密度（多面体）

正多角形{ p / q }の場合、密度はqである。これは、中心から無限遠まで伸びる光線の辺の交差回数の最小値を数えることで視覚的に求めることができる。

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  この正五角形のような、交差が1つだけの多角形は、密度が0です。
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  正五角形{5}の密度は1です。
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  等角四十角形{(7/2) _α }は、正{7/2}と同様に密度2を持つ。
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  七芒星{7/3}の密度は3です。
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  等価六芒星（化合物）2{(3/2) _α }の密度は4です。
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  等価十二角形{(6/5) _α }は、通常の{12/5}と同様に密度5を持つ。

多面体は、頂点にガウス曲率が集中し、角度欠陥によって定義される曲面と考えることができる。多面体の密度は、全曲率（すべての頂点について合計したもの）を 4π で割った値に等しい。^{[ 2 ]}

例えば、立方体には8つの頂点があり、各頂点には3つの正方形があり、 π /2の角度の欠損が生じます。8× π /2=4π 。したがって、立方体の密度は1です。

単純な面と頂点図形を持つ多面体の密度は、オイラー標数χの半分です。種数がgの場合、密度は 1− gです。

χ = V − E + F = 2 D = 2(1− g )。

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  位相球多面体の密度は立方体と同様に1です。v =8、e=12、f=6。
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  種数1 のトーラス多面体の密度はゼロであり、例えばこの六角形の形状ではv=24、e=48、f=24 となります。
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  種数 5 のトーラスの密度は−4であり、このスチュワート トーラスのように、v=72、e=168、f=88 です。

アーサー・ケイリーは、オイラーの多面体公式（V − E + F = 2）を正星型多面体に適用できるように修正する方法として密度を用いました。ここで、d _vは頂点図形の密度、d _fは面の密度、Dは多面体全体の密度です。

${\displaystyle d_{v}v-e+d_{f}f=2D}$^{[ 3 ]}

例えば、正二十面体{3,  5/2}は、20個の三角形の面（d _f  =  1）、30個の辺、12個の五芒星の頂点図形（d _v  =  2）を持ち、

2·12 − 30 + 1·20 = 14 = 2 D。

これは密度が 7 であることを意味します。修正されていないオイラーの多面体公式は、小さな星型十二面体{5/2,  5} とその双対である大きな十二面体{5,  5/2} に対しては成り立ちません。これらの場合、V − E + F = −6 となります。

正星型多面体は2組の双対で存在し、それぞれの図形は双対と同じ密度を持つ。一方の組（小星型十二面体－大十二面体）の密度は3であり、もう一方の組（大星型十二面体－大二十面体）の密度は7である。

エドムント・ヘスは、異なる種類の面を持つ星型多面体に対して、その公式を一般化した。これらの面の中には、他の面の上に折り返されるものもある。結果として得られる密度の値は、関連する球面多面体が球面を覆う回数に対応する。

${\displaystyle \sum _{i}d_{vi}v_{i}-e+\sum _{i}d_{fi}f_{i}=2D}$

これにより、コクセターらは、 1つの頂点タイプと複数の面タイプを持つ、大部分の均一多面体の密度を決定することができた。 ^{[ 4 ]}

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  2 回巻き付けた八角柱の密度は2、{8/2}×{} であり、ここでは分かりやすくするために頂点をずらして示しています。v =16、e=24、f ₁ =8 {4}、f ₂ =2 {8/2} 、d _f1 =1、d _f2 =2、d _v =1。
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  五芒星プリズム{5/2}×{}の密度は2です。v =10、e=15、f ₁ =5 {4}、f ₂ =2 {5/2}、d _f1 =1、d _f2 =2。

中心を通る面を持つ半多面体の場合、密度をこのように定義することはできません。向き付け不可能な多面体も、明確な密度を持ちません。