三角測量（トポロジー）

数学において、三角形分割は位相空間を区分線型空間に置き換えること、つまり適切な単体複体における同相写像を選択することを表します。単体複体に同相な空間は三角形分割可能と呼ばれます。三角形分割は、代数位相幾何学、複素解析、モデリングなど、数学のさまざまな分野でさまざまな用途があります。

一方で、位相空間の余分な情報を忘れることは、時には役に立つことがあります。元の空間を単体複合体に置き換えることは、重要な特性を認識し、検討中のオブジェクトをよりよく理解するのに役立つ場合があります。

一方、単体複体は組合せ的特徴を持つオブジェクトであるため、組合せ的パターンから生じる量、たとえばオイラー特性を割り当てることができます。三角形分割により、このような量を位相空間に割り当てることができるようになりました。

三角形分割の存在と一意性に関する研究により、位相幾何学における新しい分野、すなわち区分線形位相幾何学 (略して PL 位相幾何学) が確立されました。その主な目的は、単体複体とその一般化であるセル複体の位相的性質です。

集合上の抽象単体複体は、次のような空でない部分集合の システムです。${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {P}}(V)}$

• ${\displaystyle \{v_{0}\}\in {\mathcal {T}}}$それぞれについて;${\displaystyle v_{0}\in V}$
• かつ の場合 。${\displaystyle E\in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \emptyset \neq F\subset E}$ ${\displaystyle \Rightarrow}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {T}}}$

の要素は単体と呼ばれ、の要素は頂点と呼ばれます。頂点を持つ単体は定義により次元を持ちます。抽象単体複体の次元は と定義されます。^[1]${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{dim}}({\mathcal {T}})={\text{sup}}\;\{{\text{dim}}(F):F\in {\mathcal {T}}\}\in \mathbb {N} \cup \infty }$

抽象単体複体も幾何学的オブジェクトとして考えることができます。これには幾何学的単体という用語が必要です。

を におけるアフィン独立な点とします。つまり、ベクトルは1 次独立です。集合はによって張られる単体と呼ばれます。定義により次元があります。点はの頂点と呼ばれ、頂点のによって張られる単体は面と呼ばれ、境界はその面の和集合として定義されます。 ${\displaystyle p_{0},...p_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (p_{1}-p_{0}),(p_{2}-p_{0}),\dots (p_{n}-p_{0})}$${\textstyle \Delta ={\Bigl \{}x\in \mathbb {R} ^{n}\;{\Big |}\;x=\sum _{i=0}^{n}t_{i}p_{i}\;ただし\;0\leq t_{i}\leq 1\;かつ\;\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\Bigr \}}}$${\displaystyle p_{0},...p_{n}}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{0},...p_{n}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \partial \Delta }$

次元標準単体は単位ベクトル^[2]によって張られる単体である。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{0},...e_{n}}$

幾何学的単体複体とは、次のような幾何学的単体の集合である。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$

• が 内の単体である場合、そのすべての面は 内にあります。${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• が内の 2 つの異なる単体である場合、それらの内部は互いに素です。${\displaystyle S,T}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

のすべての単体の和集合はの点の集合を与え、 と表記されます。この集合は、がすべての に対して閉じているように閉集合を選択することで位相を持ちます。一般に、この位相はから継承される部分空間位相と同じではないことに注意してください。複体 の各点が有限個の単体にのみ存在する場合、位相は一致します。^[2]${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\textstyle |{\mathcal {S}}|=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S.}$${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$${\displaystyle \{A\subseteq |{\mathcal {S}}|\;\mid \;A\cap \Delta }$ ${\displaystyle \Delta \in {\mathcal {S}}\}}$${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

各幾何学的複体は、 の任意の単体に現れる頂点の集合を基底集合として選択し、 の部分集合が の単体の頂点集合に対応する部分集合のシステムとして選択することによって、抽象複体に関連付けることができます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

当然の疑問は、逆に、任意の抽象単体複体が幾何学的複体に対応するかどうかです。一般に、ここで述べた幾何学的構成は十分に柔軟ではありません。たとえば、無限次元の抽象単体複体を考えてみましょう。ただし、次のより抽象的な構成は、あらゆる種類の抽象単体複体に位相空間を提供します。

を集合 上の抽象単体複体とします。単体 の和集合を選択しますが、各単体の次元は十分大きく、抽象幾何学単体が 次元を持つ場合、幾何学単体は次元になります。 の場合、 は の面と同一視でき、結果として得られる位相空間は の接着です。各包含に対して接着を実行すると、目的の位相空間が得られます。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (\Delta _{F})_{F\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle \Delta _{F}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E\subset F}$${\displaystyle \Delta _{E}\subset \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle \Delta _{F}\subset \mathbb {R} ^{M}}$ ${\displaystyle \Delta _{E}\cup _{i}\Delta _{F}}$

前の構成と同様に、接着によって誘導される位相により、この空間内の閉集合は、複体内の すべての単体の部分空間位相で閉じている部分集合になります。${\displaystyle \Delta _{F}}$

次元のすべての単体からなる単体複体は、の番目の骨格と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {T_{n}}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \leq n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

単体複体における頂点の自然近傍は、リンクを境界とする単体の星によって与えられると考えられます。 ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \operatorname {star} (v)=\{L\in {\mathcal {S}}\;\mid \;v\in L\}}$${\displaystyle \operatorname {link} (v)}$

このカテゴリで考慮される写像は単体写像である。、を集合、の上の抽象単体複体とする。単体写像はの各単体をの単体に写す関数である。単体上のアフィン線型拡張により、複体の幾何学的実現間の写像が誘導される。^[2]${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle V_{K}}$${\displaystyle V_{L}}$${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle f}$

• およびとします。関連する幾何学的複合体は、中心 を持つ星です。${\displaystyle W=\{a,b,c,d,e,f\}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}={\Big \{}\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{e\},\{f\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{a,e\},\{a,f\}{\Big \}}}$${\displaystyle \{a\}}$
• とし、 とします。これを幾何学的に実現すると四面体になります。${\displaystyle V=\{A,B,C,D\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {P}}(V)}$${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$
• を上記と同じとし、 とします。幾何学的単体複体は四面体 の境界です。${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'=\;{\mathcal {P}}(V)\setminus \{A,B,C,D\}}$${\displaystyle |{\mathcal {S'}}|=\partial |{\mathcal {S}}|}$

位相空間の三角形分割は、 が単体複体である同相写像です。位相空間は必ずしも三角形分割を許容するわけではなく、許容する場合でも、必ずしも一意であるとは限りません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t:|{\mathcal {T}}|\rightarrow X}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

• 単体複体は恒等法で三角形に分割できます。
• を上記の例のように考えてみましょう。閉じた単位球は四面体と同相なので、三角形分割、つまり同相写像 が許されます。を に制限すると同相写像 が得られます。${\displaystyle {\mathcal {S}},{\mathcal {S'}}}$${\displaystyle \mathbb {D} ^{3}}$${\displaystyle t:|{\mathcal {S}}|\rightarrow \mathbb {D} ^{3}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle |{\mathcal {S}}'|}$${\displaystyle t':|{\mathcal {S}}'|\rightarrow \mathbb {S} ^{2}}$

• トーラスは 三角形に分割できます。これを理解するには、トーラスを平行な面が接着された正方形として考えます。この正方形は、以下に示すように三角形に分割できます。${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$

  

• 射影平面は 三角形分割を許容する（CW複体を参照）${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$
• 微分可能多様体は三角形分割を許容することを示すことができる。^[3]

空間の三角形分割により、専用の単体複体から生じる組み合わせ不変量を空間に割り当てることができます。これらは、単体写像を介して同型である複体に対して等しく、したがって同じ組み合わせパターンを持つ特性です。

このデータは同相写像までの位相空間を分類するのに有用かもしれないが、それは特性が位相不変量でもある、つまり選択された三角分割に依存しないという条件付きである。ここに挙げたデータの場合、これが当てはまる。^[4]詳細と特異点ホモロジーへのリンクについては、位相不変量を参照。

三角分割により、鎖複体をその単体複体から生じる位相空間に割り当て、その単体ホモロジーを計算することができます。コンパクト空間は常に有限の三角分割を許容するため、そのホモロジー群は有限生成され、そのうちの有限個だけが消滅しません。ベッティ数やオイラー特性などの他のデータは、ホモロジーから導出できます。

を有限単体複体とする。 - 番目のベッティ数は、空間の - 番目の単体ホモロジー群の階数として定義される。これらの数は、空間の幾何学的特性を表す。たとえば、ベッティ数は連結成分の数を表す。三角形で囲まれた閉じた有向面の場合、が成り立ち、 は面の種数を表す。したがって、その最初のベッティ数は、面のハンドルの 2 倍の数を表す。 ^[5]${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b_{n}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b_{0}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle b_{1}(F)=2g}$${\displaystyle g}$

上記のコメントから、コンパクト空間ではすべてのベッティ数は有限であり、ほとんどすべてがゼロである。したがって、それらの交代和を次のように形成することができる。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}b_{k}({\mathcal {S}})}$

これは複体の オイラー特性と呼ばれ、キャッチーな位相不変量です。

これらの不変量を同相までの位相空間の分類に使用するには、同相に関する特性の不変性が必要です。

この問題に対する有名なアプローチは、20 世紀初頭に、同じ位相空間の任意の 2 つの三角形分割が共通の細分を許容することを示す試みでした。この仮定は、主仮定 (ドイツ語: Mainsumption)として知られています。 を単体複体とします。複体がの細分であるとは、次の場合に限ります。 ${\displaystyle |{\mathcal {L}}|\subset \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle |{\mathcal {L'}}|\subset \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• のすべての単体はの単体に含まれ、${\displaystyle {\mathcal {L'}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
• のすべての単体はの単体の有限和である。^[2]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L'}}}$

これらの条件は、細分によって単体複体が集合としても位相空間としても変化しないことを保証する。単体複体間の写像は、の各単体上で が区分線形であるようなの細分化が存在する場合、区分線形であるという。区分線形一対一で他の複体に対応する 2 つの複体は、組合せ同型であるという。特に、共通の細分化を持つ 2 つの複体は、組合せ的に同値である。ホモロジー群は組合せ同値性に対して不変であるため、Hauptvermutung は単体ホモロジー群の位相不変性を与える。1918 年、Alexander は特異ホモロジーの概念を導入した。それ以降、三角形分割から生じる不変量のほとんどは、特異ホモロジーから生じる不変量に置き換えられた。これらの新しい不変量については、同相写像に関して不変であり、ホモトピー同値性に関しても不変であることが示される。^[6]さらに、特異ホモロジー群と単体ホモロジー群が一致することが示された。^[6]この回避策は、同相写像に対するデータの不変性を示した。Hauptvermutungは重要性を失ったが、位相幾何学における新しい分野、すなわち区分線形位相幾何学（略してPL位相幾何学）の先駆けとなった。^[7]${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {K'}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Hauptvermutung（ドイツ語で主予想）は、2つの三角形分割は常に共通の細分化を許容すると述べている。元々、その目的は、同相写像に関する組合せ不変量の不変性を証明することであった。そのような細分化が一般に存在するという仮定は直感的である。なぜなら、低次元多様体などの単純な空間では細分化は簡単に構築できるからである。確かに、この仮定は次元の多様体と微分可能多様体に対して証明されたが、一般には反証された：^[8] 三角形分割が共通の細分化を許容しない、つまりそれらの基礎となる複体が組合せ的に同型ではないことを示す重要なツールは、ライデマイスター捩れの組合せ不変量である。 ${\displaystyle \leq 3}$

Hauptvermutung を反証するには、位相不変量ではない組み合わせ不変量を使うと便利です。有名な例はライデマイスター捩れです。これはCW 複体の組に割り当てることができます。この特性は位相不変量になりますが、一般にはそうではありません。Hauptvermutung へのアプローチは、ライデマイスター捩れの異なる値を持つ同相空間を見つけることでした。この不変量は当初レンズ空間を分類するために使用され、Hauptvermutung に対する最初の反例はレンズ空間に基づいて構築されました。^[8]${\displaystyle (K,L)}$${\displaystyle L=\emptyset }$${\displaystyle L\neq \emptyset }$

レンズ空間は、元々の定式化では、3次元球面の商空間として構成される3次元多様体である。を互いに素な自然数と する。レンズ空間は、自由群作用の軌道空間として定義される。${\displaystyle p,q}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle L(p,q)}$

${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \times S^{3}\to S^{3}}$

${\displaystyle (k,(z_{1},z_{2}))\mapsto (z_{1}\cdot e^{2\pi ik/p},z_{2}\cdot e^{2\pi ikq/p})}$。

異なる組の場合、レンズ空間はホモトピー同値ですが同相ではありません。したがって、基本群としての古典的な不変量の助けを借りて区別することはできませんが、ライデマイスター捩れを使用することで区別できます。 ${\displaystyle (p,q)}$

2 つのレンズ空間が同相であるための必要十分条件は である。[9] これは、2 つのレンズ空間が単純ホモトピー同値 である場合に^限ります。この事実は、次のように Hauptvermutung の反例を構成するために使用できます。異なるライデマイスター捩れを持つ非同相レンズ空間から導出された空間があるとします。さらに、 への修正はライデマイスター捩れには影響しないが、修正後にと が同相になるものと仮定します。結果として得られる空間は Hauptvermutung を反証します。 ${\displaystyle L(p,q_{1}),L(p,q_{2})}$${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$${\displaystyle L'_{1},L'_{2}}$${\displaystyle L(p,q_{1}),L(p,q_{2})}$${\displaystyle L'_{1},L'_{2}}$${\displaystyle L'_{1}}$${\displaystyle L'_{2}}$

計算上の問題に対する具体的な三角分割の問題の他に、単体複体であれば証明が容易な空間についての記述がある。特に多様体は興味深い。次元 の位相多様体は常に三角分割可能である^{[10] [11] [1]}が、次元、任意だが 3 より大きい の三角分割不可能な多様体も存在する^{[12] [13]} 。さらに、微分可能多様体は常に三角分割を許容する。^[3]${\displaystyle \leq 3}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

多様体は空間の重要なクラスです。多様体は三角形分割可能であるだけでなく、さらに区分線型アトラス、つまり PL 構造を許容することが当然要求されます。

を単体複体とし、あらゆる点が開近傍を許容し、 の三角形分割と区分線型同相写像が存在するものとします。このとき、 は次元 の区分線型 (PL) 多様体であるとされ、三角形分割と PL アトラスを合わせたものは上の PL 構造であるとされます。 ${\displaystyle |X|}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |X|}$

重要な補題は次のとおりです。

を位相空間と する。これは${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$は次元多様体であり、PL構造を許容します。${\displaystyle n}$
2. 各頂点のリンクが球面になるような 三角形分割があります。${\displaystyle X}$${\displaystyle n-1}$
3. 各頂点のリンクの各三角形は球体です。${\displaystyle X}$${\displaystyle n-1}$

2番目と3番目のステートメントが同値なのは、頂点のリンクが、組合せ同型性まで選択された三角形分割に依存しないからです。^[14]微分可能多様体は、次元の多様体と同様にPL構造を許容することを示すことができます。^[15]三角形分割予想の反例は、もちろんPL構造の存在予想の反例です。 ${\displaystyle \leq 3}$

さらに、PL構造を許容しない三角形空間の例もある。次元PLホモロジー球面を考えてみよう。二重サスペンションは位相球面である。三角形分割のサスペンション操作によって得られる三角形分割を選択すると、結果として得られる単体複体はPL多様体ではない。なぜなら、が球面ではないような頂点が存在するからである。^[16]${\displaystyle n-2}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{2}X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t:|{\mathcal {S}}|\rightarrow S^{2}X}$${\displaystyle v}$${\displaystyle link(v)}$${\displaystyle n-1}$

定義から生じる疑問は、PL 構造が常に一意であるかどうかです。同じ空間に対する 2 つの PL 構造が与えられた場合、両方の PL 構造に関して区分的に線形である同相写像が存在するでしょうか。この仮定は Hauptvermutung に似ており、確かに、同等ではない異なる PL 構造を持つ空間が存在します。PL 同等の空間の三角形分割は、Pachner 移動によって互いに変換できます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle F:Y\rightarrow Y}$

パフナー移動は三角形分割を操作する方法である。を単体複体とする。2つの単体に対して、結合${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle K,L}$

${\displaystyle K*L={\Big \{}tk+(1-t)l\;|\;k\in K,l\in L\;t\in [0,1]{\Big \}}}$は、 内の点と 内の点を結ぶ直線上にある点です。内にない任意 の に対してとなるようなものを選んでください。を で置き換えることで、新しい複素数が得られます。この置き換えは Pachner 移動と呼ばれます。 Pachner の定理は、2 つの三角形多様体が PL 同等である場合、両方を別のものに変換する一連の Pachner 移動が存在すると述べています。^[17]${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle lk(S)=\partial K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$${\displaystyle S*\partial K}$${\displaystyle \partial S*K}$

単体複合体と似ていますが、より柔軟な構造として、細胞複合体（または CW 複合体） があります。その構造は次のとおりです。

-セルは閉じた- 次元単位球であり、開いた- セルはその内部です。を位相空間とし、 を連続写像とします。この接着は、 - セル上に接着することによって得られると言われています。${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B_{n}=[0,1]^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B_{n}=[0,1]^{n}\setminus \mathbb {S} ^{n-1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{n-1}\rightarrow X}$${\displaystyle X\cup _{f}B_{n}}$${\displaystyle n}$

セル複体とは、次のような位相空間の 和集合である。${\displaystyle X=\cup _{n\geq 0}X_{n}}$

• ${\displaystyle X_{0}}$離散集合である
• それぞれは、セルのファミリーを接着することによってから取得されます。${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n-1}}$${\displaystyle n}$

各単体複体は CW 複体であり、その逆は真ではない。CW 複体の構成は細胞相同性を定義するために使用でき、細胞相同性と単体相同性が一致することを示すことができる。^[18]計算上の問題では、空間を CW 複体であると仮定し、細胞分解によって相同性を決定する方が簡単な場合があり、その一例が射影平面である。CW 複体としての構成には 3 つの細胞が必要であるが、単体複体は 54 個の単体から構成される。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

1 次元多様体を三角形に分割すると、それらが常に実数直線と単位球面の互いに素なコピーに同相であることを示すことができます。さらに、曲面、つまり 2 次元多様体は完全に分類できます。をコンパクトな曲面とします。 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle S}$

• が向き付け可能である場合、何らかの に対して、それは次元のトーラスが付属した 2 次元球面に同相です。${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n\geq 0}$
• が向き付け可能でない場合、何らかの に対して、次元のトーラスが付属したクラインの壷に同相である。^[要出典]${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n\geq 0}$

この定理を証明するには、表面の基本多角形を構築します。これは、三角形分割によって得られる単体構造を使用して行うことができます。^[19]

空間に単体構造を与えると、その空間上で定義された写像を理解するのに役立つかもしれません。写像は、単体近似定理によって単体写像であると仮定できることがよくあります。

、を集合、の上の抽象単体複体とします。単体写像は、の各単体を の単体に写す関数です。単体上のアフィン線型拡張により、 は複体の幾何学的実現の間の写像を誘導します。幾何学的複体内の各点は、そのサポートである 1 つの単体の内部にあります。ここで連続写像を考えます。 単体写像は、各がで ののサポートに写像される場合に限り、の単体近似であると言われています。このような近似が存在する場合、各単体上で定義することにより、に変換するホモトピーを構築できます。単体は縮約可能であるため、常に存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle V_{K}}$${\displaystyle V_{L}}$${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$${\displaystyle g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

単体近似定理は、すべての連続関数に対して、少なくとも をその反復重心分割に置き換えることによる の改良後には単体近似が存在することを保証します。^[2]この定理は、例えばレフシェッツの不動点定理など、代数位相幾何学における特定の命題において、連続写像の振る舞いを単体写像の振る舞いに還元するために重要な役割を果たします。${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

レフシェッツ数は、連続関数が不動点を許容するかどうかを調べるのに便利なツールです。このデータは次のように計算されます。と が有限三角分割を許容する位相空間であるとします。連続写像は、体 の係数を持つ単体ホモロジー群の間に準同型写像を誘導します。これらは -ベクトル空間間の線型写像であるため、トレースを決定でき、交代和を計算できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f_{i}:H_{i}(X,K)\rightarrow H_{i}(Y,K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle tr_{i}}$

${\displaystyle L_{K}(f)=\sum _{i}(-1)^{i}tr_{i}(f)\in K}$

は のレフシェッツ数と呼ばれる。 ならば、この数は のオイラー特性である。不動点定理は、 であれば常に不動点を持つことを述べている。証明では、まず単体写像についてのみこれが示され、次に近似定理によって任意の連続関数について一般化される。ブラウワーの不動点定理は、が単位球の自己準同型である場合を扱う。そのすべてのホモロジー群に対して は消え、 は常に恒等写像なので、 であれば不動点を持つ。^[20]${\displaystyle f}$${\displaystyle f=id}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L_{K}(f)\neq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow \mathbb {D} ^{n}}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle H_{k}(\mathbb {D} ^{n})}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle L_{K}(f)=tr_{0}(f)=1\neq 0}$${\displaystyle f}$

リーマン・フルヴィッツの公式は、明示的な三角分割を使わずに、コンパクトで連結なリーマン面 の種数を決定することを可能にする 。証明には、抽象的な意味での面の三角分割の存在が必要である。種数が既知の面上の非定数正則関数を とする。面の種数 との関係は${\displaystyle X}$${\displaystyle F:X\rightarrow Y}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 2g(X)-2=deg(F)(2g(Y)-2)\sum _{x\in X}(ord(F)-1)}$

ここで、はマップの次数を表します。合計は関数の分岐点のみを数えるため、明確に定義されます。 ${\displaystyle deg(F)}$

この公式の背景は、リーマン面上の正則関数が分岐被覆であるということにあります。この公式は分岐点の近くの単体構造の像を調べることで見つけることができます。^[21]

• 三角測量（幾何学）
• 三角形メッシュ

• アレン・ハッチャー：代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ/ニューヨーク/メルボルン 2006年、ISBN 0-521-79160-X
• ジェームズ・R・マンクレス：バンド1984。アディソン・ウェズリー、メンロパーク、カリフォルニア1984年、ISBN 0-201-04586-9
• マーシャル・M・コーエン：単純ホモトピー理論のコース。Graduate Texts in Mathematics。1973年、ISSN 0072-5285、doi :10.1007/978-1-4684-9372-6。