ゼータ分布

ゼータ

確率質量関数 対数対数スケールでのゼータ PMF のプロット。(関数はkの正の整数値でのみ定義されます。接続線は連続性を示しません。)
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle s\in (1,\infty )}$
サポート	${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}$
ＰＭＦ	${\displaystyle {\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {for}}~s>2}$
モード	${\displaystyle 1\,}$
分散	${\displaystyle {\frac {\ゼータ (s)\ゼータ (s-2)-\ゼータ (s-1)^{2}}{\ゼータ (s)^{2}}}~{\textrm {for }}~s>3}$
エントロピ	${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}\log(k^{s}\zeta (s)) .\,\!}$
MGF の	存在しない
CF	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it})}{\zeta (s)}}}$
PGF	${\displaystyle {\frac {\オペレータ名 {Li} _{s}(z)}{\zeta (s)}}}$

確率論と統計学において、ゼータ分布は離散確率分布である。Xがパラメータsを持つゼータ分布のランダム変数である場合、 Xが正の整数値kを取る確率は確率質量関数によって与えられる。

${\displaystyle f_{s}(k)={\frac {k^{-s}}{\zeta (s)}}}$

ここでζ ( s )はリーマンゼータ関数（ s = 1の場合には定義されない）である。

Xの異なる素因数の重複度は独立した確率変数です。

リーマン ゼータ関数は、正の整数kのすべての項の合計であるため、ジップ分布の正規化として現れます。「ジップ分布」と「ゼータ分布」という用語は、しばしば同じ意味で使用されます。しかし、ゼータ分布はそれ自体が確率分布である一方、同じ指数を持つジップの法則とは関連がありません。 ${\displaystyle k^{-s}}$

ゼータ分布は正の整数に対して定義され、その確率質量関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle P(x=k)={\frac {1}{\zeta (s)}}k^{-s},}$

ここではパラメータ、 はリーマンゼータ関数です。 ${\displaystyle s>1}$${\displaystyle \zeta (s)}$

累積分布関数は次のように与えられる。

${\displaystyle P(x\leq k)={\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}},}$

一般化調和数はどこにあるか${\displaystyle H_{k,s}}$

${\displaystyle H_{k,s}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i^{s}}}.}$

n番目の生モーメントは、 X ⁿの期待値として定義されます。

${\displaystyle m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1} {k^{sn}}}}$

右側の級数はリーマンゼータ関数の級数表現に過ぎませんが、1 より大きい値に対してのみ収束します。つまり、 ${\displaystyle sn}$

${\displaystyle m_{n}={\begin{cases}\zeta (sn)/\zeta (s)&{\text{for }}n<s-1\\\infty &{\text{for }}n\geq s-1\end{cases}}}$

ゼータ関数の比は、 ゼータ関数の級数表現が解析的に接続できるため、 n  >  s − 1 の場合でも明確に定義されます。これは、モーメントが級数自体によって指定され、したがって大きなnに対しては定義されないという事実を変えるものではありません。

モーメント生成関数は次のように定義される。

${\displaystyle M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}.}$

この級数は多重対数の定義に過ぎず、 に対して有効であるため、 ${\displaystyle e^{t}$

${\displaystyle M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ }}t<0 の場合。}$

これは を含む開区間に収束しないので、モーメント生成関数は存在しません。 ${\displaystyle t=0}$

ζ (1) は調和級数として無限大なので、 s = 1の場合は意味がありません。しかし、Aが密度を持つ任意の正の整数の集合である場合、つまり、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}}$

が存在する。ここで、N ( A ,  n ) はAの要素数がn以下である場合、

${\displaystyle \lim _{s\to 1^{+}}P(X\in A)\,}$

その密度に等しいです。

後者の極限は、 Aが密度を持たない場合にも存在する。例えば、Aが最初の桁がdであるすべての正の整数の集合である場合、Aは密度を持たないが、それでも上記の2番目の極限が存在し、それに比例する。

${\displaystyle \log(d+1)-\log(d)=\log \left(1+{\frac {1}{d}}\right),\,}$

これはベンフォードの法則です。

ゼータ分布は、幾何分布を持つ一連の独立したランダム変数で構成できます。を素数、をパラメータ の幾何分布を持つランダム変数とします。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X(p^{-s})}$${\displaystyle p^{-s}}$

${\displaystyle \quad \quad \quad \mathbb {P} \left(X(p^{-s})=k\right)=p^{-ks}(1-p^{-s})}$

ランダム変数が独立している場合、ランダム変数は次のように定義されます。 ${\displaystyle (X(p^{-s}))_{p\in {\mathcal {P}}}}$${\displaystyle Z_{s}}$

${\displaystyle \quad \quad \quad Z_{s}=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{X(p^{-s})}}$

ゼータ分布に従う: 。 ${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z_{s}=n\right)={\frac {1}{n^{s}\zeta (s)}}}$

言い換えると、ランダム変数は、次のディラック質量の合計によって与えられるレヴィ測度で無限に分割可能です。 ${\displaystyle \log(Z_{s})=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}X(p^{-s})\,\log(p)}$

${\displaystyle \quad \quad \quad \Pi _{s}(dx)=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\geqslant 1}{\frac {p^{-ks}}{k}}\delta _{k\log(p)}(dx)}$

その他の「べき乗法則」分布

• コーシー分布
• レヴィ分布
• レヴィ歪アルファ安定分布
• パレート分布
• ジップの法則
• ジップ・マンデルブロの法則
• 無限に分割可能な分布
• ユール・サイモン分布

• Gut, Allan. 「リーマンゼータ分布に関するいくつかのコメント」CiteSeerX  10.1.1.66.3284。Gut が「リーマンゼータ分布」と呼んでいるものは、実際には −log X の確率分布です 。ここで、X はこの記事でゼータ分布と呼んでいるランダム変数です。
• ワイスタイン、エリック・W.「Zipf Distribution」。マスワールド。