都市の拡大

都市スケーリング^[1]は、複雑系としての都市を研究する分野の一つで、都市の規模に応じてさまざまな都市指標が体系的にどのように変化するかを調べます。

都市のスケーリングに関する文献は、生物学におけるスケーリング理論の成功に動機づけられており、その成功は物理学におけるスケーリングの成功に動機づけられている。^{[2] [3]}システムに適用されたスケーリング分析からの重要な洞察は、関心のある変数とシステムのサイズとの間のべき乗法則関数関係を見つけることから得られる（べき乗法則 確率分布を見つけることとは対照的である）。べき乗法則には暗黙の自己相似性があり、これは普遍的なメカニズムが働いていることを示唆し、それが今度は基本法則の探求をサポートする。^{[3]べき乗法則の研究は、物理学における}臨界現象の研究と密接に関連しており、そこでは創発特性とスケール不変性が中心的かつ組織的な概念となっている。これらの概念は複雑系の研究で再浮上し、^{[4] [5]}都市のスケーリングの枠組みで特に重要である。

生物学におけるスケーリングの現象は、しばしばアロメトリックスケーリングと呼ばれます。これらの関係のいくつかはガリレオによって研究され（例えば、動物の脚の面積の幅と質量の関係）、その後1世紀前にマックスクライバーによって基礎代謝率と質量の関係の観点から研究されました（クライバーの法則を参照）。生物学におけるアロメトリックスケーリングの法則の理論的説明は、代謝スケーリング理論によって提供されました。^[2]

都市の文脈におけるスケーリングの適用は、都市における都市活動は、物理的に近い場所にいる多数の個人の相互作用から生じる創発的な現象であるという考えに触発されています。これは、よりアドホックな社会学的構成である国やその他の社会集団の描写にスケーリングを適用することとは対照的です。都市における集合的影響は、文化、国、歴史を超えて保持されるべき大規模な定量的な都市規則性の形をもたらすと予想されます。そのような規則性が観察されれば、都市の一般的な数学理論の探求を支援することになります。^[6]

実際、ルイス・ベッテンコート、ジェフリー・ウェスト、ホセ・ロボの独創的な研究^{[7]では、多くの都市指標が人口規模と}べき乗法則で関連していることが実証されています。この関係では、社会経済的数量は超線形に増加する傾向がありますが、^[8]インフラの指標（ガソリンスタンドの数など）は人口規模とともに線形以下になります。^[9]彼らは、都市を集合体として理解し、都市政策を導き、持続可能性を向上させ、都市の成長を管理するための定量的予測フレームワークを主張しています。^[1]

文献は増え続け、これらの出現したべき乗則に対する理論的説明も数多くなされている。リベイロとリブスキは、これらを論文「都市のスケーリング則の起源を説明する数学モデル」でまとめた。^[10]例としては、アーベスマンらの2009年モデル、^[11]ベッテンコートの2013年モデル、^[12]ゴメス・リエヴァノらの2017年モデル、^[13]ヤンらの2019年モデル、^[14]などが挙げられる（モデルのより詳細なレビューについては^[10]を参照）。都市で観察されるスケーリング則の最終的な説明は、依然として議論の的となっている。^{[15] [16]}

• 都市のスケーリングは、しばしばべき乗則の関係に従い、スケーリングの形は次のように表現される。

${\displaystyle Y=Y_{0}N^{\beta }}$、

ここで、は都市指標、は定数、は人口規模、はスケーリング指数です。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y_{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \beta}$

• 指数は、関係が超線形 ( )、亜線形 ( )、または線形 ( ) のいずれであるかを示します。${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta >1}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \beta <1}$

分野としての都市スケーリングの主な焦点は (他の分野とは対照的に [以下の「経済学」および「社会学」のセクションを参照])、スケーリング指数の特定の値の起源と説明の研究に重点を置いていることです。他の分野では、都市の規模と都市指標の関係が認識されていますが、都市スケーリング分野の研究者は主に、考えられるすべての関係から 2 つの変数を関連付けることができ、関係の強さを媒介できるすべての係数、都市指標と人口サイズはべき乗法則によって関連しており、指数は 1 よりわずかに下またはわずかに上になる可能性があるという事実に興味を持っています。

都市スケーリング フレームワークは、主に横断的な関係に焦点を当てています。つまり、特定の時点における多くの都市の都市指標間のべき乗関係を説明します。

このフレームワークを拡張すると、特定の都市が都市システム全体を説明するべき乗法則の関係に従うか、それともそこから逸脱するかを理解できます。

都市システム内の都市を想定し、その人口が一定の割合で指数関​​数的に増加すると仮定します。都市は何らかの出力を生成し、これも指数関数的に増加するものの、別の割合で増加すると仮定します。ここで、と はそれぞれ時点 における人口と出力を表します。これら 2 つの仮定を組み合わせると、次のことが言えます。 ${\displaystyle c=1,\ldots ,m}$${\displaystyle g}$${\displaystyle N_{c}(t)=N_{c}(0)e^{gt}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle h}$${\displaystyle Y_{c}(t)=Y_{c}(0)e^{ht}}$${\displaystyle N_{c}(0)}$${\displaystyle Y_{c}(0)}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle {\left({\frac {Y_{c}(t)}{Y_{c}(0)}}\right)}^{1/h}={\left({\frac {N_{c}(t)}{N_{c}(0)}}\right)}^{1/g}.}$

すると、出力と人口の間には次のような暗黙のべき乗関係が生まれます。

${\displaystyle Y_{c}(t)={a_{c}}~{N_{c}(t)}^{h/g},}$

どこ。 ${\displaystyle a_{c}=\left({\frac {Y_{c}(0)}{N_{c}(0)^{h/g}}}\right)}$

つまり、人口規模と生産量が異なる率で指数関数的に増加する場合、それらはどの単一の都市に対しても縦断的にべき乗法則によって関連します。さらに、初期生産量と人口規模の比率が都市に依存しない定数である場合、べき乗法則の比例係数と指数は下付き文字 に依存しないため、同じべき乗法則が横断面データを表します。これは、都市のスケーリングが時間と空間の両方で発生し、 スケーリング指数が成長率の比率に等しい非常に単純な例です。時間的スケーリングと横断面スケーリングの関係は、より一般的にすることができます。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle k\equiv a_{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle Y(N,t)=k{N(t)}^{\beta },}$${\displaystyle \beta =h/g}$

時間的スケーリングと横断的スケーリングの間に関係があるかどうかという疑問は、結果変数が人口規模と時間（おそらくランダムノイズを含む）の関数であることに注目することで解決されます。このトピックに関する公開文献では、時間と空間におけるスケーリングの意味についての明確な定義がないため、一定の議論があります。 ${\displaystyle Y=f(N,t)}$

ここでは、次の 3 つの関係と定義が想定されています。

多変量関数の時間に関する全微分（上の点で示される）

${\displaystyle {\dot {f}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\dot {x}}_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\dot {x}}_{2}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\dot {x}}_{n}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

縦断的（時間的）都市拡大指数

${\displaystyle \beta _{L}={\frac {\partial \ln(Y){\big }}\partial t}{\partial \ln(N){\big }}\partial t}}}$

横断的（空間的）都市拡大指数

${\displaystyle \beta _{C}={\frac {\partial \ln(Y){\big }}\partial N}{\partial \ln(N){\big }}\partial N}}.}$

縦方向のスケーリング指数は、時間に関する2 つの偏微分比(つまり、サイズを一定に保つ) であるのに対し、断面のスケーリング指数は、サイズに関する2 つの偏微分比(つまり、時間を一定に保つ) であることに注意してください。 ${\displaystyle \beta _{L}}$${\displaystyle Y}$

わかりやすくするために、と とし、都市固有の添え字 は省略する。上記の規則を用いると、の時間に関する 全微分は次のようになる。${\displaystyle y\equiv \ln(Y)}$${\displaystyle n\equiv \ln(N)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle y(n,t)}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial n}}{\dot {n}}+{\frac {\partial y}{\partial t}}}$。

は時間のみの関数なので、 となる。したがって両辺を で割ると、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\dot {n}}=\partial n/\partial t}$${\displaystyle {\dot {n}}}$

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {n}}}=\beta _{C}+\beta _{L}}$。

これに基づいて、都市の「総合的な」スケーリング指数と解釈することができ、 ${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {n}}}}$

${\displaystyle \beta _{T}=\beta _{C}+\beta _{L}}$。

しかし、は時間のみの関数 ( ) であるため、とは両方とも時間の経過と共に同時に変化します。この相互依存性により、の変化を観察しながら を一定に保つことが不可能になります。これは、経験的データから縦方向の指数を直接推定するために必要です。その結果、全体のスケーリング指数と横断面の指数のみが経験的に推定できますが、縦方向の指数は、 の時間への依存性 の交絡効果により実際には観測できません。${\displaystyle N}$${\displaystyle N=N(t)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \beta _{L}}$${\displaystyle \beta_{T}}$${\displaystyle \beta _{C}}$${\displaystyle \beta _{L}}$${\displaystyle N}$

• ルイス・ベッテンコート、ジェフリー・ウェスト、ホセ・ロボとサンタフェ研究所の同僚たちは、都市のスケーリングに関する独創的な研究を行った。^{[8] [18] [19] [7] [9]}彼らは世界中の都市で一貫したスケーリングの法則を特定し、大都市はより革新的で生産的である傾向があるが、犯罪率の上昇や病気の蔓延などの課題にも直面していることを示した。
• 彼らの研究は、GDPからインフラまで、多くの都市特性が予測可能なスケーリングパターンに従うことを実証しました。たとえば、経済指標は通常、超線形スケーリング指数（）を持ちますが、インフラは亜線形スケーリング（）を示すことがわかりました。${\displaystyle \beta \approx 1.15}$${\displaystyle \beta \approx 0.85}$
• 彼らは、都市の総合的な指標と人口規模のべき乗関係を理解するという明確な目標を掲げて、都市スケーリングの研究分野を立ち上げました。^{[1] [20]}

経済学における初期の研究の中には、人口規模に応じて経済成果がどのように変化するかを分析することで、都市規模の拡大に関する文献の初期段階に（意図せず）貢献したものがあると見ることができる。そのような研究の1つが、スヴェイカウスカスの1975年の「都市の生産性」^[21]であり、彼は労働者の平均生産性と都市人口規模の間に正の相関関係があると報告している。

現在、都市経済学の分野では、人々が物理的空間に集まることで生じる利益の因果関係を理解することに焦点が当てられています。そのため、大都市ほど名目賃金が高くなる傾向があるという事実、いわゆる「都市賃金プレミアム」を理解することに重点が置かれてきた文献が数多くあります。

社会学の分野では、社会経済的変数と人口の規模および密度との関係も研究されてきました。

例えば、フランスの社会学者エミール・デュルケームは、1893年の学位論文「社会における分業」で人口密度と人口増加の社会学的な影響を強調した。デュルケームは、人口の集団的社会的影響を強調した。人口増加は社会的交流の増加につながり、競争、専門化、そして最終的には対立をもたらし、それが社会規範と統合の発展を必要とすると提唱した。「動的密度」として知られるこの概念は、後にアメリカの社会学者ルイス・ワースによって、特に都市環境の文脈で拡張された。しかし、これらのアイデアが（社会学的な）数学モデルに翻訳され、都市集積の複雑さに関する社会学者の間で議論が巻き起こったのは、1970年代になってからだった。^{[22] [23] [24]}

クロード・S・フィッシャーのような批評家は、数学モデルは都市における社会的交流の現実を単純化しすぎていると主張した。フィッシャーは、これらのモデルは都市住民が瓶の中のビー玉のようにランダムに交流することを想定しており、都市生活の微妙で地域的な性質を捉えていないと主張した。彼は、都市住民の大半は近隣地域内での交流が限られており、都市の他の地域に足を運ぶことはめったになく、社会的交流が人口規模に比例するという考えに反していると指摘した。フィッシャーの批判は、単なる定量的モデルを超えて、社会システムをより深く理解する必要があることを強調した。^[25]

• 都市の規模を理解することは、政策立案者や計画立案者がより情報に基づいた決定を下すのに役立ちます。たとえば、大都市の効率性を認識することで、インフラ投資やリソースの割り当てを導くことができます。
• スケーリング法は、混雑、汚染、社会的不平等など、都市の成長に伴う課題を管理するための戦略にも役立ちます。

• 経済活動の超線形スケーリングは、大都市が経済成長の原動力であることを示唆しています。都市化と大都市圏の発展を支援する政策は、国と地域の経済を活性化させる可能性があります。

• インフラの準線形スケーリングは、資源をより効率的に使用することで大都市がより持続可能になる可能性を浮き彫りにします。ただし、これには汚染や過剰消費などの負の外部性を回避するための慎重な管理も必要です。
• 都市のスケーリング特性を理解することは、自然災害や経済不況などのショックによりよく耐えられる、より回復力のある都市システムを設計するのにも役立ちます。

都市スケーリング仮説が策定されて以来、複雑性分野の研究者数名がその枠組みとそのアプローチを批判してきた。これらの批判はしばしば使用されている統計的手法を対象としており、経済生産高と都市規模の関係はべき乗法則ではないかもしれないと示唆している。例えば、Shalizi (2011) ^{[26] は}、他の関数でも都市特性と人口の関係に同様に当てはまる可能性があると主張し、スケール不変性の概念に異議を唱えている。Bettencourt et al. (2013) ^{[27] は}、他のモデルがデータに当てはまるかもしれないが、より優れた理論的代替案がない限り、べき乗法則仮説は依然として堅牢であると反論した。

Leitão et al. (2016) ^[28]や Altmann (2020) ^[29]による他の批判では、分布の仮定が不正確であったり、観測値が独立していたり​​するなど、統計分析に潜在的な誤指定があると指摘されている。これらの懸念は、統計手法の選択を導く理論の必要性を浮き彫りにしている。さらに、都市境界の定義の問題は概念的な課題を提起する。Arcaute et al. (2015) ^[30]とその後の研究は、境界の定義が異なるとスケーリング指数も異なることを示しており、集積経済の前提に疑問を投げかけている。彼らは、モデルは集計尺度だけに頼るのではなく、都市内の経済活動と社会活動の構成を考慮すべきだと示唆している。

都市スケーリング・アプローチに対するもう一つの批判は、平均賃金や平均特許数などの個別レベルの量を測定する際に平均値に過度に依存していることに関係している。都市などの複雑なシステムは、個々の構成要素の分布がしばしばヘビーテールになっている。ヘビーテール分布は正規分布とは大きく異なり、極めて大きな値を生成する傾向がある。極端な外れ値の存在は大数の法則を無効にし、平均値を信頼できないものにする可能性がある。Gomez-Lievanoら(2021) ^[31]は、対数正規分布する都市量(賃金など)では、平均値は十分に大きな都市でのみ意味をなすことを示した。そうでなければ、都市規模と生産性の間に人為的な相関関係が生じ、都市スケーリングの出現を誤解を招く形で示唆する可能性がある。

• Bettencourt, LMA, Lobo, J., Helbing, D., Kühnert, C., & West, GB (2007). 都市における成長、イノベーション、規模拡大、そして生活のペース。米国科学アカデミー紀要、104(17), 7301-7306。
• ベッテンコート、LMA（2013）。都市におけるスケーリングの起源。サイエンス、340（6139）、1438-1441。
• Bettencourt, LMA, & West, GB (2010). 都市生活の統一理論. Nature , 467(7318), 912-913.
• 都市と企業の驚くべき数学 – TEDトーク^[32]
• 「スケール：生物、都市、経済、企業における成長、革新、持続可能性、そして生活のペースに関する普遍的な法則」ジェフリー・B・ウェスト著^[33]

• 都市経済
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• 複雑なシステム
• サンタフェ研究所