解析的ねじれ

数学において、ライデマイスター捩れ（またはR-捩れ、ライデマイスター・フランツ捩れ）は、 3次元多様体に対してクルト・ライデマイスター（Reidemeister 1935）によって導入され、ヴォルフガング・フランツ （1935）とジョルジュ・ド・ラム（1936）によって高次元に一般化された多様体の位相不変量である 。 解析的捩れ（またはレイ・シンガー捩れ）は、ライデマイスター捩れの解析的類似物としてダニエル・B・レイとイサドール・M・シンガー （1971、1973a、1973b）によって定義されたリーマン多様体の不変量である。ジェフ・チーガー (1977、1979) とヴェルナー・ミュラー(1978) は、コンパクトなリーマン多様体ではライデマイスター捩れと解析捩れは同じである  というレイとシンガーの予想を証明した。

ライデマイスター捩れは、ホモトピー同値だが同相ではない閉多様体を区別できる代数位相幾何学における最初の不変量であり、したがって、独自の体としての幾何学的位相幾何学の誕生と見なすことができます。これは、レンズ空間を分類するために使用できます。

ライデマイスター捩れはホワイトヘッド捩れと密接に関連している。(Milnor 1966) を参照。また、数論的位相幾何学に重要な動機を与えた。(Mazur) を参照。捩れに関する最近の研究については、書籍 (Turaev 2002) および (Nicolaescu 2002, 2003) を参照。

Mがリーマン多様体でE がM上のベクトル束である場合、 Eに値を持つk形式に作用するラプラシアン演算子が存在する。k形式の固有値が λ _jである場合、ゼータ関数 ζ _kは次のように定義される。

${\displaystyle \zeta _{k}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}}$

s が大きい場合、これは解析接続によってすべての複素sに拡張されます。k形式に作用するラプラシアンのゼータ正規化行列式は、

${\displaystyle \Delta _{k}=\exp(-\zeta _{k}^{\prime }(0))}$

これは形式的にはk形式に作用するラプラシアンの正の固有値の積である。解析的捩れ T ( M , E )は次のように定義される。

${\displaystyle T(M,E)=\exp \left(\sum _{k}(-1)^{k}k\zeta _{k}^{\prime }(0)/2\right)=\prod _{k}\Delta _{k}^{-(-1)^{k}k/2}.}$

を基本群 と普遍被覆を持つ有限連結CW複体とし、を直交有限次元 -表現とする。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :=\pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle H_{n}^{\pi }(X;U):=H_{n}(U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}}))=0}$

全ての n に対して となる。 の細胞基底と の直交-基底を固定すると、 は縮約可能な有限基底自由-連鎖複体となる。を D _*の任意の連鎖縮約、すなわち全ての に対して としよう。 、との同型を得る。ライデマイスター捩れを定義する。${\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle D_{*}:=U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}})}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \gamma _{*}:D_{*}\to D_{*+1}}$${\displaystyle d_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ d_{n}=id_{D_{n}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}:D_{\text{odd}}\to D_{\text{even}}}$${\displaystyle D_{\text{odd}}:=\oplus _{n\,{\text{odd}}}\,D_{n}}$${\displaystyle D_{\text{even}}:=\oplus _{n\,{\text{even}}}\,D_{n}}$

${\displaystyle \rho (X;U):=|\det(A)|^{-1}\in \mathbf {R} ^{>0}}$

ここで、A は与えられた基底に関するの行列です。ライデマイスターのねじれは、 の細胞基底、 の直交基底、および連鎖縮約の選択に依存しません。 ${\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}}$${\displaystyle \rho (X;U)}$${\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \gamma _{*}}$

をコンパクトな滑らかな多様体とし、をユニモジュラ表現とします。は滑らかな三角形分割を持ちます。 体積 の任意の選択に対して、不変量 を得ます。 このとき、正の実数をおよびに関する多様体のライデマイスター捩れと呼びます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow GL(E)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu \in \det H_{*}(M)}$${\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )\in \mathbf {R} ^{+}}$${\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mu }$

ライデマイスター捩れは、ライデマイスターによって (Reidemeister 1935) で3 次元レンズ空間を組合せ的に分類するために初めて使用され、より高次元の空間ではフランツによって使用されました。この分類には、同相ではないホモトピー同値な3 次元多様体の例が含まれています。当時 (1935) の分類はPL 同相まででしたが、後に EJ Brody (1960) は、これが実際には同相まで分類されていることを示しました。

JHC ホワイトヘッドは、有限複体間のホモトピー同値の「ねじれ」を定義しました。これは、ライデマイスター、フランツ、およびド・ラムの概念を直接一般化したものですが、より繊細な不変量です。ホワイトヘッドのねじれは、非自明な基本群を持つ組み合わせ多様体または微分可能多様体の研究に重要なツールを提供し、「単純ホモトピー型」の概念と密接に関連しています。(Milnor 1966) を参照してください。

1960年にミルナーは多様体のねじれ不変量の双対関係を発見し、結び目の（ねじれた）アレクサンダー多項式が、その結び目の補集合のライデマイスターねじれであることを示した。（ミルナー 1962）各qに対して、ポアンカレ双対性は以下を誘導する。 ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle P_{o}}$

${\displaystyle P_{o}\colon \operatorname {det} (H_{q}(M)){\overset {\sim }{\,\longrightarrow \,}}(\operatorname {det} (H_{n-q}(M)))^{-1}}$

そして、

${\displaystyle \Delta (t)=\pm t^{n}\Delta (1/t).}$

結び目補集合の基本群の表現は、それらにおいて中心的な役割を果たします。これは、結び目理論とねじれ不変量との関係を示します。

をn次元の向き付け可能なコンパクトリーマン多様体とし、をN次元の実ベクトル空間上 の基本群の表現とする。すると、ド・ラーム複体を定義することができる。${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow \mathop {GL} (E)}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \Lambda ^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{n}}$

およびの平坦性により、形式的随伴関数とが得られる。通常通り、p形式上のホッジラプラシアンも得られる。 ${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle \delta _{p}}$${\displaystyle E_{q}}$

${\displaystyle \Delta _{p}=\delta _{p+1}d_{p}+d_{p-1}\delta _{p}.}$

と仮定すると、ラプラシアンは純粋な点スペクトルを持つ対称正半正楕円演算子となる。 ${\displaystyle \partial M=0}$

${\displaystyle 0\leq \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \rightarrow \infty .}$

前述のように、ラプラシアンに関連するゼータ関数を次のように定義できる。 ${\displaystyle \Delta _{q}}$${\displaystyle \Lambda ^{q}(E)}$

${\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\text{Tr}}(e^{-t\Delta _{q}}-P_{q})dt,\ \ \ {\text{Re}}(s)>{\frac {n}{2}}}$

ここで、 はラプラシアン の核空間への の射影です。さらに、(Seeley 1967) によって、が で正則である の有理型関数に拡張されることが示されました。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle L^{2}\Lambda (E)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(E)}$${\displaystyle \Delta _{q}}$${\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )}$${\displaystyle s\in \mathbf {C} }$${\displaystyle s=0}$

直交表現の場合と同様に、解析的捩れを次のように 定義する。${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)}$

${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\exp {\biggl (}{\frac {1}{2}}\sum _{q=0}^{n}(-l)^{q}q{\frac {d}{ds}}\zeta _{q}(s;\rho ){\biggl |}_{s=0}{\biggr )}.}$

1971 年に DB Ray と IM Singer は、任意のユニタリ表現に対して であると予想しました。この Ray–Singer 予想は、最終的に Cheeger (1977、1979) と Müller (1978) によって独立に証明されました。どちらのアプローチも、捩れ量の対数とそのトレースに焦点を当てています。これは、追加の技術的困難を伴う偶数次元の場合よりも奇数次元の多様体の場合の方が簡単です。この Cheeger–Müller の定理 (捩れ量の 2 つの概念は同等である) は、Atiyah–Patodi–Singer の定理とともに、後にChern–Simons 摂動論の基礎となりました。 ${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\tau _{M}(\rho ;\mu )}$${\displaystyle \rho }$

任意の表現に対する Cheeger-Müller 定理の証明は、後に JM Bismut と Weiping Zhang によって与えられました。彼らの証明では Witten 変形が使用されています。

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