持つならば、それは必然的に3次元球面であると主張する。同様の結果は、より高次元においても以前から知られていた。
数学者たちの1世紀近くにわたる努力の後、グリゴリー・ペレルマンは2002年と2003年にarXivで公開された3つの論文で予想の証明を発表した。この証明は、リチャード・S・ハミルトンがリッチフローを使ってこの問題を解決しようとした計画に基づいている。ハミルトンは後に、標準のリッチフローの修正版である「外科手術付きリッチフロー」を導入し、特異領域が発達するにつれて体系的に制御された方法で切除するようにしたが、この方法が3次元で「収束」することを証明できなかった。[ 17 ] ペレルマンはこの証明の部分を完成させた。複数の数学者チームがペレルマンの証明が正しいことを検証した。
ポアンカレ予想は、証明される以前は、位相幾何学における最も重要な未解決問題の一つであった。
数学において、ベルンハルト・リーマン（1859年）によって提唱されたリーマン予想は、リーマンゼータ関数の非自明な零点の実部がすべて1/2であるという予想である。この名称は、有限体上の曲線に関するリーマン予想など、密接に関連する類似の現象にも用いられる。
リーマン予想は素数の分布に関する結果を示唆している。適切な一般化とともに、一部の数学者はそれを純粋数学における最も重要な未解決問題と考えている。[ 18 ]リーマン予想は、ゴールドバッハ予想とともに、デイヴィッド・ヒルベルトの23の未解決問題のリストの8番目の問題の一部であり、クレイ数学研究所のミレニアム賞問題の1つでもある。
P対NP問題は、コンピュータ科学における主要な未解決問題です。非公式には、コンピュータで迅速に検証できるすべての問題が、コンピュータで迅速に解決できるかどうかを問うものであり、答えは「いいえ」であると広く推測されています。この問題は、1956年にクルト・ゲーデルがジョン・フォン・ノイマンに宛てた手紙の中で、あるNP完全問題が2次時間または線形時間で解決できるかどうかをゲーデルが尋ねた際に、初めて言及されました。[ 19 ] P=NP問題の正確な記述は、1971年にスティーブン・クックが彼の画期的な論文「定理証明手続きの複雑性」で紹介されました。[ 20 ]コンピュータ科学の分野で最も重要な未解決問題の一つと多くの人に考えられており、 [ 21 ]クレイ数学研究所が選定した7つのミレニアム賞問題の1つにランク付けされており、最初の正解に対して100万米ドルの賞金が授与されます。
カール・ポパーは科学哲学において「推測」という用語の使用を先駆的に行った。[ 24 ]推測は仮説と関連しており、科学においては検証可能な推測を指す。
この論文から: 定義: 平面マップは、領域と呼ばれる平面の互いに素な部分集合の集合です。単純マップは、領域が連結した開集合であるマップです。マップの 2 つの領域は、それぞれの閉包がマップの角ではない共通の点を持つ場合に隣接しています。点がマップの角であるのは、それが少なくとも 3 つの領域の閉包に属する場合に限ります。定理: 任意の単純平面マップの領域は、隣接する 2 つの領域が異なる色になるように、4 つの色だけで着色できます。
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