電気抵抗と導電率

抵抗率
一般的な記号	ρ
SI単位	オームメートル (Ω⋅m)
その他のユニット	s (ガウス/ESU)
SI基本単位では	kg⋅m 3 ⋅s −3 ⋅A −2
他の量からの導出	${\displaystyle \rho =R{\frac {A}{\ell }}}$
寸法	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{3}{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {I}}^{-2}}$

伝導率
一般的な記号	σ、κ、γ
SI単位	ジーメンス/メートル (S/m)
その他のユニット	${\displaystyle \mathrm {s} ^{-1}}$(ガウス/ESU)
他の量からの導出	${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\rho }}}$
寸法	${\displaystyle {\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {L}}^{-3}{\mathsf {T}}^{3}{\mathsf {I}}^{2}}$

電気抵抗率（体積抵抗率または比電気抵抗とも呼ばれる）は、材料の基本的な特定の特性であり、その電気抵抗、つまり電流に対する抵抗の強さを測定します。抵抗率が低いということは、材料が容易に電流を流すことを示しています。抵抗率は、通常、ギリシャ文字のρ（ロー）で表されます。電気抵抗率のSI単位はオームメートル（ Ω⋅m  ）です。[ 1 ] [ 2 ^{] [ 3]} たとえば、1 m ³の立方体の材料には、2つの反対側の面にシート接点があり、これらの接点間の抵抗は1 Ωの場合、材料の抵抗率は1Ω⋅m。

電気伝導率（または比伝導率）は、電気抵抗率の逆数です。これは、電流を伝導する物質の能力を表します。これは通常、ギリシャ文字のσ  (シグマ) で表されますが、κ  (カッパ) (特に電気工学) ^[要出典]やγ  (ガンマ) ^[要出典]が使用されることもあります。電気伝導率の SI 単位は、ジーメンス毎メートル(S/m) です。抵抗率と伝導率は、物質の示強特性で、標準立方体の物質の電流に対する抵抗を示します。電気抵抗と伝導率は、対応する示強特性で、特定の物体の電流に対する抵抗を示します。

理想的なケースでは、検査対象の材料の断面と物理的構成はサンプル全体で均一で、電界と電流密度はどこでも平行かつ一定です。多くの抵抗器と導体は、実際には均一な断面と均一な電流の流れを持ち、単一の材料でできているため、これは良いモデルです。(隣の図を参照してください。) この場合、導体の抵抗はその長さに正比例し、断面積に反比例します。ここで、電気抵抗率ρ  (ギリシャ語:ロー) は比例定数です。これは次のように表されます。

$${\displaystyle R\propto {\frac {\ell }{A}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}R&=\rho {\frac {\ell }{A}}\\[3pt]{}\Leftrightarrow \rho &=R{\frac {A}{\ell }},\end{aligned}}}$$

どこ

抵抗率はSI単位のオーム メートル(Ω⋅m) を使用して表すことができます。つまり、オームに平方メートル (断面積) を掛け、メートル (長さ) で割ります。

抵抗と固有抵抗はどちらも、電流が物質を流れる難しさを表しますが、抵抗とは異なり、固有抵抗は物質の幾何学的特性に依存しない固有の特性です。つまり、結晶構造の歪みなどを受けていない純銅 (Cu) 線は、形状やサイズに関係なく、すべて同じ固有抵抗を持ちますが、長くて細い銅線は、太くて短い銅線よりもはるかに大きな抵抗を持ちます。すべての物質には独自の固有抵抗があります。たとえば、ゴムの固有抵抗は銅よりもはるかに大きいです。

水力学に例えると、高抵抗の材料に電流を流すのは、砂で満たされたパイプに水を押し込むようなものです。一方、低抵抗の材料に電流を流すのは、空のパイプに水を押し込むようなものです。パイプのサイズと形状が同じであれば、砂で満たされたパイプの方が流れに対する抵抗が大きくなります。ただし、抵抗は砂の有無だけで決まるわけではありません。パイプの長さと幅によっても異なります。つまり、短いパイプや幅の広いパイプは、狭いパイプや長いパイプよりも抵抗が低くなります。

上記の式を転置すると、プイエの法則（クロード・プイエにちなんで名付けられた）が得られます。

$${\displaystyle R=\rho {\frac {\ell }{A}}.}$$与えられた要素の抵抗は長さに比例しますが、断面積には反比例します。たとえば、A  =1 m ²、 =${\displaystyle \ell }$1 m (反対側の面で完全に導電性の接点を持つ立方体を形成) の場合、この要素の抵抗 (オーム単位) は、数値的には、この要素を構成している材料の抵抗率 (Ω⋅m) に等しくなります。

導電率σは抵抗率の逆数です。

$${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\rho }}.}$$

導電率の SI 単位はジーメンス毎メートル (S/m) です。

形状がより複雑な場合、または材料内の点ごとに抵抗率が異なる場合、電流と電場は位置の関数になります。その場合、特定の点における抵抗率が、その点で生成される電流の 密度に対する電場の比として定義される、より一般的な式を使用する必要があります。

$${\displaystyle \rho (x)={\frac {E(x)}{J(x)}},}$$

どこ

電流密度は必然的に電界と平行になります。

導電率は抵抗率の逆数です。ここでは次のように表されます。

$${\displaystyle \sigma (x)={\frac {1}{\rho (x)}}={\frac {J(x)}{E(x)}}.}$$

たとえば、ゴムはρが大きくσ が小さい材料です 。ゴム内の非常に大きな電界でもほとんど電流が流れないからです。一方、銅はρが小さくσ が大きい材料です 。小さな電界でも銅に大量の電流が流れるからです。

この式は、材料の抵抗率が一定で、形状の断面が均一である場合、上記の「理想的なケース」で示した式に簡略化されます。この場合、電界と電流密度は一定で平行です。

材料の抵抗率が方向性成分を持つ場合、抵抗率の最も一般的な定義を使用する必要があります。これは、材料内の電界と電流の流れを関連付けるオームの法則のテンソルベクトル形式から始まります。この式は完全に一般的なため、上記のケースも含め、すべてのケースで有効です。ただし、この定義は最も複雑なため、より単純な定義を適用できない異方性の場合にのみ直接使用されます。材料が異方性でない場合は、テンソルベクトル定義を無視して、より単純な式を使用するのが安全です。

ここで異方性とは、材料が方向によって異なる特性を持つことを意味します。たとえば、グラファイトの結晶は微視的にはシートの積み重ねで構成されており、電流は各シートを非常に簡単に流れますが、あるシートから隣のシートに流れることははるかに困難です。^[4]このような場合、電流は電界とまったく同じ方向に流れません。したがって、適切な方程式は3次元テンソル形式に一般化されます。^{[5] [6]}

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {E} \,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {E} ={\boldsymbol {\rho }}\mathbf {J} ,}$$

ここで、導電率σと抵抗率ρは階数 2 のテンソル、電界Eと電流密度Jはベクトルです。これらのテンソルは 3×3 行列で表すことができ、ベクトルは 3×1 行列で表され、これらの式の右側には行列乗算が使用されています。行列形式では、抵抗率の関係は次のように表されます。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{xx}&\rho _{xy}&\rho _{xz}\\\rho _{yx}&\rho _{yy}&\rho _{yz}\\\rho _{zx}&\rho _{zy}&\rho _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{bmatrix}},}$$

どこ

同様に、抵抗率はより簡潔なアインシュタイン表記で表すことができる。

$${\displaystyle \mathbf {E} _{i}={\boldsymbol {\rho }}_{ij}\mathbf {J} _{j}~.}$$

どちらの場合でも、各電界成分の結果の式は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=\rho _{xx}J_{x}+\rho _{xy}J_{y}+\rho _{xz}J_{z},\\E_{y}&=\rho _{yx}J_{x}+\rho _{yy}J_{y}+\rho _{yz}J_{z},\\E_{z}&=\rho _{zx}J_{x}+\rho _{zy}J_{y}+\rho _{zz}J_{z}.\end{aligned}}}$$

座標系の選択は自由であるため、通常の慣例では、現在の方向に平行なx軸を選択して式を簡略化し、 J _y = J _z = 0とします。これにより、次の式が残ります。

$${\displaystyle \rho _{xx}={\frac {E_{x}}{J_{x}}},\quad \rho _{yx}={\frac {E_{y}}{J_{x}}},{\text{ and }}\rho _{zx}={\frac {E_{z}}{J_{x}}}.}$$

導電率も同様に定義される: ^[7]

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}}}$$

または

$${\displaystyle \mathbf {J} _{i}={\boldsymbol {\sigma }}_{ij}\mathbf {E} _{j},}$$

どちらの結果も次のようになります:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{x}&=\sigma _{xx}E_{x}+\sigma _{xy}E_{y}+\sigma _{xz}E_{z}\\J_{y}&=\sigma _{yx}E_{x}+\sigma _{yy}E_{y}+\sigma _{yz}E_{z}\\J_{z}&=\sigma _{zx}E_{x}+\sigma _{zy}E_{y}+\sigma _{zz}E_{z}\end{aligned}}.}$$

2つの式を見ると、と は互いに逆行列になっています。しかし、最も一般的なケースでは、個々の行列要素は必ずしも互いに逆数ではありません。たとえば、 σ _{xx は}1/ ρ _xxと等しくない場合があります。これはホール効果で確認できます。ここで、はゼロではありません。ホール効果では、 z軸の周りの回転不変性と により、抵抗率と導電率の関係は次のように簡略化されます。^[8]${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle \rho _{xy}}$${\displaystyle \rho _{yy}=\rho _{xx}}$${\displaystyle \rho _{yx}=-\rho _{xy}}$

$${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {\rho _{xx}}{\rho _{xx}^{2}+\rho _{xy}^{2}}},\quad \sigma _{xy}={\frac {-\rho _{xy}}{\rho _{xx}^{2}+\rho _{xy}^{2}}}.}$$

電界が印加電流に平行である場合、およびはゼロです。これらがゼロのとき、電気抵抗率を表すには 1 つの数値 で十分です。この数値は単に と表され、より簡単な式になります。 ${\displaystyle \rho _{xy}}$${\displaystyle \rho _{xz}}$${\displaystyle \rho _{xx}}$${\displaystyle \rho }$

電流は電荷の秩序だった動きである。^[2]

基本的な量子力学によれば、原子や結晶内の電子は特定の正確なエネルギー レベルしか持てず、これらのレベル間のエネルギーはあり得ません。多数のそのような許容レベルが近接したエネルギー値を持つ場合、つまりエネルギーがわずかにしか異ならない場合には、それらの近接したエネルギー レベルの組み合わせは「エネルギー バンド」と呼ばれます。物質には、構成原子の原子番号^[a]と結晶内の分布に応じて、そのようなエネルギー バンドが多数存在することがあります。^[b]

物質の電子は、低エネルギー状態に落ち着くことで物質内の総エネルギーを最小限に抑えようとしますが、パウリの排他原理により、各状態に存在できるのは 1 つだけです。そのため、電子は下からバンド構造を「満たし」ます。電子が満たされた特性エネルギー レベルは、フェルミ レベルと呼ばれます。バンド構造に対するフェルミ レベルの位置は、電気伝導にとって非常に重要です。フェルミ レベルに近いかそれより上のエネルギー レベルにある電子だけが、より広い物質構造内を自由に移動できます。これは、電子がその領域内の部分的に占有された状態間を簡単に移動できるためです。対照的に、低エネルギー状態は常に電子の数に固定された制限で完全に満たされ、高エネルギー状態は常に電子が空です。

電流は電子の流れから成ります。金属ではフェルミ準位付近に多くの電子エネルギー準位が存在するため、移動可能な電子が多くあります。これが金属の高い電子伝導性の原因です。

バンド理論の重要な部分は、禁制帯エネルギーが存在する可能性があるということです。禁制帯とは、エネルギー レベルが存在しないエネルギー間隔のことです。絶縁体と半導体では、電子の数は、境界まで、特定の整数個の低エネルギー バンドを満たすのにちょうどよい数です。この場合、フェルミ レベルはバンド ギャップ内にあります。フェルミ レベルの近くには利用可能な状態がなく、電子は自由に移動できないため、電子伝導性は非常に低くなります。

金属は原子の格子で構成され、各原子は電子の外殻を持ち、電子は親原子から自由に解離して格子内を移動します。これは正イオン格子としても知られています。^[9]この解離可能な電子の「海」により、金属は電流を伝導します。金属全体に電位差（電圧）が加えられると、結果として生じる電界により電子は正極の方向にドリフトします。電子の実際のドリフト速度は通常小さく、毎時メートルのオーダーです。しかし、移動する電子の数が非常に多いため、ドリフト速度が遅くても大きな電流密度が生じます。^{[10]このメカニズムは}ニュートンのゆりかごの中のボールの運動量の伝達に似ていますが^[11]、電線に沿った電気エネルギーの急速な伝播は機械的な力によるものではなく、電線によって誘導されるエネルギーを運ぶ電磁場の伝播によるものです。

ほとんどの金属は電気抵抗を持っています。より単純なモデル（非量子力学モデル）では、電子と結晶格子を波のような構造に置き換えることで説明できます。電子波が格子を通過すると、波が干渉し、抵抗が発生します。格子が規則的であればあるほど、乱れが少なくなり、抵抗も少なくなります。したがって、抵抗の量は主に 2 つの要因によって引き起こされます。まず、温度と結晶格子の振動量によって引き起こされます。温度が高いほど振動が大きくなり、格子の不規則性として機能します。次に、異なるイオンの混合物も不規則性であるため、金属の純度が関係します。^{[12] [13]}純粋な金属が溶融すると導電率がわずかに低下するのは、長距離結晶秩序が失われるためです。短距離秩序は残り、イオンの位置間の強い相関により、隣接するイオンによって回折された波の間にコヒーレンスが生じます。^[14]

金属では、フェルミ準位は伝導帯（上記のバンド理論を参照）にあり、自由伝導電子を生じます。しかし、半導体では、フェルミ準位の位置はバンドギャップ内、伝導帯最小値（満たされていない電子エネルギー準位の最初のバンドの底部）と価電子帯最大値（伝導帯の下の満たされた電子エネルギー準位のバンドの上部）のほぼ中間にあります。これは、真性（ドープされていない）半導体に当てはまります。つまり、絶対零度では自由伝導電子は存在せず、抵抗は無限大です。しかし、伝導帯の電荷キャリア密度（つまり、これ以上複雑にせずに言えば、電子の密度）が増加すると、抵抗は減少します。外在的（ドープされた）半導体では、ドーパント原子が伝導帯に電子を供与するか、価電子帯に正孔を生成することで、多数電荷キャリア濃度を増加させます。 (「ホール」とは、電子が欠けている位置のことです。このようなホールは、電子と同様に動作します。) ドナー原子とアクセプタ原子の両方のタイプにおいて、ドーパント密度が増加すると抵抗が減少します。したがって、高濃度ドープ半導体は金属的に動作します。非常に高い温度では、熱的に生成されたキャリアの寄与がドーパント原子の寄与を上回り、抵抗は温度とともに指数関数的に減少します。

電解質では、電気伝導はバンド電子や正孔によってではなく、それぞれが電荷を運ぶ完全な原子種（イオン）の移動によって起こります。イオン溶液（電解質）の抵抗率は濃度によって大きく変化します。蒸留水はほぼ絶縁体ですが、塩水は適度な電気伝導体です。イオン液体の伝導もイオンの動きによって制御されますが、ここでは溶媒和イオンではなく溶融塩について説明しています。生体膜では、電流はイオン塩によって運ばれます。細胞膜の小さな穴はイオンチャネルと呼ばれ、特定のイオンに対して選択的であり、膜抵抗を決定します。

液体（例えば水溶液）中のイオン濃度は、溶解した物質の解離度に依存し、解離係数によって特徴付けられます。解離係数は、イオン濃度と溶解した物質の分子濃度の比です。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle N}$${\displaystyle N_{0}}$

$${\displaystyle N=\alpha N_{0}~.}$$

溶液の 特定の電気伝導率（ ）は次の式に等しい。${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \sigma =q\left(b^{+}+b^{-}\right)\alpha N_{0}~,}$$

ここで、 : イオン電荷のモジュール、: 正および負に帯電したイオンの移動度、: 溶解物質の分子の濃度、: 解離係数。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle b^{+}}$${\displaystyle b^{-}}$${\displaystyle N_{0}}$${\displaystyle \alpha }$

金属導体の電気抵抗率は、温度が下がるにつれて徐々に減少します。銅や銀などの通常の（つまり、超伝導ではない）導体では、この減少は不純物やその他の欠陥によって制限されます。絶対零度近くでも、通常の導体の実際のサンプルはいくらかの抵抗を示します。超伝導体では、材料が臨界温度以下に冷却されると、抵抗は突然ゼロに低下します。通常の導体では、電流は電圧勾配によって駆動されますが、超伝導体では電圧勾配はなく、代わりに電流は超伝導秩序パラメータの位相勾配に関連しています。^{[15]この結果、}超伝導線のループを流れる電流は、電源がなくても無期限に持続することができます。^[16]

既知のすべての高温超伝導体を含む、タイプ II 超伝導体と呼ばれる超伝導体のクラスでは、電流が強い磁場（電流によって引き起こされる可能性がある）と組み合わせて適用されると、公称超伝導転移よりそれほど低くない温度で、極めて低いがゼロではない抵抗率が現れます。これは、電子超流体内の磁気渦の動きによるもので、電流によって運ばれるエネルギーの一部を消散させます。この効果による抵抗は、非超伝導材料の抵抗と比較するとごくわずかですが、高感度の実験では考慮する必要があります。ただし、温度が公称超伝導転移より十分低い温度まで低下すると、これらの渦が凍結し、材料の抵抗が実際にゼロになることがあります。

プラズマは非常に優れた導体であり、電位が重要な役割を果たします。

測定方法に関係なく、荷電粒子間の空間に平均的に存在する電位は、プラズマ電位または空間電位と呼ばれます。電極をプラズマに挿入すると、デバイ シースと呼ばれるものにより、その電位は通常プラズマ電位よりもかなり低くなります。プラズマは電気伝導性が高いため、電界は非常に小さくなります。この結果、準中性という重要な概念が生まれます。準中性では、プラズマの大部分にわたって負電荷の密度は正電荷の密度とほぼ等しくなりますが ( n _e = ⟨Z⟩ >  n _i )、デバイ長のスケールでは電荷の不均衡が生じる可能性があります。二重層が形成される特殊なケースでは、電荷の分離がデバイ長の数十倍に及ぶことがあります。

電位と電場の大きさは、単に正味の電荷密度を求める以外の方法で決定する必要があります。一般的な例としては、電子がボルツマンの関係を満たすと仮定します。 $${\displaystyle n_{\text{e}}\propto \exp \left(e\Phi /k_{\text{B}}T_{\text{e}}\right).}$$

この関係を微分すると、密度から電界を計算する手段が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {k_{\text{B}}T_{\text{e}}}{e}}{\frac {\nabla n_{\text{e}}}{n_{\text{e}}}}.}$$

(∇ はベクトル勾配演算子です。詳細については、 ナブラ記号と勾配を参照してください。)

準中性でないプラズマを生成することは可能です。たとえば、電子ビームは負の電荷しか持ちません。非中性プラズマの密度は、通常、非常に低いか、非常に小さくなければなりません。そうでない場合、反発する静電力によって密度が消散します。

天体プラズマでは、デバイ遮蔽により、電場がデバイ長を超える長距離にわたってプラズマに直接影響を及ぼすことが防止されます。しかし、荷電粒子が存在すると、プラズマは磁場を生成し、磁場の影響を受けます。これにより、数十デバイ長にわたって電荷を分離する物体であるプラズマ二重層の生成など、非常に複雑な動作が発生する可能性があります。外部磁場および自己生成磁場と相互作用するプラズマのダイナミクスは、磁気流体力学という学術分野で研究されています。

プラズマは固体、液体、気体に続く物質の第4の状態と呼ばれることが多い。 ^{[18] [19]}プラズマはこれらや他の低エネルギー状態の物質とは区別される。プラズマも明確な形や体積を持たない点で気相と密接な関連があるが、次のような点で異なる。

• 金属などの導体は導電性が高く、抵抗率が低いです。
• ガラスなどの絶縁体は導電性が低く、抵抗率が高くなります。
• 半導体の導電性は一般に中程度ですが、材料を電界や特定の周波数の光にさらすなどのさまざまな条件下で大きく変化し、最も重要なのは半導体材料の温度と組成によって変化します。

半導体のドーピングの程度は、導電率に大きな違いをもたらします。ある程度、ドーピングが多いほど導電率が高くなります。水/水溶液の導電率は 、溶解した塩の濃度や、溶液中でイオン化する他の化学種の濃度に大きく依存します。水サンプルの電気伝導率は、サンプルに塩分、イオン、不純物がどれだけ含まれていないかを示す指標として使用されます。水が純粋であればあるほど、導電率は低くなります (抵抗率は高くなります)。水中の導電率の測定は、多くの場合、純水の導電率に対する比導電率として報告されます。25 °C。ECメーターは通常、溶液の導電率を測定するために使用されます。大まかな概要は次のとおりです。

この表は、20 °C (68 °F; 293 K) におけるさまざまな材料の 抵抗率 ( ρ )、導電率、温度係数を示しています。

有効温度係数は、温度と材料の純度によって異なります。20℃の値は、他の温度で使用する場合の近似値にすぎません。たとえば、銅の場合、温度が高くなると係数は低くなり、0.00427という値が一般的に指定されます。0℃ ^[53 ]

銀の極めて低い抵抗率 (高い伝導率) は金属の特性です。ジョージ・ガモフは、彼の一般向け科学書「One, Two, Three...Infinity (1947)」の中で、金属と電子の関わり方を簡潔にまとめています。

金属物質は、原子の外殻がかなり緩く結合しており、電子の 1 つが自由に動いているという点で、他のすべての物質と異なります。したがって、金属の内部は、多数の結合していない電子で満たされており、それらは避難民の群れのようにあてもなく動き回っています。金属線の両端に電気力が加えられると、これらの自由電子は力の方向に突進し、いわゆる電流を形成します。

より技術的には、自由電子モデルは金属内の電子の流れの基本的な説明を提供します。

木材は極めて優れた絶縁体として広く認識されていますが、その抵抗率は水分含有量に敏感に依存し、湿った木材は少なくとも10 ¹⁰オーブンで乾燥させた木材よりも絶縁性が悪い。^[46]いずれにしても、落雷や高圧送電線などの十分に高い電圧は、一見乾燥しているように見えても、絶縁破壊や感電の危険につながる可能性がある。^[要出典]

ほとんどの材料の電気抵抗率は温度によって変化します。温度Tがあまり変化しない場合は、通常、線形近似が使用されます。 $${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})],}$$

ここで は抵抗率の温度係数と呼ばれ、は固定された基準温度（通常は室温）、 は温度 における抵抗率です。 パラメータ は測定データ から当てはめた経験的パラメータで、1/ ^[明確化]に等しくなります。 線形近似は近似にすぎないため、は基準温度によって異なります。 このため、などの接尾辞を使用して で測定された温度を指定するのが一般的であり、関係は基準付近の温度範囲でのみ有効です。^[54]温度が広い温度範囲で変化する場合は、線形近似では不十分であり、より詳細な分析と理解を行う必要があります。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha _{15}}$

一般的に、金属の電気抵抗率は温度とともに増加する。電子-フォノン相互作用が重要な役割を果たす。高温では、金属の抵抗率は温度とともに直線的に増加する。金属の温度が低下すると、抵抗率の温度依存性は温度のべき乗関数に従う。数学的には、金属の抵抗率ρの温度依存性は、ブロッホ-グリューナイゼンの式で近似できる。^[55]

$${\displaystyle \rho (T)=\rho (0)+A\left({\frac {T}{\Theta _{R}}}\right)^{n}\int _{0}^{\Theta _{R}/T}{\frac {x^{n}}{(e^{x}-1)(1-e^{-x})}}\,dx,}$$

ここで、は欠陥散乱による残留抵抗率、 A はフェルミ面における電子の速度、デバイ半径、金属内の電子数密度に依存する定数です。 は抵抗率測定から得られるデバイ温度であり、比熱測定から得られるデバイ温度の値と非常によく一致します。 n は相互作用の性質に依存する整数です。 ${\displaystyle \rho (0)}$${\displaystyle \Theta _{R}}$

• n  = 5 は、抵抗がフォノンによる電子の散乱によるものであることを意味します（単純な金属の場合と同様）。
• n  = 3 は、抵抗が sd 電子散乱によるものであることを意味します (遷移金属の場合と同様)
• n  = 2 は、抵抗が電子間相互作用によるものであることを意味します。

ブロッホ・グリューナイゼンの公式は、研究対象の金属が第一ブリルアンゾーン内に内接する球状のフェルミ面とデバイフォノンスペクトルを持つと仮定して得られる近似式である。^[56]

散乱源が複数同時に存在する場合、マティセンの法則（1860年代にオーガスタス・マティセンによって初めて定式化された） ^{[57] [58]によれば、総抵抗は、それぞれ適切な}nの値を持ついくつかの異なる項を加算することによって近似できるとされています 。

金属の温度が十分に低下すると（すべてのフォノンが「凍結」するほど）、抵抗率は通常、残留抵抗率と呼ばれる一定値に達します。この値は金属の種類だけでなく、その純度と熱履歴によっても異なります。金属の残留抵抗率の値は、その不純物濃度によって決まります。一部の材料は、超伝導と呼ばれる効果により、十分に低い温度ですべての電気抵抗を失います。

金属の低温抵抗率の研究が、 1911 年に超伝導の発見につながったHeike Kamerlingh Onnesの実験のきっかけとなった。詳細については、超伝導の歴史を参照してください。

ヴィーデマン・フランツの法則は、熱と電荷の輸送が電子によって支配される材料の場合、熱伝導率と電気伝導率の比率は温度に比例することを述べています。

$${\displaystyle {\kappa \over \sigma }={\pi ^{2} \over 3}\left({\frac {k}{e}}\right)^{2}T,}$$

ここで、は熱伝導率、はボルツマン定数、は電子電荷、は温度、 は電気伝導率です。 右辺の比はローレンツ数と呼ばれます。 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle k}$${\displaystyle e}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \sigma }$

一般に、半導体の固有抵抗は温度の上昇とともに減少します。電子は熱エネルギーによって伝導エネルギー帯に押し出され、そこで自由に流れ、その際に価電子帯にホールが残り、これも自由に流れます。典型的な固有（非ドープ）半導体の電気抵抗は、アレニウス モデルに従って温度とともに指数関数的に減少します。

$${\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{\frac {E_{A}}{k_{B}T}}.}$$

半導体の抵抗率の温度依存性のさらに良い近似は、スタインハート・ハートの式で与えられます。

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}=A+B\ln \rho +C(\ln \rho )^{3},}$$

ここで、A、B、Cはいわゆるスタインハート・ハート係数です。

この式はサーミスタの校正に使用されます。

外因性（ドープ）半導体の温度プロファイルははるかに複雑です。絶対零度から温度が上昇すると、まずキャリアがドナーまたはアクセプターから離れるため抵抗が急激に減少します。ほとんどのドナーまたはアクセプターがキャリアを失った後、キャリアの移動度が低下するため（金属の場合と同様）、抵抗は再びわずかに増加し始めます。温度が高くなると、ドナー/アクセプターからのキャリアは熱的に生成されたキャリアに比べて無視できるほど小さくなるため、内因性半導体のように動作します。^[59]

非結晶半導体では、電荷が量子トンネル効果によってある局所的な場所から別の場所へ移動することで伝導が起こる。これは可変範囲ホッピングとして知られ、次のような特徴的な形をとる。 $${\displaystyle \rho =A\exp \left(T^{-1/n}\right),}$$

ここで、n はシステムの次元に応じて 2、3、4 になります。

近藤絶縁体は、抵抗率が次の式に従う材料である。

${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}+aT^{2}+bT^{5}+c_{m}\ln {\frac {\mu }{T}}}$

ここで、、、は定数パラメータ、残留抵抗率、 フェルミ液体寄与、格子振動項、および近藤効果です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c_{m}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle T^{5}}$${\displaystyle \ln {\frac {1}{T}}}$

交流電場に対する材料の応答を解析する場合（誘電分光法）^{[60] 、}電気インピーダンス・トモグラフィー^[61]などの用途では、抵抗率をインピーダンスと呼ばれる複素量に置き換えると便利です（電気インピーダンスに類似）。インピーダンスは、実数成分の抵抗率と虚数成分の反応性（リアクタンスに類似）の合計です。インピーダンスの大きさは、抵抗率と反応性の大きさの二乗の合計の平方根です。

逆に、このような場合には、導電率はアドミティビティと呼ばれる複素数（異方性材料の場合は複素数の行列）として表現する必要があります。アドミティビティは、導電率と呼ばれる実数成分と磁化率と呼ばれる虚数成分の合計です。

交流電流に対する応答の別の記述では、実数（ただし周波数依存）の導電率と実数誘電率を使用します。導電率が大きいほど、交流電流信号が材料に吸収される速度が速くなります（つまり、材料の不透明度が高くなります）。詳細については、 「不透明度の数学的記述」を参照してください。

材料の抵抗率が分かっている場合でも、その材料で作られたものの抵抗を計算することは、場合によっては上記の式よりもはるかに複雑になることがあります。1つの例は、材料が不均質 (場所によって抵抗率が異なる) で、電流が流れる正確な経路が明らかではない場合の拡散抵抗プロファイリングです。 ${\displaystyle R=\rho \ell /A}$

このような場合、式は $${\displaystyle J=\sigma E\,\,\rightleftharpoons \,\,E=\rho J}$$

を置き換える必要があります $${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} )=\sigma (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )\,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\rho (\mathbf {r} )\mathbf {J} (\mathbf {r} ),}$$

ここで、EとJ はベクトル場です。この方程式は、 Jの連続方程式およびEのポアソン方程式とともに、偏微分方程式の集合を形成します。特殊なケースでは、これらの方程式の正確な解または近似解を手作業で求めることができますが、複雑なケースで非常に正確な答えを得るには、有限要素解析などのコンピューターによる方法が必要になる場合があります。

アイテムの重量が非常に重要な一部のアプリケーションでは、絶対的な低抵抗率よりも、抵抗率と密度の積の方が重要です。導体を厚くして高い抵抗率を補うことは多くの場合可能です。その場合、抵抗率密度積が低い材料 (または同等に高い導電率対密度比) が望ましいです。たとえば、長距離の架空送電線では、同じ導電率であれば銅 (Cu) よりも軽量なアルミニウムが頻繁に使用されます。

銀は、知られている金属の中で最も抵抗が低いが、密度が高く、この基準では銅と同様の性能を示すが、はるかに高価である。カルシウムとアルカリ金属は、抵抗率と密度の積が最も優れているが、水や酸素との反応性が高く（物理的強度が不足している）、導体にはほとんど使用されない。アルミニウムははるかに安定している。毒性のため、ベリリウムは選択されない。^[62]（純粋なベリリウムも脆い。）したがって、導体の重量やコストが主な考慮事項である場合、アルミニウムが通常選択される金属である。

ベンジャミン・フランクリンは1774年にオランダ生まれのイギリス人科学者ヤン・インゲンハウスに宛てた手紙の中で、別のイギリス人科学者ジョン・ウォルシュによる驚くべき事実を示したとされる実験について述べている。希薄な空気は通常の空気よりも電気をよく通すが、真空は電気をまったく通さない。^[63]

ウォルシュ氏は...電気に関して興味深い発見をしたばかりです。ご存知のように、希薄な空気では電気はより自由に流れ、濃い空気よりも広い空間を飛び越えます。したがって、完全な真空では電気はどんなに遠くまでも何の障害もなく通過できると結論付けられました。しかし、長いトリチェリ式の曲がった管で沸騰した水銀を使って完全な真空を作り、その両端を水銀で満たされたカップに浸したところ、真空はまったく伝導せず、電気流体の通過を完全に阻止することがわかりました。

しかし、この声明には、手紙を掲載したウェブページの編集者（アメリカ哲学協会とイェール大学）によって（現代の知識に基づいた）注釈が付け加えられた。^[63]

ウォルシュの発見には何か間違いがあったとしか考えられません。... ガスの伝導率は真空に近づくにつれてある点まで増加し、その後減少しますが、その点は、説明されている技術が到達すると予想される範囲をはるかに超えています。沸騰により空気が水銀蒸気に置き換わり、それが冷却されると真空状態になり、蒸気の伝導率を減少させるどころか完全に除去するほどには至りませんでした。

• ポール・ティプラー (2004)。『科学者とエンジニアのための物理学: 電気、磁気、光、現代物理学の基礎(第 5 版)』。WH フリーマン。ISBN 978-0-7167-0810-0。
• 電気抵抗率と導電率の測定

Wikibooks には、 A レベル物理学 (Advancing Physics)/抵抗率と導電率に関する本があります。

• 「電気伝導率」。60個のシンボル。ノッティンガム大学のBrady Haran 氏。2010 年。
• WolframAlphaにおけるさまざまな元素の電気伝導率の比較
• 部分導電性と全導電性。「電気伝導率」(PDF)。

• https://edu-physics.com/2021/01/07/resistivity-of-the-material-of-a-wire-physics-practical/