トゥイーディー分布

確率と統計学において、トゥイーディー分布は、純粋に連続的な正規分布、ガンマ分布、逆ガウス分布、純粋に離散的なスケールドポアソン分布、およびゼロで正の質量を持ちそれ以外は連続である複合ポアソン-ガンマ分布のクラスを含む確率分布のファミリーです。^{[1]トゥイーディー分布は}指数分散モデル の特殊なケースであり、一般化線型モデルの分布としてよく使用されます。^[2]

トゥイーディー分布は、1982年に会議^{[1]が開催された際にこれらの分布に関する最初の徹底的な研究を発表した英国}リバプール大学の統計学者で医学物理学者のモーリス・トゥイーディー[ ^4]にちなんで、ベント・ヨルゲンセン[3]によって命名されました。同じ頃、バーレフとエニスも同じテーマについて論文を発表しました。^{[5] [6]}

（再生）Tweedie分布は、特別な平均-分散関係を持つ（再生）指数分散モデル（ED）のサブファミリーとして定義されます。ランダム変数Yは、平均、正の分散パラメータ、および の場合、 Tweedie分布Tw _p (μ, σ ² )です。 ここで、はTweedie累乗パラメータと呼ばれます。測定可能なセットA上の確率分布P _{θ、σ ^{2 は}}、 あるσ有限測度ν _λに対して次のように与えられます 。この表現には、指数分散モデルの標準パラメータθとキュムラント関数を使用します。 ここでは、 、または同等の を使用します。 ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (Y)}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$$${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sigma ^{2}\,\mu ^{p},}$$${\displaystyle p\in \mathbf {R} }$ $${\displaystyle P_{\theta ,\sigma ^{2}}(Y\in A)=\int _{A}\exp \left({\frac {\theta \cdot z-\kappa _{p}(\theta )}{\sigma ^{2}}}\right)\cdot \nu _{\lambda }\,(dz),}$$ $${\displaystyle \kappa _{p}(\theta )={\begin{cases}{\frac {\alpha -1}{\alpha }}\left({\frac {\theta }{\alpha -1}}\right)^{\alpha },&{\text{for }}p\neq 1,2\\-\log(-\theta ),&{\text{for }}p=2\\e^{\theta },&{\text{for }}p=1\end{cases}}}$$${\displaystyle \alpha ={\frac {p-2}{p-1}}}$${\displaystyle p={\frac {\alpha -2}{\alpha -1}}}$

上で説明したモデルは再生形式です。指数分散モデルには常に双対、つまり加法形式があります。Y が再生形式の場合、は加法形式 ED ^* ( θ , λ ) になります (Tweedie Tw ^* _p (μ, λ)の場合)。加法モデルに は、固定θとさまざまなλを持つZ _i  ~ ED ^* ( θ , λ _i ) が同じθを持つ分布の族のメンバーである、という特性があり ます。 ${\displaystyle Z=\lambda Y}$${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$$${\displaystyle Z_{+}=Z_{1}+\cdots +Z_{n},}$$$${\displaystyle Z_{+}\sim \operatorname {ED} ^{*}(\theta ,\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}).}$$

指数分散モデルの2番目のクラスは、ランダム変数 σ 2 ⁼  1/ λで指定され、再生産指数分散モデルとして知られています。このモデルは、重み係数w _iと 変数の加重平均を持つn個の独立したランダム変数Y _i  ~ ED( μ , σ ² / w _i ) に対して、次の特性を 持ちます。 $${\displaystyle Y=Z/\lambda \sim \operatorname {ED} (\mu ,\sigma ^{2}),}$$$${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{n}w_{i},}$$$${\displaystyle w^{-1}\sum _{i=1}^{n}w_{i}Y_{i}\sim \operatorname {ED} (\mu ,\sigma ^{2}/w).}$$

生殖モデルの場合、 μとσ ^{2が固定され、} w _iの値がさまざまな独立したランダム変数の加重平均は、同じμとσ ^{2 を}持つ分布のファミリーのメンバーです。

トゥイーディー指数分散モデルは加法的かつ再生的である。したがって、双対変換が成り立つ。 $${\displaystyle Y\mapsto Z=Y/\sigma ^{2}.}$$

トゥイーディーモデルの3つ目の性質はスケール不変であることです。再生指数分散モデルTw _p (μ, σ ² )と任意の正の定数cに対して、スケール変換の下での閉包の性質があります。 $${\displaystyle c\operatorname {Tw} _{p}(\mu ,\sigma ^{2})=\operatorname {Tw} _{p}(c\mu ,c^{2-p}\sigma ^{2}).}$$

指数分散モデルの分散関数を定義するために、標準パラメータθと平均μの関係である平均値マッピングを利用します。これは 累積関数を持つ関数によって定義されます 。分散関数V ( μ ) は平均値マッピングから構築されます。 $${\displaystyle \tau (\theta )=\kappa ^{\prime }(\theta )=\mu .}$$${\displaystyle \kappa (\theta )}$ $${\displaystyle V(\mu )=\tau ^{\prime }[\tau ^{-1}(\mu )].}$$

ここで、 τ ⁻¹ ( μ )のマイナス指数は逆数ではなく逆関数を表します。加法ランダム変数の平均と分散は、E( Z ) = λμおよびvar( Z ) = λV ( μ )です。

スケール不変性は、分散関数がV ( μ ) = μ ^p の関係に従うことを意味する。^[2]

再生トゥイーディー分布の 単位偏差は次のように与えられる。$${\displaystyle d(y,\mu )={\begin{cases}(y-\mu )^{2},&{\text{for }}p=0\\2(y\log(y/\mu )+\mu -y),&{\text{for }}p=1\\2(\log(\mu /y)+y/\mu -1),&{\text{for }}p=2\\2\left({\frac {\max(y,0)^{2-p}}{(1-p)(2-p)}}-{\frac {y\mu ^{1-p}}{1-p}}+{\frac {\mu ^{2-p}}{2-p}}\right),&{\text{else}}\end{cases}}}$$

指数分散モデルの特性から2つの微分方程式が得られる。^[2] 最初の方程式は平均値マッピングと分散関数を相互に関連付けるものであり、 $${\displaystyle {\frac {\partial \tau ^{-1}(\mu )}{\partial \mu }}={\frac {1}{V(\mu )}}.}$$

2番目は平均値マッピングがキュムラント関数とどのように関係しているかを示しています。 $${\displaystyle {\frac {\partial \kappa (\theta )}{\partial \theta }}=\tau (\theta ).}$$

これらの方程式を解くと、Tweedie モデルのさまざまなケースのキュムラント関数が得られます。キュムラント関数から、キュムラント生成関数 (CGF) を取得できます。加法 CGF は通常、次の式で指定され 、再生産 CGF は、 s が生成関数変数で ある式で指定されます。$${\displaystyle K^{*}(s)=\log[\演算子名 {E} (e^{sZ})]=\lambda [\kappa (\theta +s)-\kappa (\theta )],}$$$${\displaystyle K(s)=\log[\operatorname {E} (e^{sY})]=\lambda [\kappa (\theta +s/\lambda )-\kappa (\theta )],}$$

加法的Tweedieモデルの場合、CGFは次の形式をとり、 生殖モデルの場合、 $${\displaystyle K_{p}^{*}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )[(1+s/\theta )^{ \alpha }-1]&\quad p\neq 1,2,\\-\lambda \log(1+s/\theta )&\quad p=2,\\\lambda e^{\theta }(e^{s}-1)&\quad p=1,\end{cases}}}$$$${\displaystyle K_{p}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )\left\{\left[1+s/(\theta \ lambda )\right]^{\​​alpha }-1\right\}&\quad p\neq 1,2,\\[1ex]-\lambda \log[1+s/(\theta \lambda )]&\quad p=2,\\[1ex]\lambda e^{\theta }\left(e^{s/\lambda }-1\right) &\quad p=1.\end{cases}}}$$

加法的および再生的Tweedieモデルは、通常、それぞれ記号Tw ^* _p ( θ , λ )およびTw _p ( θ , σ ² )で表されます。

s = 0の CGF の 1 次導関数と 2 次導関数は それぞれ平均と分散を導きます。したがって、加法モデルでは分散は平均に対してべき乗法則で関係していることを確認できます。 $${\displaystyle \mathrm {var} (Z)\propto \mathrm {E} (Z)^{p}.}$$

Tweedie 指数分散モデルは、広範囲の統計プロセスの収束の焦点としての役割を果たすことから、統計理論において基本的なものです。Jørgensenらは、分散関数の漸近的動作を規定する定理を証明しました。この定理はTweedie 収束定理として知られています。 ^[7]この定理は、専門用語で次のように述べられます。^[2]単位分散関数は、すべての実数の p および c 0 > 0 に対して、μ がゼロ (または無限大) に近づくにつれて V ( μ ) ~ c 0 μ p が成り立つことを条件_として、ゼロ(または無限大)でpの位数_に正規^です。次に 、任意の に対して、ゼロまたは無限大で p の位数に正規な単位分散関数に対して、および に対して それぞれまたはが成り立ちます 。ここで、収束はcの値を介して行われ、cμ はθの領域にあり、c ^{p −2} / σ ^{2 は}λの領域にあります。c ^{2− pが}無限大に近づくにつれて、モデルは無限に分割可能になる必要がある。^[2]$${\displaystyle p\notin (0,1),}$$${\displaystyle \mu >0}$${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$$${\displaystyle c^{-1}\operatorname {ED} (c\mu ,\sigma ^{2}c^{2-p})\rightarrow Tw_{p}(\mu ,c_{0}\sigma ^{2})}$$${\displaystyle c\downarrow 0}$${\displaystyle c\rightarrow \infty }$

専門用語を使わずに言えば、この定理は、分散対平均のべき乗則を漸近的に表す指数分散モデルは、 Tweedie モデルの吸引領域内に入る分散関数を持つ必要があることを意味します。有限キュムラント生成関数を持つ分布関数のほとんどすべてが指数分散モデルとして適格であり、ほとんどの指数分散モデルはこの形式の分散関数を表わします。したがって、多くの確率分布にはこの漸近的な動作を表す分散関数があり、Tweedie 分布はさまざまなデータタイプの収束の焦点になります。^[8]

トゥイーディー分布には、よく知られている分布だけでなく、珍しい分布もいくつか含まれており、それぞれはインデックスパラメータの ドメインによって指定されます。

• 極端に安定した分布、p  < 0、
• 正規分布、p  = 0、
• ポアソン分布、p  = 1、
• 複合ポアソンガンマ分布、1 <  p  < 2、
• ガンマ分布、p  = 2、
• 正の安定分布、2 <  p  < 3、
• 逆ガウス分布、p  = 3、
• 正の安定分布、p  > 3、および
• 極端に安定した分布、p  =  ∞。

0 <  p  < 1 の場合、Tweedie モデルは存在しません。すべての安定分布は、実際には安定分布によって生成されることを意味することに注意してください。

テイラーの法則は、生態学における経験法則であり、生息地の単位面積あたりの種の個体数の分散と、それに対応する平均値をべき乗法則で結び付けます。^[9] 個体数Y、平均μ、分散var( Y )に対して、テイラーの法則が書かれます 。 ここで、aとpは両方とも正の定数です。LRテイラーが1961年にこの法則を説明して以来、動物の行動、^[9]ランダムウォークモデル、^[10]確率的な出生、死亡、移住、移出モデル、^{[11]平衡および非平衡}統計力学の結果に至るまで、さまざまな説明が提示されてきました。^[12] このモデルの説明についてはコンセンサスは存在しません。 $${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=a\mu ^{p},}$$

テイラーの法則は、トゥイーディーモデルを特徴付ける分散対平均のべき乗法則と数学的に同一であるため、これらのモデルとトゥイーディー収束定理を使用して、テイラーの法則に関連する動物と植物の観察されたクラスタリングを説明することは合理的であるように思われた。 ^{[13] [14]べき乗法則指数}p の観測値の大部分は区間(1,2)に収まっているため、トゥイーディー複合ポアソンガンマ分布が適用可能であると思われる。経験的分布関数と理論的な複合ポアソンガンマ分布の比較は、この仮説の一貫性を検証する手段を提供した。^[13]

テイラーの法則の従来のモデルは、動物の行動や個体群動態のアドホックな仮定を含む傾向があったが、トゥイーディー収束定理は、中心極限定理が特定の種類のランダムデータの収束挙動を規定するのと同様に、テイラーの法則が一般的な数学的収束効果から生じることを示唆している。実際、テイラーの法則（この定理に基づいて）を生み出すように設計されたあらゆる数学モデル、近似、またはシミュレーションは、トゥイーディーモデルの形に収束する必要がある。^[8]

ピンクノイズ、または1/ fノイズは、異なる周波数fにおける強度S ( f )の間にべき乗関係を特徴とするノイズパターンを指します。ここで、 無次元指数γ ∈ [0,1] です。これは、さまざまな自然プロセス内で見つかります。^[15] 1/ fノイズにはさまざまな説明がありますが、広く信じられている仮説は、臨界点に近い動的システムがスケール不変の空間的および/または時間的動作を示すと考えられる自己組織化臨界性に基づいています。 $${\displaystyle S(f)\propto {\frac {1}{f^{\gamma }}},}$$

この節では、1/ fノイズと Tweedie 分散平均べき乗則の間の数学的な関係について説明します。まず、自己相似過程を導入する必要があります。 平均 偏差 分散 と 遅延kの自己相関関数を持つ数列について 、この数列の自己相関がk →∞ の長距離挙動を示し 、L ( k ) がkの大きな値でゆっくり変化する関数である場合、この数列は自己相似過程と呼ばれます。^[16]$${\displaystyle Y=(Y_{i}:i=0,1,2,\ldots ,N)}$$$${\displaystyle {\widehat {\mu }}=\operatorname {E} (Y_{i}),}$$$${\displaystyle y_{i}=Y_{i}-{\widehat {\mu }},}$$$${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\operatorname {E} (y_{i}^{2}),}$$$${\displaystyle r(k)={\frac {\operatorname {E} (y_{i},y_{i+k})}{\operatorname {E} (y_{i}^{2})}}}$$$${\displaystyle r(k)\sim k^{-d}L(k)}$$

ビンを拡張する方法は、自己相似プロセスを分析するために使用できます。元のN要素のシーケンスをm 個の等しいサイズのセグメントのグループ( N/mは整数) に分割する、重複しない等しいサイズのビンのセットを検討します。これにより、平均値に基づいて新しい再生シーケンスを定義できます。 $${\displaystyle Y_{i}^{(m)}=\left(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im}\right)/m.}$$

このシーケンスから決定される分散は、ビンサイズの変化に応じてスケーリングさ れ、自己相関が極限形式を持つ場合にのみ^[17]$${\displaystyle \operatorname {var} [Y^{(m)}]={\widehat {\sigma }}^{2}m^{-d}}$$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }r(k)/k^{-d}=(2-d)(1-d)/2.}$$

拡張ビンに基づいて対応 する加法シーケンスのセットを構築することもできます 。$${\displaystyle Z_{i}^{(m)}=mY_{i}^{(m)},}$$$${\displaystyle Z_{i}^{(m)}=(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im}).}$$

自己相関関数が同じ挙動を示す場合、加法シーケンスは次の関係に従う。 $${\displaystyle \operatorname {var} [Z_{i}^{(m)}]=m^{2}\operatorname {var} [Y^{(m)}]=\left({\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\widehat {\mu }}^{2-d}}}\right)\operatorname {E} [Z_{i}^{(m)}]^{2-d}}$$

と は定数なので、この関係は分散対平均のべき乗則を構成し、p  = 2 -  dとなる。^{[8] [18]}${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$

上記の分散対平均べき乗則とべき乗法則自己相関関数、およびウィーナー・ヒンチン定理^{[19]の間の}二条件関係は、ビン拡張法によって分散対平均べき乗則を示すシーケンスはすべて 1/ fノイズも示すこと、およびその逆も成り立つことを意味しています。さらに、Tweedie 収束定理は、分散対平均べき乗関数を発現する分布を生成する中心極限のような効果により、1/ f ノイズを発現するプロセスも生成します。[8] Tweedie 収束定理は、中心極限のような効果に基づいて、1/ fノイズ^の発生 源に対する別の説明を提供します。

中心極限定理では、ある種のランダム過程が収束の焦点としてガウス分布を持ち、それによって白色ノイズを表現することが必要であるのと同様に、トゥイーディー収束定理では、ある種の非ガウス過程が収束の焦点として1/ fノイズを表現するトゥイーディー分布を持つことが必要である。^[8]

自己相似過程の性質から、べき乗指数p  = 2 -  dはハースト指数 Hおよびフラクタル次元 Dと^[17]で関係している。 $${\displaystyle D=2-H=2-p/2.}$$

自己相似データの 1 次元データシーケンスは、pの値、したがってDの値に局所的な変動を伴う分散対平均のべき乗則を示す場合があります。フラクタル構造がフラクタル次元の局所的な変動を示す場合、それらはマルチフラクタルと呼ばれます 。このようにpの局所的な変動を示すデータシーケンスの例には、ガウス直交集合とユニタリ集合の固有値偏差が含まれます。^[8] Tweedie 複合ポアソン–ガンマ分布は、Tweedie 指数αの局所的な変動に基づいてマルチフラクタル性をモデル化するために役立っています。したがって、αの変動と併せて、Tweedie 収束定理は、このようなマルチフラクタルの発生に役割を果たしていると見なすことができます。

αの変化は、特定のケースでは非対称ラプラス分布に従うことがわかっています。^{[20]この分布は、幾何学的分散モデルの収束定理における極限分布として現れる幾何学的トゥイーディーモデル[21]} のファミリーのメンバーであることが示されています。

局所臓器血流は、従来、動物の動脈循環に放射性標識 ポリエチレンミクロスフェアを注入することによって評価されてきた。このミクロスフェアは、臓器の微小循環内に閉じ込められる大きさである。評価する臓器は、次に、同じ大きさの立方体に分割され、各立方体内の放射性標識の量は、液体シンチレーション計数によって評価され、記録される。各立方体内の放射能の量は、注入時にそのサンプルを通過する血流を反映するものとして扱われる。より大きな領域を通過する血流を加算的に決定するために、臓器から隣接する立方体を評価することが可能である。JB Bassingthwaighteらの研究により、質量mの組織サンプルの血流の相対分散 ( RD  = 標準偏差/平均) と基準サイズのサンプルとの間の経験的べき乗則が導かれている。^[22] $${\displaystyle RD(m)=RD(m_{\text{ref}})\left({\frac {m}{m_{\text{ref}}}}\right)^{1-D_{s}}}$$

このべき乗則指数D _sはフラクタル次元と呼ばれています。 バッシングスワイトのべき乗則は、分散対平均のべき乗則に直接関係していることが示されています。したがって、局所臓器の血流は、Tweedie複合ポアソン-ガンマ分布によってモデル化できます。^{[23]このモデルでは、組織サンプルには、それぞれ}ガンマ分布の血流 を持つランダム（ポアソン）分布の数の捕捉部位が含まれていると考えられます。この微小循環レベルでの血流はガンマ分布に従うことが観察されており、^[24]この仮説を裏付けています。

「実験的癌転移アッセイ」^[25]は、 局所血流を測定する上記の方法といくらか類似している。同系で年齢が一致したマウスのグループに、クローン癌細胞の懸濁液の等量のアリコートを静脈注射し、一定期間後に肺を摘出し、各肺の対内の癌転移の数を数える。他のマウスのグループに異なる癌細胞クローンを注射した場合、グループあたりの転移数はクローンの転移能に応じて異なる。各クローングループ内の実験条件を均一に保つために最善を尽くしたにもかかわらず、マウスあたりの転移数にかなりのクローン内変動が生じる可能性があることは、長い間認識されてきた。^{[25]この変動は、各クローンのマウスあたりの転移数の}ポアソン分布に基づいて予測されるものよりも大きく、マウスあたりの転移数の分散を対応する平均に対してプロットすると、べき乗法則が見つかった。^[26]

転移に関する分散平均べき乗則は、マウスの自然発生転移^[27] やヒトの転移症例シリーズ^[28]でも成立することがわかった。 血行性転移は局所血流と直接関係して発生し^[29]、ビデオ顕微鏡研究では循環内の癌細胞の通過と捕捉がマイクロスフェア実験と類似していることが示されているため^[30]、血行性転移数の変動は局所臓器血流の不均一性を反映している可能性があると提案するのは妥当と思われる。^[31] 血流モデルは、連続ランダム変数を支配する分布である Tweedie 複合ポアソン–ガンマ分布に基づいていた。そのため、転移モデルでは、血流はその分布によって支配され、局所転移数は強度が血流に正比例するポアソン過程として発生すると仮定した。これにより、ポアソン負二項分布（PNB）はトゥイーディー複合ポアソンガンマ分布の離散等価物として記述されるようになった。PNB分布の 確率生成関数は$${\displaystyle G(s)=\exp \left[\lambda {\frac {\alpha -1}{\alpha }}\left({\frac {\theta }{\alpha -1}}\right)^{\alpha }\left\{\left(1-{\frac {1}{\theta }}+{\frac {s}{\theta }}\right)^{\alpha }-1\right\}\right]}$$

PNB 分布の平均と分散の関係は 、多くの実験的転移アッセイの範囲内では、分散と平均のべき乗則と区別がつかないものになります。ただし、スパース データの場合、この離散的な分散と平均の関係は、分散が平均に等しいポアソン分布に似た動作になります。 $${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=a\operatorname {E} (Y)^{b}+\operatorname {E} (Y),}$$

ヒトゲノム内の一塩基多型（SNP）の局所密度は、遺伝子の密度と同様に、分散平均べき乗則とTweedie複合ポアソンガンマ分布に従って密集しているように見える。^{[32] [33]} SNPの場合、観察された密度は評価技術、分析のためのゲノム配列の可用性、およびヌクレオチドヘテロ接合性を反映している。^[34] 最初の2つの要因は収集方法に固有の確認エラーを反映し、後者の要因はゲノムの固有の特性を反映している。

集団遺伝学の合体モデルでは、各遺伝子座は独自の歴史を持っています。いくつかの種から集団が進化する過程で、いくつかの遺伝子座は比較的最近の共通祖先にまで遡ることができると考えられますが、他の遺伝子座はより古い系譜を持つ可能性があります。より古いゲノムセグメントには、SNPを蓄積し、組み換えを経験する時間が多くあったでしょう。RR ハドソンは、組み換えによって異なるゲノムセグメントの最も一般的な最近の祖先までの時間にばらつきが生じる可能性があるモデルを提唱しました。^[35] 組み換え率が高いと、染色体に相関性の低い系譜を持つ小さなセグメントが多数含まれる可能性があります。

背景突然変異率が一定であると仮定すると、ゲノムセグメントあたりのSNPの数は、最も最近の共通祖先までの時間に比例して蓄積される。現在の集団遺伝学理論では、これらの時間は平均してガンマ分布すると示唆されている。 ^[36] Tweedie複合ポアソンガンマ分布は、SNPマップが複数の小さなゲノムセグメントで構成され、セグメントあたりのSNPの平均数がハドソンのモデルに従ってガンマ分布するというモデルを示唆している。

ヒトゲノム内の遺伝子の分布も、対応する分散と平均を決定するためにビン拡張法が使用されたときに、分散と平均のべき乗法則を示しました。^[33]同様に、列挙ビンあたりの遺伝子数は、Tweedie 複合ポアソン-ガンマ分布に従うことがわかりました。この確率分布は、2 つの異なる生物学的モデルと互換性があると見なされました。1 つは、単位ゲノム長あたりの遺伝子数が、プロトクロモソームのランダムな切断と再構築によって得られたランダムな数のより小さなゲノムセグメントの合計によって決定されるマイクロアレンジメント モデルです。これらのより小さなセグメントは、平均してガンマ分布の数の遺伝子を持っていると想定されます 。

代替遺伝子クラスターモデルでは、遺伝子はプロトクロモソーム内でランダムに分布します。長い進化の時間スケールでは、タンデム重複、突然変異、挿入、削除、再配置が発生し、確率的な誕生、死、および移行プロセスを通じて遺伝子に影響を与え、 Tweedie 複合ポアソンガンマ分布が生成されます。

これら両方のメカニズムは、遺伝子の地域的なクラスター化をもたらす 中立的な進化プロセスに関係していると考えられます。

ガウスユニタリーアンサンブル(GUE) はユニタリー変換に対して不変な複素エルミート行列から成り、一方ガウス直交アンサンブル(GOE) は直交変換に対して不変な実対称行列から成ります。これらのランダム行列からの順位付けされた固有値E _{n は}ウィグナーの半円分布に従います。N × N行列の場合、サイズEの固有値の平均密度はE → ∞ になります 。半円規則の積分により、平均してE未満の固有値の数が与えられます。 $${\displaystyle {\bar {\rho }}(E)={\begin{cases}{\sqrt {2N-E^{2}}}/\pi &\quad \left\vert E\right\vert <{\sqrt {2N}}\\0&\quad \left\vert E\right\vert >{\sqrt {2N}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\bar {\eta }}(E)={\frac {1}{2\pi }}\left[E{\sqrt {2N-E^{2}}}+2N\arcsin \left({\frac {E}{\sqrt {2N}}}\right)+\pi N\right].}$$

順位付けされた固有値は、次の式で展開、すなわち正規化する ことができる。$${\displaystyle e_{n}={\bar {\eta }}(E)=\int _{-\infty }^{E_{n}}\,dE'{\bar {\rho }}(E').}$$

これにより、変動部分からシーケンスの傾向が除去されます。実際の累積固有値数と予想される累積固有値の差の絶対値を見ると 、ビン拡張法を使用して、分散対平均のべき乗則を明らかにする 一連の固有値変動が得られます。 ^[8] GUE と GOE の両方の固有値変動は、べき乗法則指数が 1 から 2 の範囲でこのべき乗法則を示し、同様に 1/ fノイズ スペクトルを示します。これらの固有値変動は、Tweedie 複合ポアソン-ガンマ分布にも対応し、マルチフラクタル性を示します。^[8]$${\displaystyle \left|{\bar {D}}_{n}\right|=\left|n-{\bar {\eta }}(E_{n})\right|}$$

2 番目の チェビシェフ関数ψ ( x ) は次のように与えられます。 ここで、和はx を超えない  すべての素数累乗に及び、x は正の実数に渡って走り、はフォン・マンゴルト関数です。関数ψ ( x ) は素数計算関数π ( x ) と関連しており、実数における素数の分布に関する情報を提供します。これは xに漸近し、これは素数定理と同等のステートメントであり、臨界ストリップρ上に位置するリーマンゼータ関数の零点と関連していることも示されます。ここで、ゼータ零点ρの実部は 0 から 1 の間です。したがって、 1 より大きいxに対して表されるψ は次のように記述できます。 ここで $${\displaystyle \psi (x)=\sum _{{\widehat {p\,}}^{k}\leq x}\log {\widehat {p\,}}=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}$$${\displaystyle {\widehat {p\,}}^{k}}$${\displaystyle \Lambda (n)}$ $${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})}$$$${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$$

リーマン予想は、リーマンゼータ関数の非自明な零点はすべて実部が1 ⁄ 2であることを述べています。これらのゼータ関数の零点は、素数の分布に関連しています。Schoenfeld ^{[37] は}、 リーマン予想が正しい場合、 すべての に対してが成り立つことを示しました。整数nのチェビシェフ偏差 Δ( n ) をビン拡張法を使用して解析し、分散と平均の関係をプロットすると、分散対平均のべき乗則を示すことができます。^{[要出典]さらに、これらの偏差は Tweedie 複合ポアソン-ガンマ分布に対応し、1/} fノイズを示します。 $${\displaystyle \Delta (x)=\left\vert \psi (x)-x\right\vert <{\sqrt {x}}\log ^{2}(x)/(8\pi )}$$${\displaystyle x>73.2}$

Tweedie 分布の用途には次のものがあります。

• 保険数理研究^{[38] [39] [40] [41] [42] [43] [44]}
• アッセイ分析^{[45] [46]}
• 生存分析^{[47] [48] [49]}
• 生態学^[13]
• 英国の10代の若者のアルコール消費の分析^[50]
• 医療用途^[51]
• 医療経済学^[52]
• 気象学と気候学^{[51] [53]}
• 漁業^[54]
• メルテンス関数^[55]
• 自己組織化臨界^[56]