四角

四角
正四辺形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	4
シュレーフリ記号	{4}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 4）、順序2×4
内角（度）	90°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

ユークリッド幾何学では、正方形は正 四辺形であり、4つの辺の長さが等しく、4つの角度（90度の角度、π/2ラジアンの角度、または直角）が等しいことを意味します。正方形は、2つの隣接する辺の長さが等しい長方形として定義することもできます。正方形は、内角、中心角、外角がすべて等しい（90°）唯一の正多角形です。頂点がABCDである正方形は、ABCDと表記されます。^[1] ${\displaystyle \square}$

四辺形が正方形となるのは、次のいずれかの場合のみです。 ^{[2] [3]}

• 隣接する2辺が等しい長方形
• 直角の頂点を持つ菱形
• すべての角度が等しい菱形
• 1つの直角の頂点と2つの隣接する等しい辺を持つ平行四辺形
• 4つの辺が等しく、4つの角が直角である四辺形
• 対角線が等しく、互いの垂直二等分線である四辺形（つまり、対角線が等しい菱形）
• 連続する辺がa、b、c、dの凸四辺形で面積が^{[4]であるもの：系15}${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).}$

正方形は、菱形（辺が等しく、向かい合う角も等しい）、凧形（隣り合う2組の辺が等しい）、台形（向かい合う1組の辺が平行）、平行四辺形（向かい合う辺がすべて平行）、四辺形または四角形（4辺の多角形）、長方形（向かい合う辺が等しく、直角）の特殊なケースであり、したがってこれらすべての図形の特性をすべて備えています。^[5]

• 正方形の 4 つの内角はすべて等しい (それぞれ 360°/4 = 90°、直角)。
• 正方形の中心角は 90° (360°/4) に等しくなります。
• 正方形の外角は90°に等しい。
• 正方形の対角線は等しく、互いに二等分し、90°で交わります。
• 正方形の対角線は内角を二等分し、隣接する角度は 45° になります。
• 正方形の4辺はすべて等しい。
• 正方形の向かい合う辺は 平行です。

正方形はシュレーフリ記号{4}を持つ。切頂正方形t{4}は八角形{8}である。交互正方形h{4}は二角形{2}である。正方形はn超立方体とn正方体族のn = 2の場合である。

4辺の長さが等しい正方形の周囲の長さは ${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle P=4\ell}$

そして面積 Aは

${\displaystyle A=\ell ^{2}.}$^[1]

4 の 2 乗は 16 なので、4 × 4 の正方形の面積は周囲の長さに等しくなります。このような性質を持つ他の四角形は、3 × 6 の長方形だけです。

古代では、2 乗は上記の式のように、正方形の面積で表されていました。これにより、2 乗を意味する「 平方」という用語が使われるようになりました。

面積は対角線dを使って次のように 計算することもできる。

${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}.}$

円周半径 Rに関して、正方形の面積は

${\displaystyle A=2R^{2};}$

円の面積は、その外接円の正方形の塗りつぶしだからです。 ${\displaystyle \pi R^{2},}$${\displaystyle 2/\pi \approx 0.6366}$

内接円の半径 rに関して、正方形の面積は

${\displaystyle A=4r^{2};}$

したがって、内接円の面積は正方形の面積と等しく なります。${\displaystyle \pi /4\approx 0.7854}$

正方形は正多角形なので、与えられた面積を囲む周囲が最小の四角形です。また、正方形は与えられた周囲内に最大の面積を含む四角形です。^[6] 実際、AとPが四角形に囲まれた面積と周囲である場合、次の等周不等式が成り立ちます。

${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$

四辺形が正方形である場合にのみ等しくなります。

• 正方形の対角線の長さは、正方形の辺の長さの約1.414倍です。この値は2の平方根またはピタゴラス定数として知られ、^[1]無理数であることが証明された最初の数でした。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• 正方形は、角度を二等分する等しい対角線を持つ平行四辺形として定義することもできます。
• 図形が長方形（直角）かつ菱形（辺の長さが等しい）である場合、それは正方形です。
• 正方形は、同じ周囲長を持つ他のどの四角形よりも面積が大きい。^[7]
• 正方形のタイル張りは、平面上の3 つの正規のタイル張りのうちの 1 つです(他の 2 つは正三角形と正六角形です)。
• 正方形は、2次元の多面体の2つのファミリー、すなわち超立方体と交差多面体に属します。正方形のシュレーフリ記号は {4} です。
• 正方形は対称性が非常に高いオブジェクトです。 4 本の反射対称線があり、4 次回転対称性(90°、180°、270°) を持ちます。対称群は二面体群 D ₄です。
• 正方形は任意の正多角形に内接することができます。この性質を持つ他の多角形は正三角形だけです。
• 正方形ABCDの内接円がAB上の接点E、BC上の接点F、CD上の接点G、DA上の接点Hを持つ場合、内接円上の任意の点Pに対して、 ^[8]

${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$

• が平面上の任意の点から正方形のi番目の頂点までの距離であり、が正方形の外接半径である場合、 ^[9]${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$

• とがそれぞれ平面上の任意の点から正方形の重心とその4つの頂点までの距離である場合、[ ^10]${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$

そして

${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$

正方形の外接半径はどこですか。${\displaystyle R}$

原点を中心とし、辺の長さが2である垂直と水平の辺を持つ正方形の頂点の座標は(±1, ±1)であり、この正方形の内部は、 -1 < x _i < 1および-1 < y _i < 1であるすべての点( x _i , y _i )で構成されます。方程式

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

この正方形の境界を指定します。この式は「x ²またはy ²のどちらか大きい方が 1 に等しい」という意味です。この正方形の外接半径（正方形の頂点を通る円の半径）は正方形の対角線の半分で、次の式に等しくなります。外接円の式は次 のようになります。${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}$

あるいは、次の式

${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.}$

は、中心座標が( a , b )、水平または垂直の半径がrである正方形の境界を記述するためにも使用できます。したがって、この正方形は、 L ₁距離計量によれば、位相球の形状になります。

次のアニメーションは、コンパスと定規を使用して正方形を作成する方法を示しています。これは、 4 = 2 ²、つまり 2 の累乗として可能です。

正方形はDih ₄対称性、順序8 を持ちます。2 つの二面体サブグループ ( Dih ₂、 Dih ₁ ) と 3 つの巡回サブグループ ( Z ₄、 Z ₂、 Z _{1 )}があります。

正方形は、多くの対称性が低い四辺形のうちの特殊なケースです。

• 隣接する2辺が等しい長方形
• 4つの辺が等しく、4つの角が直角である四辺形
• 1つの直角と2つの隣接する等しい辺を持つ平行四辺形
• 直角の菱形
• すべての角度が等しい菱形
• 対角線が等しい菱形

これら6つの対称性は、正方形上の8つの異なる対称性を表現しています。ジョン・コンウェイはこれらを文字とグループの順序でラベル付けしています。^[11]

各サブグループの対称性により、不規則な四辺形に 1 つ以上の自由度が許容されます。r8は正方形の完全な対称性で、a1 は対称性がありません。d4は長方形の対称性で、p4 は菱形の対称性です。これらの 2 つの形式は互いに双対であり、正方形の対称順序の半分を持ちます。d2は等脚台形の対称性で、p2 は凧形の対称性です。g2は平行四辺形の幾何学を定義します。

g4サブグループのみ自由度がありませんが、有向辺を持つ正方形として見ることができます。

すべての鋭角三角形には、3 つの内接正方形 (その内部にある正方形で、正方形の 4 つの頂点すべてが三角形の 1 つの辺に位置し、そのうち 2 つが同じ辺に位置し、したがって正方形の 1 つの辺が三角形の 1 つの辺の一部と一致する正方形) があります。直角三角形では、 2 つの正方形が一致し、三角形の直角に頂点があるため、直角三角形には 2 つの異なる内接正方形しかありません。鈍角三角形には、1 つの内接正方形のみがあり、その 1 つの辺は三角形の最長辺の一部と一致します。

三角形の面積のうち正方形で占められる面積の割合は 1/2 以下です。

古代の 幾何学者によって提唱された円の正方形化は、コンパスと定規を使用して有限数の手順のみを使用して、与えられた円と同じ面積の正方形を作成する問題です。

1882年、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理によりこの課題は不可能であることが証明されました。この定理は、円周率( π )が代数的無理数ではなく超越数であること、つまり、有理係数を持つ多項式の根ではないことを証明しています。

非ユークリッド幾何学では、正方形は一般的に 4 つの辺と角度が等しい多角形です。

球面幾何学では、正方形は、等距離の大円弧の辺が等角度で交わる多角形です。平面幾何学の正方形とは異なり、このような正方形の角度は直角よりも大きくなります。球面正方形が大きいほど、角度も大きくなります。

双曲幾何学では、直角の正方形は存在しません。むしろ、双曲幾何学の正方形は直角よりも小さい角度を持ちます。双曲正方形が大きいほど、角度は小さくなります。

例:

交差正方形は正方形の面分割であり、正方形の 2 つの反対辺を削除し、2 つの対角線で再接続することによって作成される自己交差多角形です。これは正方形の半分の対称性、Dih ₂、次数 4 を持ちます。頂点の配置は正方形と同じで、頂点推移的です。共通の頂点を持つ 2 つの45-45-90 三角形として表示されますが、幾何学的交差は頂点とは見なされません。

交差した正方形は蝶ネクタイや蝶に例えられることがあります。交差した長方形は長方形の面分割として関連しており、どちらも交差した四辺形の特殊なケースです。^[12]

交差する正方形の内部では、時計回りまたは反時計回りの巻き方向に応じて、各三角形のポリゴン密度が ±1 になります。

正方形と交差した正方形には、次の共通する特性があります。

• 向かい合う辺の長さは等しい。
• 2つの対角線の長さは等しい。
• 2 本の反射対称線と 2 次回転対称線 (180° まで) を持ちます。

それは均一な星型多面体である四半六面体の頂点図形の中に存在します。

K ₄ 完全グラフは、 6 つの可能な辺がすべて接続された正方形として描かれることが多く、したがって、両方の対角線が描かれた正方形として表示されます。このグラフは、正 3単体(四面体)の 4 つの頂点と 6 つの辺の正投影も表します。

• キューブ
• ピタゴラスの定理
• 正方格子
• 平方数
• 平方根
• 正方形を正方形にする
• スクワクル
• 単位正方形

ウィキメディア・コモンズには、正方形 (幾何学)に関連するメディアがあります。

• アニメーションコース（構造、円周、面積）
• インタラクティブアプレットによる正方形の定義と特性
• 正方形の面積を示すアニメーションアプレット