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幾何学において、一様星型多面体は、自己交差する一様多面体です。自己交差を意味するため、非凸多面体と呼ばれることもあります。各多面体には、星型多角形の面、星型多角形の頂点図形、またはその両方 を含めることができます。
57 個の非柱状均一星型多面体の完全なセットには、ケプラー・ポアンソ多面体と呼ばれる 4 つの正多面体、14 個の準正多面体、および 39 個の半正多面体が含まれます。
また、均一な星型プリズムと均一な星型反プリズムの無限集合が 2 つあります。
（非退化）星型多角形（多角形密度が1 より大きい）がタイルが重なり合った円形多角形に対応するのと同様に、中心を通らない星型多面体は多面体密度が 1 より大きく、タイルが重なり合った球状多面体に対応します。このような非柱状で均一な星型多面体は 47 個あります。残りの 10 個の非柱状で均一な星型多面体（中心を通るもの）は半多面体とミラーのモンスターであり、密度は明確に定義されていません。
非凸形はシュワルツの三角形から構成されます。
すべての均一な多面体は、対称グループごとに以下にリストされ、頂点の配置によってサブグループ分けされています。
正多面体には、シュレーフリ記号が付けられます。その他の非正多面体については、頂点の構成とともにリストされます。
追加の図形である擬似大菱形八面体は、規則的な面で構成され、同じ頂点を持つにもかかわらず、通常、真に均一な星型多面体としては含まれません。
注: 以下の非凸フォームでは、凸包の頂点配置がこれらのいずれかと同じトポロジを持ち、非正規の面を持つ場合に、追加の記述子nonuniformが使用されます。たとえば、非均一なカンタレートフォームでは、エッジの代わりに正方形ではなく長方形が作成されることがあります。
二面対称性
直方体均一多面体を参照してください。
四面体対称性
非凸形状には、四面体対称性（基本領域はメビウスの三角形（3 3 2）） を持つ四半六面体という形状が1つあります。
唯一の非凸一様多面体を生成するシュワルツの三角形が2 つあります。1 つは直角三角形 ( 3 ⁄ 2 3 2 )、もう 1 つは一般三角形 ( 3 ⁄ 2 3 3 ) です。一般三角形 ( 3 ⁄ 2 3 3 ) は、後ほど完全な八面体対称性を持つ八半八面体を生成します。
八面体対称性
凸形は 8 個あり、八面体対称性を持つ非凸形は 10 個あります(基本領域はメビウスの三角形(4 3 2) です)。
非凸形を生成するシュワルツの三角形は 4 つあり、2 つの直角三角形 ( 3 ⁄ 2 4 2)、( 4 ⁄ 3 3 2)、および 2 つの一般三角形 ( 4 ⁄ 3 4 3)、( 3 ⁄ 2 4 4) です。
二十面体対称性
20面体対称性(基本領域メビウスの三角形(5 3 2)) を持つ凸形が 8 つと非凸形が 46 個あります。 (または、スキルリング図形を含めると 47 個の非凸形になります)。一部の非凸スナブ形は、鏡映頂点対称性を持ちます。
悪化したケース
コクセターは、ワイトフ構築法によって、重なり合う辺や頂点を含む退化した星型多面体を数多く特定しました。これらの退化した形態には次のものがあります。
スキリングの姿
もう一つの非凸退化多面体は、スキリング図形としても知られる大不等辺二菱形十二面体で、頂点は均一であるが、空間的に一致する辺のペアを持ち、一部の辺では 4 つの面が交わる。二重辺を持つため、均一多面体ではなく、退化した均一多面体として数えられる。I h対称性を持つ。
参照
参考文献
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外部リンク
- Weisstein、Eric W.「均一多面体」。MathWorld。