ハイパーキューブ

幾何学において、超立方体は、正方形( n = 2 ) と立方体( n = 3 )のn次元類似体です。n = 4の特殊なケースは、四次元立方体として知られています。これは、閉じたコンパクトな凸図形で、その 1 次元の骨格は、空間の各次元に揃い、互いに垂直で長さが同じ反対の平行線セグメントのグループで構成されます。単位超立方体のn次元における最長の対角線は に等しくなります。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

n次元超立方体は、より一般的にはn立方体、または時にはn次元立方体と呼ばれます。^{[1] [2]}測度多面体（元々はElte、1912年に由来）^[3]という用語も使用され、特にHSM Coxeter の研究では、超立方体をγn多面体とも呼んでいます。 [ ^4]

超立方体は、超長方形( n 直交体とも呼ばれる)の特殊なケースです。

単位超立方体は、辺の長さが 1単位である超立方体です。多くの場合、各座標が 0 または 1 であるR ⁿ内の2 ⁿ点がコーナー (または頂点) である超立方体は、単位超立方体と呼ばれます。

ハイパーキューブは、図形の次元数を増やすことによって定義できます。

0 – 点は次元 0 の超立方体です。

1 – この点を 1 単位の長さだけ移動すると、線分が作成され、それが 1 次元の単位超立方体になります。

2 – この線分をその長さだけ垂直方向に動かすと、2 次元の正方形が描かれます。

3 – 正方形を、それが置かれている平面に対して垂直な方向に 1 単位の長さだけ移動すると、3 次元の立方体が生成されます。

4 – 立方体を 1 単位長さだけ 4 次元に移動すると、4 次元の単位超立方体 (単位四次元方陣) が生成されます。

これは任意の数の次元に一般化できます。ボリュームをスイープするこのプロセスは、数学的にはミンコフスキー和として形式化できます。d次元ハイパーキューブは、 d本の互いに垂直な単位長さの線分のミンコフスキー和であり、したがってゾノトープの一例です。

ハイパーキューブの1スケルトンはハイパーキューブ グラフです。

次元の単位超立方体は、直交座標がそれぞれ または に等しいすべての点の凸包です。これらの点は、その頂点です。これらの座標を持つ超立方体は、単位区間のコピーの直積でもあります。周囲空間の原点を中心とする別の単位超立方体は、この超立方体から を平行移動することで得られます。これは、直交座標のベクトルが次の点 の凸包です。${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)\!\!.}$

ここで、記号 は各座標がまたは に等しいことを意味します。この単位超立方体は の直積でもあります。任意の単位超立方体の辺の長さは で、次元の体積はです。 ${\displaystyle \pm}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle -1/2}$${\displaystyle [-1/2,1/2]^{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$

座標を持つ点の凸包として、または同等の直積として得られる次元超立方体は、頂点座標の形式がより単純であることから、よく検討されます。その辺の長さは、その次元の体積は です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}$${\displaystyle [-1,1]^{n}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$

すべての超立方体は、その境界に含まれるより低い次元の超立方体を面として受け入れます。 次元の超立方体は、次元の面、つまり面を受け入れます。つまり、(次元) の線分には端点があり、(次元) の正方形には辺があり、 ( 次元)の立方体には正方形の面があり、(次元) の四次元立方体はその面として 3 次元の立方体を持ちます。 次元の超立方体の頂点の数は(たとえば、通常の次元の立方体には頂点があります)です。 ^[5]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2^{3}=8}$

-立方体 の境界に含まれる -次元超立方体（以下、単に -立方体と呼ぶ）の数は${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{m,n}=2^{nm}{n \choose m}}$, ^[6]     ここで、およびはの階乗を表す。${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(nm)!}}}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$

たとえば、 -立方体 ( )の境界には、立方体 ( - 立方体)、正方形 ( - 立方体)、線分 ( - 立方体)、および頂点 ( - 立方体) が含まれます。この同一性は、単純な組み合わせ論的議論によって証明できます。つまり、ハイパーキューブの各頂点に対して、その頂点に接する辺の集合を選択する方法があります。これらの集合のそれぞれは、検討中の頂点に接する - 次元面の 1 つを定義します。ハイパーキューブのすべての頂点に対してこれを実行すると、ハイパーキューブの - 次元面のそれぞれが、その数の頂点があるために何回もカウントされ、この数で割る必要があります。 ${\displaystyle 4}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 24}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 32}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 16}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 2^{m}}$${\displaystyle 2^{n}{\tbinom {n}{m}}}$

超立方体の面の数を使用して、その境界の 次元体積を計算できます。その体積は次元超立方体の体積の倍です。つまり、は超立方体の辺の長さです。 ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle 2ns^{n-1}}$${\displaystyle s}$

これらの数値は線形再帰関係によっても生成できます。

${\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}$、 の場合、および、、または の場合。${\displaystyle E_{0,0}=1}$${\displaystyle E_{m,n}=0}$${\displaystyle n<m}$${\displaystyle n<0}$${\displaystyle m<0}$

たとえば、4 つの頂点を介して正方形を拡張すると、頂点ごとに 1 つの線分 (エッジ) が追加されます。反対側の正方形を追加して立方体を形成すると、線分が追加されます。 ${\displaystyle E_{1,3}=12}$

n立方体の拡張f ベクトルは、(簡潔には (2,1) ⁿ ) を展開し、結果として得られる多項式の係数を読み取ることによっても計算できます。たとえば、四次元立方体の要素は (2,1) ⁴ = (4,4,1) ² = (16,32,24,8,1) です。 ${\displaystyle (2x+1)^{n}}$

n立方体は、斜交正射影によって正 2 n角形内に投影できます。ここでは、線分から 16 立方体への投影を示しています。

超立方体は、任意の次元数で表現できる数少ない正多面体の族のうちの1つである。 ^[8]

超立方体（オフセット）族は、コクセターによってγ _nと名付けられた 3 つの正多面体族の 1 つです。他の 2 つは、超立方体双対族、交差多面体（ β _nと名付けられる） 、単体（ α _nと名付けられる）です。4 番目の族である超立方体の無限モザイク化は、 δ _nと名付けられます。

半正則多面体と一様多面体の別の関連ファミリーは半超立方体であり、これは交互の頂点を削除し、ギャップに単体面を追加した超立方体で構成され、 hγ _nとラベル付けされます。

n立方体はその双対（交差多面体）と組み合わせて複合多面体を形成できます。

• 2次元では、八芒星の図形{8/2}が得られる。
• 3次元では立方体と八面体の複合体が得られる。
• 4 次元では、四次元立方体と 16 セルの複合体が得られます。

n超立方体の辺のグラフは、( n −1)単体の面格子のハッセ図と同型です。これは、n超立方体を、それぞれ ( n −1) 単体自身とヌル多面体に対応する 2 つの反対の頂点が垂直になるように配置することで確認できます。上部の頂点に接続された各頂点は、( n −1) 単体の面 ( n −2 面) の 1 つに一意にマップされ、それらの頂点に接続された各頂点は単体のn −3 面の 1 つにマップされ、以下同様に、下部の頂点に接続された頂点は単体の頂点にマップされます。

この関係は、( n −1)単体の面格子を効率的に生成するために使用できます。これは、一般的な多面体に適用できる面格子列挙アルゴリズムは計算コストが高いためです。

複素ヒルベルト空間では、一般化超立方体と呼ばれる正則複素多面体が定義され、γ ^pn
_の= _p {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂、または..実数解はp = 2、すなわちγで存在する。²
_位= γ _n = ₂ {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ = {4,3,..,3}。p > 2 の場合、それらはに存在します。面は一般化された ( n −1)-立方体であり、頂点図形は正単体です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

これらの直交投影で見られる正多角形の周囲は、ペトリー多角形と呼ばれます。一般化された正方形 ( n = 2) は、赤と青が交互に並ぶpエッジで縁取りされたエッジで示され、より大きなn立方体は、黒のpエッジで縁取りされたエッジで描かれます。

p一般化n立方体のm面要素の数は、 pn^頂点とpn面である。^[9]${\displaystyle p^{nm}{n \choose m}}$

任意の正の整数を別の正の整数乗すると、3 番目の整数が生成されます。この 3 番目の整数は、指数に対応する次元の数を持つn立方体に対応する特定の種類の図形数です。たとえば、指数 2 は平方数または「完全平方」を生成します。これは、底と同じ辺の長さを持つ正方形に配置できます。同様に、指数 3 は完全立方体を生成します。これは、底と同じ辺の長さを持つ立方体に配置することができる整数です。結果として、数を 2 または 3 に累乗する操作は、それぞれ「平方」および「立方」と呼ばれることが一般的です。ただし、高次の超立方体の名前は、高次の累乗では一般的に使用されていないようです。

• コンピュータアーキテクチャのハイパーキューブ相互接続ネットワーク
• 超八面体群、超立方体の対称群
• ハイパースフィア
• シンプレックス
• 平行四辺形
• 磔刑（超立方体の大体）（有名な芸術作品）

• Bowen, JP (1982 年 4 月). 「ハイパーキューブ」. Practical Computing . 5 (4): 97–99. 2008 年 6 月 30 日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年6 月 30 日閲覧。
• Coxeter, HSM (1973). 「§7.2. 図7-2cを参照」. Regular Polytopes (第3版). Dover . pp. 122-123. ISBN 0-486-61480-8。p. 296、表 I (iii): 正多面体、 n次元の 3 つの正多面体( n  ≥ 5)
• ヒル、フレデリック J.、ジェラルドR.ピーターソン (1974)。スイッチング理論と論理設計入門: 第 2 版。ニューヨーク: John Wiley & Sons。ISBN 0-471-39882-9。第 7.1 章「ブール関数の立方体表現」を参照してください。ここでは、距離 1 コード (グレイ コード) をハイパーキューブの頂点として示す手段として「ハイパーキューブ」の概念が導入され、そのようにラベル付けされた頂点を持つハイパーキューブが 2 次元に圧縮されて、Veitch 図またはKarnaugh 図のいずれかが形成されます。

ウィキメディア・コモンズには、ハイパーキューブに関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「ハイパーキューブ」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「ハイパーキューブ グラフ」。MathWorld。
• Enrique Zeleny によるハイパーキューブの回転、Wolfram デモンストレーション プロジェクト。
• Rudy Rucker と Farideh Dormishian の Hypercube ダウンロード
• A001787 n次元超立方体の辺の数。OEIS