電磁場の量子化

電磁場の量子化とは、物理学における手順の一つで、マクスウェルの古典的な電磁波を光子と呼ばれる粒子に変換するものです。光子は質量のない粒子で、一定のエネルギー、一定の運動量、一定のスピンを持ちます。

光電効果を説明するために、アルバート・アインシュタインは1905年に、電磁場はhνのエネルギーを持つ粒子から構成されていると経験的に仮定した。ここでhはプランク定数、νは波の周波数である。1927年、ポール・A・M・ディラックは光子の概念を新しい量子力学の枠組みに組み込み、光子と物質の相互作用を記述することができた。^{[ 1 ]}彼は現在一般に第二量子化と呼ばれる手法を適用したが、^{[ 2 ]}この用語は電磁場に対してはやや不適切な名称である。なぜなら電磁場は古典的なマクスウェル方程式の解だからである。ディラックの理論では、場が初めて量子化され、またプランク定数が式に初めて登場する。ディラックは、自身の研究において、異なる電磁モードの位相（場のフーリエ成分）とモードエネルギーを量子化するための動的変数として取った（つまり、それらを演算子として再解釈し、それらの間の交換関係を仮定した）。現在では、ベクトルポテンシャルのフーリエ成分を量子化するのが一般的である。以下ではその方法を示す。

量子力学的光子状態${\displaystyle |\mathbf {k} ,\mu \rangle }$モードに属する${\displaystyle (\mathbf {k} ,\mu )}$以下に紹介するものは、以下の性質を持つことが示される。

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\textrm {photon}}&=0\\H|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=h\nu |\mathbf {k} ,\mu \rangle &&{\hbox{with}}\quad \nu =c|\mathbf {k} |\\P_{\textrm {EM}}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle \\S_{z}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\hbar \mu |\mathbf {k} ,\mu \rangle &&\mu =\pm 1.\end{aligned}}}$

これらの式はそれぞれ、光子の静止質量はゼロであること、光子のエネルギーはhν = hc | k | ( kは波数ベクトル、cは光速)、電磁運動量はħ k [ ħ = h /(2 π )]、偏光μ = ±1 は光子スピンのz成分の固有値であることを示しています。

第二量子化は、スカラー場またはベクトル場（あるいは波動関数）を、完全な関数セットからなる基底で展開することから始まります。これらの展開関数は、単一粒子の座標に依存します。基底関数に掛けられる係数は演算子として解釈され、これらの新しい演算子間に（反）交換関係が課されます。ボソンには交換関係、フェルミオンには反交換関係が課されます （基底関数自体には何も変化はありません）。このようにして、展開された場はフェルミオンまたはボソンの演算子場に変換されます。展開係数は、通常の数値から演算子、すなわち生成演算子と消滅演算子へと昇格されます。生成演算子は対応する基底関数に粒子を生成し、消滅演算子はこの関数に粒子を消滅させます。

電磁場の場合、必要な場の展開はフーリエ展開である。

その用語が示すように、電磁場は2つのベクトル場、すなわち電場から構成される。${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$そして磁場${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$どちらも時間依存のベクトル場であり、真空中では第3のベクトル場に依存する。${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$（ベクトルポテンシャル）およびスカラー場${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}},\\\end{aligned}}}$

ここで、∇ × AはAの回転です。

∇ ⋅ A = 0となるクーロンゲージを選択すると、 Aは横方向の場となる。体積V = L ³の有限立方体ボックス内に囲まれたベクトルポテンシャルのフーリエ展開は次のようになる。 

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\left(\mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right),}$

どこ${\displaystyle {\overline {a}}}$は、の複素共役を表します。${\displaystyle a}$波数ベクトルkは、 A ( r , t )の対応するフーリエ成分 (偏光単色波) の伝搬方向を示します。波数ベクトルの長さは

${\displaystyle |\mathbf {k} |={\frac {2\pi \nu }{c}}={\frac {\omega }{c}},}$

ここでνはモードの周波数である。この総和ではkは正負両方のすべての整数にわたって計算される。（フーリエ基底の成分）${\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$は、${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$として${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$（実数である。）ベクトルkの成分は離散値を持つ（これは、 A が箱の反対側の壁で同じ値を持つという境界条件の結果である）。

${\displaystyle k_{x}={\frac {2\pi n_{x}}{L}},\quad k_{y}={\frac {2\pi n_{y}}{L}},\quad k_{z}={\frac {2\pi n_{z}}{L}},\qquad n_{x},n_{y},n_{z}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots .}$

2 つのe ^{( μ )} (「偏光ベクトル」) は、左円偏光 (LCP) および右円偏光 (RCP) 電磁波の慣習的な単位ベクトルであり (ジョーンズ計算またはジョーンズベクトル、ジョーンズ計算を参照)、kに垂直です。これらは、ユニタリ変換によって正規直交デカルトベクトルe _xおよびe _yに関連付けられています。

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(\pm 1)}\equiv {\frac {\mp 1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y})\qquad {\hbox{with}}\quad \mathbf {e} _{x}\cdot \mathbf {k} =\mathbf {e} _{y}\cdot \mathbf {k} =0.}$

Aのk番目のフーリエ成分はkに 垂直なベクトルであり、したがってe ⁽¹⁾とe ⁽⁻¹⁾の 線形結合です。上付き文字μ はe ^{( μ )}に沿った成分を示します。

明らかに、フーリエ係数の（離散的な無限）集合は${\displaystyle a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)}$そして${\displaystyle {\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)}$これらはベクトルポテンシャルを定義する変数です。次のセクションでは、これらを無次元演算子に昇格させます。

場の方程式を用いることにより${\displaystyle \mathbf {B} }$そして${\displaystyle \mathbf {E} }$に関しては${\displaystyle \mathbf {A} }$上記では、電場と磁場は

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=i\sum _{\mathbf {k} }{\sum _{\mu =\pm 1}\omega {\left({\mathbf {e} ^{(\mu )}}(\mathbf {k} )a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}-{{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu )}}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right)}}\\[6pt]\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=i\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\left\{\left(\mathbf {k} \times {{\mathbf {e} }^{(\mu )}}(\mathbf {k} )\right)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\left(\mathbf {k} \times {{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu )}}(\mathbf {k} )\right){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right\}\end{aligned}}}$

アイデンティティを使用することにより${\displaystyle \nabla \times e^{A\cdot r}=A\times e^{A\cdot r}}$（${\displaystyle A}$そして${\displaystyle r}$はベクトルであり、${\displaystyle a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)=a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}{{e}^{-iwt}}}$各モードは単一の周波数依存性を持つため。

量子化の最もよく知られた例は、粒子の時間依存線形運動量を次の規則に置き換えることである。

${\displaystyle \mathbf {p} (t)\to -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}.}$

ここでプランク定数が導入されていること、そして古典的な表現の時間依存性が量子力学的演算子に引き継がれていないことに注意してください（これは、いわゆるシュレーディンガー描像において当てはまります）。

電磁場についても同様のことを行います。${\displaystyle \epsilon _{0}}$は電気定数であり、電磁気学のSI単位系を使用しているためここに現れます。量子化規則は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)&\to {\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\{\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)&\to {\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\\end{aligned}}}$

ボソン交換関係に従う

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a^{(\mu )}(\mathbf {k} ),a^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} ),{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[a^{(\mu )}(\mathbf {k} ),{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k} '}\delta _{\mu ,\mu '}\end{aligned}}}$

角括弧は、次のように定義される整流子を示します。${\displaystyle [A,B]\equiv AB-BA}$任意の2つの量子力学的演算子AとBについて。プランク定数の導入は、古典理論から量子理論への移行において不可欠である。

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2\omega V\epsilon _{0}}}}}$

これは、ハミルトニアン（エネルギー演算子）を単純な形式にするために導入されたものであり、以下を参照のこと。

量子化された場（＝演算子）は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu )}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu )}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\left(\mathbf {k} \times \mathbf {e} ^{(\mu )}\right)a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\left(\mathbf {k} \times {\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}\right){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\end{aligned}}}$

ここでω = c | k | = ckである。

古典的なハミルトニアンは次の形式をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\iiint _{V}{\left({{\left|E(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}}+c^{2}{\left|B(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}\right)}{\text{d}}^{3}\mathbf {r} \\[1ex]&=V\epsilon _{0}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\omega ^{2}\left({\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)\right).\end{aligned}}}$

右辺は、まず を使用することで簡単に得られます。

${\displaystyle \int _{V}e^{ik\cdot r}e^{-ik'\cdot r}dr=V\delta _{k,k'}}$

（オイラー方程式と三角関数の直交性から導出可能）ここで、k は上記のようにV = L × L × Lの箱内に閉じ込められた波の波数であり、2 番目にω = kcを使用します。

場演算子を古典的なハミルトニアンに代入すると、電磁場のハミルトン演算子が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {1}{2}}\sum _{\mathbf {k} ,\mu =\pm 1}\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+a^{(\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)\\&=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)\end{aligned}}}$

2番目の等式は、上記のボソン交換関係の3番目をk ′ = k、μ ′ = μとして用いることで得られます。ここでもħω = hν = ħc | k |であることに注意し、表記では明示されていませんが、 ωはkに依存することを覚えておいてください。表記ω ( k )を導入することもできましたが、方程式が煩雑になるため一般的ではありません。

量子化された電磁場には真空状態（光子がない状態）が存在する。${\displaystyle |0\rangle }$例えば、

${\displaystyle \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)^{m}\left({a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right)^{n}|0\rangle \propto \left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle ,}$

これは、モード( k , μ )でm個の光子、モード( k ′, μ ′)でn個の光子からなる量子状態を表します。比例記号が使用されているのは、左辺の状態は1に正規化されていないのに対し、右辺の状態は正規化されている可能性があるためです。

オペレーター

${\displaystyle N^{(\mu )}(\mathbf {k} )\equiv {a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )}$

は数演算子です。量子力学的な光子数状態に作用すると、モード ( k , μ ) の光子数を返します。このモードの光子数がゼロの場合も同様で、その場合、数演算子はゼロを返します。1光子ケットに対する数演算子の作用を示すために、以下を考えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}N^{(\mu )}(\mathbf {k} )|\mathbf {k} ',\mu '\rangle &={a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} )|0\rangle \\&={a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\left(\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\delta _{\mu ,\mu '}+{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)|0\rangle \\&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\delta _{\mu ,\mu '}|\mathbf {k} ,\mu \rangle ,\end{aligned}}}$

すなわち、モード ( k , μ )の数演算子は、モードが空の場合はゼロを返し、モードが単一に占有されている場合は 1 を返します。モード ( k , μ ) の数演算子が同じモードのn光子ケットに 作用する場合を考えるために、添え字kとμを省略し、

${\displaystyle N(a^{\dagger })^{n}|0\rangle =a^{\dagger }\left([a,(a^{\dagger })^{n}]+(a^{\dagger })^{n}a\right)|0\rangle =a^{\dagger }[a,(a^{\dagger })^{n}]|0\rangle .}$

先に紹介した「微分法則」を用いると、次のことが導かれる。

${\displaystyle N(a^{\dagger })^{n}|0\rangle =n(a^{\dagger })^{n}|0\rangle .}$

光子数状態（またはフォック状態）は、数演算子の固有状態です。そのため、ここで説明する形式は、しばしば占有数表現と呼ばれます。

以前はハミルトニアン、

${\displaystyle H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)}$

が導入された。エネルギーのゼロ点はシフトすることができ、これにより数演算子による式が得られる。

${\displaystyle H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega N^{(\mu )}(\mathbf {k} )}$

Hが単一光子状態に及ぼす影響は

${\displaystyle H|\mathbf {k} ,\mu \rangle \equiv H\left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\sum _{\mathbf {k'} ,\mu '}\hbar \omega 'N^{(\mu ')}(\mathbf {k} '){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle =\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \omega |\mathbf {k} ,\mu \rangle .}$

したがって、単一光子状態はHの固有状態であり、ħω = hνは対応するエネルギーである。同様に

${\displaystyle H\left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle =\left[m(\hbar \omega )+n(\hbar \omega ')\right]\left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle ,\qquad {\text{with}}\quad \omega =c|\mathbf {k} |\quad {\hbox{and}}\quad \omega '=c|\mathbf {k} '|.}$

電磁場のフーリエ展開を古典的な形式に導入する

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=\epsilon _{0}\iiint _{V}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t){\textrm {d}}^{3}\mathbf {r} ,}$

収量

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=V\epsilon _{0}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =1,-1}\omega \mathbf {k} \left(a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+{\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)\right).}$

量子化により

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \mathbf {k} \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \mathbf {k} N^{(\mu )}(\mathbf {k} ).}$

1/2 の項は省略できます。なぜなら、許容されるkについて合計すると、k は−kと相殺されるからです。単一光子状態に対するP _EMの効果は次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}|\mathbf {k} ,\mu \rangle =\mathbf {P} _{\textrm {EM}}\left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle .}$

どうやら、単一光子状態は運動量演算子の固有状態であり、ħ kは固有値（単一光子の運動量）である。

光子は非ゼロの線運動量を持つため、ゼロ速度時の質量である非ゼロの静止質量m ₀を持つと考えることができる。しかし、ここではそうではないことを示す。m 0 ₌ 0 である。

光子は光速で伝播するため、特殊相対性理論が必要となる。エネルギーと運動量の二乗の相対論的表現は次のようになる。

${\displaystyle E^{2}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-v^{2}/c^{2}}},\qquad p^{2}={\frac {m_{0}^{2}v^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}.}$

p ² / E ²より、

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}p^{2}}{E^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad E^{2}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-c^{2}p^{2}/E^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}-c^{2}p^{2}.}$

使用

${\displaystyle E^{2}=\hbar ^{2}\omega ^{2}\qquad {\text{and}}\qquad p^{2}=\hbar ^{2}k^{2}={\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}$

そして、

${\displaystyle m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}-c^{2}p^{2}=\hbar ^{2}\omega ^{2}-c^{2}{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}=0,}$

したがって、m ₀ = 0 となります。

光子には、スピン量子数S = 1の三重項スピンを割り当てることができます。これは、例えば^14N同位体の核スピンに似ていますが、 M _S = 0の状態はゼロであり、 M _S = ±1の状態のみが ゼロではないという重要な違いがあります。

スピン演算子を定義する：

${\displaystyle S_{z}\equiv -i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\qquad {\hbox{and cyclically}}\quad x\to y\to z\to x.}$

2人のオペレーター${\displaystyle \otimes }$2つの直交する単位ベクトル間の積は、二進積である。単位ベクトルは、伝播方向k （スピン量子化軸であるz軸の方向）に垂直である。

スピン演算子は通常の角運動量交換関係を満たす

${\displaystyle [S_{x},S_{y}]=i\hbar S_{z}\qquad {\hbox{and cyclically}}\quad x\to y\to z\to x.}$

実際、二項積の性質を使用します

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)=\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\cdot \mathbf {e} _{z}\right)=\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}}$

e _zは単位長さであるため、このようにして、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S_{x},S_{y}\right]&=-\hbar ^{2}\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\hbar ^{2}\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\\&=\hbar ^{2}\left[-\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\right]\\&=i\hbar \left[-i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\right]\\&=i\hbar S_{z}\end{aligned}}}$

検査により、次のことが導かれる。

${\displaystyle -i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\cdot \mathbf {e} ^{(\mu )}=\mu \hbar \mathbf {e} ^{(\mu )},\qquad \mu =\pm 1,}$

したがってμは光子のスピンを表し、

${\displaystyle S_{z}|\mathbf {k} ,\mu \rangle =\mu \hbar |\mathbf {k} ,\mu \rangle ,\quad \mu =\pm 1.}$

ベクトルポテンシャルAは横方向の場であるため、光子には前方（μ = 0）スピン成分は存在しない。

電磁放射の古典的な近似は、体積内の光子の数が1よりはるかに大きい場合に有効である。${\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{3}}{(2\pi )^{3}}},}$ここでλは電波の波長である。この場合、量子ゆらぎは無視できる。

例えば、周波数ν = 100 MHz で放送するラジオ局から放出される光子^の エネルギー含有量はhν = ⁽ 1  ×  10⁸ ) × (6.6 × 10⁻³⁴ ) = 6.6 × ^10⁻²⁶ J であり、hはプランク定数である。このラジオ局の波長はλ = c / ν = 3 m なので、 λ / (2π ) = 48 cm となり、体積は 0.109 m³である。この体積要素の、ラジオ局から 5 km 離れた地点でのエネルギー含有量は 2.1 × 10⁻¹⁰ × ^0.109 = 2.3 × 10⁻¹¹ ^Jであり、これは 3.4 × 10¹⁴^個の光子に相当する^。               ${\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{3}}{(2\pi )^{3}}}.}$3.4  ×  10¹⁴ > 1^であるため、量子効果は関係ありません。このステーションから放出される波は古典極限で十分に説明でき、量子力学は必要ありません。

• QED真空
• 任意のスピン場の一般化された偏極ベクトル。

この記事は、Citizendium の記事「電磁場の量子化」からの資料を組み込んでいます。この記事はCreative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Licenseの下でライセンスされていますが、 GFDLの下ではライセンスされていません。