パワー（統計）

頻度主義 統計学では、検出力は、特定の効果が実際に存在する場合に、それを検出するための実験設計と仮説検定設定の能力の尺度です。通常の使用では、使用される検定 (望ましい統計的有意性のレベルを含む)、検定の想定される分布 (たとえば、変動の程度、サンプル サイズ)、および関心のある効果サイズの関数です。統計的検出力が高いことは、変動性が低いこと、サンプル サイズが大きいこと、探している効果が大きいこと、統計的有意性に対する要件がそれほど厳しくないことと関連しています。

より正式には、2 つの仮説を持つ単純な仮説検定の場合、検定の検出力は、対立仮説( ) が正しい場合に検定が帰無仮説( )を正しく棄却する確率です。これは通常 と表され、ここで は真の効果または関連性があることを条件としてタイプ II の誤り(偽陰性)を犯す確率です。 ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle 1-\beta }$${\displaystyle \beta}$

統計的検定では、サンプルのデータを使用して、統計的母集団を評価したり、推論を行ったりします。たとえば、2 種類の作物のサンプルの収穫量を測定し、2 サンプル検定を使用して、収穫量の平均値が品種間で異なるかどうかを評価します。

頻度主義仮説検定の枠組みでは、これはデータセットの検定統計量（ t 統計量など）を計算することによって行われます。データセットには、差異がない場合（いわゆる帰無仮説）の既知の理論的確率分布があります。サンプルで計算された実際の値が帰無仮説のもとで発生する可能性が十分に低い場合、統計的に有意な効果が特定されたと言えます。

有意性の閾値を小さく設定することで、存在しない効果を誤って検出する可能性を低くすることができます。ただし、有意な効果を特定できなかったからといって、効果がなかったということではありません。偽陽性を避けるよう注意を怠ると、偽陰性が生じる可能性があります。非常に微妙な違いが存在する場合でも、その違いについて十分に強力な証拠を見つけられると期待するのは、あまりにも過大な場合があります。統計的検出力は、この問題を定量化する試みです。

2 つの作物品種を比較すると、次のような質問に答えることができます。

• まったく異なる 2 つの品種が、まったくの偶然で区別がつかないようなサンプルを生成するという大きな危険性があるのでしょうか?
• その危険を避けるために、この比較にどれだけの努力を注ぐ必要があるでしょうか?
• 違いに気づくには、これらの品種はどの程度異なっている必要があるのでしょうか?

仮説検定を行っているとします。帰無仮説と対立仮説という 2 つの仮説を定義します。検定を、αが有意水準 (対立仮説が実際に真であるときに棄却される確率) となるように設計すると、検定の検出力は 1 - βになります。ここで、βは対立仮説が真であるときに棄却されない確率です。 ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{1}}$

これをより具体的に説明すると、典型的な統計的検定は、の下で特定の確率分布を持つ、サンプルデータから計算された検定統計量 tに基づきます。次に、望ましい有意水準αは、 が正しい場合にtが取る可能性が低い一連の値である、対応する「棄却領域」（特定の「臨界値」で区切られる）を定義します。サンプルt がそれらの値を取る場合にのみを棄却すれば、誤って棄却する確率を望ましい有意水準内に抑えることができます。同時に、 がtの独自の確率分布を定義する場合（2 つの分布の差は効果サイズの関数です）、検定の検出力は、 の下で、サンプルtが定義した棄却領域に入り、 が正しく棄却される確率になります。 ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{0}}$

統計的検出力は、1 からタイプ II の誤りの確率を引いた値であり、真の効果を検出する仮説検定手順の感度でもあります。通常、より厳格な検定 (したがって、より小さな棄却領域) を要求することと、対立仮説の下で帰無仮説を棄却する高い確率を得ようとすることの間にはトレードオフがあります。統計的検出力は、実験または調査に基づいて複数の仮説が検定されている場合にも拡張されることがあります。したがって、研究の検出力に言及することも一般的であり、科学的プロジェクトを、そのプロジェクトが答えようとしている研究上の疑問に答える能力の観点から評価します。

統計的検出力の主な応用は「検出力分析」であり、これは通常、実験を行う前にパイロット スタディや文献レビューのデータを使用して行われる検出力の計算です。検出力分析は、特定のサイズの効果を合理的に検出できる (言い換えれば、許容できるレベルの検出力を生み出す) ために必要な最小サンプルサイズを計算するために使用できます。たとえば、「コインを何回投げれば、特定の金額で不正操作されていると結論付けることができるか?」^[1]リソースとサンプル サイズが固定されている場合、検出力分析を使用して、検出される可能性のある最小効果サイズを計算することもできます。

資金提供機関、倫理委員会、研究審査委員会は、研究者に検出力分析を行うよう頻繁に要求する。検出力の低い研究は結論が出ない可能性が高く、望ましい有意水準で仮説を選択することができない。一方、検出力の高すぎる研究は、たとえ小さく実質的に無意味な場合でも、有意な効果を報告できるようにするために多大な費用がかかる。検出力の低い研究が多数実施され、統計的に有意な結果が公表された場合、公表された結果は真の結果よりも偽陽性である可能性が高くなり、再現性危機につながる。しかし、検出力に対する過度の要求は、リソースの無駄遣いや倫理的問題につながる可能性がある。たとえば、動物実験の被験者を少数で十分なのに、多数の動物実験の被験者を使用することなどである。また、資金提供を求める研究者が期待される効果サイズを誇張したり、簡単に検出できないより微妙な相互作用効果の調査を避けたりするように誘導する可能性がある。^[2]

検出力分析は、主に頻度統計ツールです。ベイズ統計では、古典的な検出力分析で使用されるタイプの仮説検定は行われません。ベイズの枠組みでは、特定の研究で得られたデータを使用して、以前の信念を更新します。原則として、仮説検定の観点から検出力が低いと見なされる研究でも、このような更新プロセスで使用できます。ただし、検出力は、特定の実験サイズで信念をどれだけ洗練させることができるかを示す便利な指標です。検出力の低い研究では、信念に大きな変化が生じる可能性は低いです。

さらに、検出力の概念は、異なる統計的検定手順間の比較、たとえば同じ仮説のパラメトリック検定とノンパラメトリック検定間の比較にも使用されます。検定は同じサイズで、したがって偽陽性率も同じでも、真の効果を検出する能力は異なります。尤度比検定が一般的に使用される主な理由は、その理論的な検出力特性を考慮することです。

Lehr ^{[3] [4]}の（大まかな）経験則によれば、検出力 80%（）で有意水準が である両側2 サンプル t 検定の一般的なケースのサンプル サイズ（各グループ）は次のようになります。 ここで、 は母分散の推定値であり、両方のサンプルの平均値の検出すべき差です。この式は、たとえば、平均値のグループ標準誤差の約 4 倍を超える平均値の差を探すときに 80% の検出力が得られることを意味しているように変形できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \beta =0.2}$ ${\displaystyle \alpha =0.05}$$${\displaystyle n\approx 16{\frac {s^{2}}{d^{2}}},}$$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle d=\mu _{1}-\mu _{2}}$

1サンプルt検定では16を8に置き換える。望ましい検出力や有意水準が異なる場合は、他の値が適切な近似値となる。^[5]

ただし、この推定値を確認して精緻化するには、常に完全な検出力分析を実行する必要があります。

統計的検出力は、さまざまな要因に依存する可能性があります。一部の要因は特定のテスト状況に特有のものですが、通常の使用では、検出力は、実施者が潜在的に制御できる次の 3 つの側面に依存します。

• テスト自体と使用される統計的有意性基準
• 関心の影響の大きさ
• 効果を検出するために使用されたサンプルのサイズと変動性

特定の検定では、有意性基準によって望ましい厳密さの度合いが決まり、効果がないという帰無仮説が実際に正しい場合に、その仮説が棄却される可能性がどの程度低いかが指定されます。最も一般的に使用されるしきい値は棄却確率 0.05 ですが、0.01 や 0.001 などのより小さい値が使用されることもあります。このしきい値は、帰無仮説に反する十分な証拠と見なされるには、観測値が少なくともその程度低い (おそらく、十分に大きい差の推定値を示唆することによって) 必要があることを意味します。偽陽性の可能性を減らすためにしきい値を厳しくするために小さい値を選択すると、検出力も低下し、偽陰性の可能性が高くなります。一部の統計検定は本質的に検出力が向上しますが、多くの場合、より強い仮定が必要になるという代償を伴います。

関心のある効果の大きさは、検定によって何が求められているかを定義します。研究者が到達し検定したいと考えている科学的仮説として、期待される効果サイズが存在する場合は、それがその効果サイズになります。あるいは、より実際的な文脈では、臨床的に有意であるために必要な効果のサイズなど、有用であるために必要な効果サイズによって決定されます。効果サイズは、関心のある量の直接的な値（たとえば、特定のサイズの平均の差）である場合もあれば、母集団の変動も考慮した標準化された尺度（標準偏差の倍数として表される平均の差など）である場合もあります。研究者がより大きな効果を求めている場合は、特定の実験または分析設定でその効果を見つけやすく、そのため検出力が高くなります。

サンプルの性質は、検定に用いられる情報の根底にあります。これには通常、サンプルサイズと、効果サイズの定義に暗黙的に含まれていない場合はサンプルの変動性が関係します。より広い意味では、データを測定する精度も重要な要素となり得ます（統計的信頼性など）。また、実験や観察研究の設計も重要な要素となります。最終的に、これらの要素は、予想される標本誤差の量につながります。標本誤差は、変動性の少ない母集団からより大きなサンプルサイズを得ること、より正確な測定を行うこと、またはより効率的な実験設計（たとえば、ブロッキングを適切に使用すること）を行うことでより小さくすることができ、そのような誤差が小さいほど、通常はリソースのコストがかかりますが、検出力が向上します。サンプルサイズの増加がどの程度検出力の向上につながるかは、検定の効率性の尺度です。たとえば、特定の検出力に必要なサンプルサイズです。^[6]

仮説検定の統計的検出力は、その結果の解釈に影響を与えます。より検出力の高い研究で結果が見つからないことは、検出力の低い研究で同じ結果が見つかるよりも、効果が存在することを否定する強力な証拠です。ただし、これは完全に決定的というわけではありません。効果は存在するかもしれませんが、期待したものよりも小さい可能性があります。つまり、研究は実際には検出力が低く、サンプルではそれを偶然と区別できないということです。^[7]たとえば、多くの臨床試験では、治療の副作用の違いを検出するための統計的検出力が低くなっています。これは、この違いが重要である場合でも、そのような影響は少数の患者にしか影響しない可能性があるためです。^[8]効果が実際に存在する確率に関する結論も、単一のテストよりも多くのことを考慮する必要があり、特に実際の検出力が 1 に近くなることはめったにないためです。

実際、検出力の正式な基準はないものの、多くの研究者や資金提供団体は、0.80 (または 80%) を妥当性の基準として検出力を評価しています。この慣例により、βリスクとαリスクの間に 4 対 1 のトレードオフが存在します。タイプ II のエラーの確率βは 1 - 0.8 = 0.2 に設定され、タイプ I のエラーの確率 α は通常 0.05 に設定されます。一部のアプリケーションでは、はるかに高いレベルの検出力が必要です。医療検査は、有意性のしきい値を緩めて偽陰性 (タイプ II エラー) の数を最小限に抑えるように設計されることがあります。これにより、偽陽性 (タイプ I エラー) のリスクが高まります。その根拠は、健康な患者に「何かが見つかったかもしれないので、さらに検査しましょう」と伝える方が、病気の患者に「すべて順調です」と伝えるよりも良いということです。^[9]

検出力分析は、帰無仮説を正しく棄却することに焦点を当てています。ただし、別の懸念が実験の動機となり、サンプル サイズの必要性が変わる可能性があります。多くの状況では、問題は仮説の決定ではなく、十分な精度で母集団効果サイズの推定値を取得することです。たとえば、注意深い検出力分析により、相関が 0.5 である正規分布のサンプル 55 組があれば、相関が 0.2 以下 (片側検定、α  = 0.05 を使用) の帰無仮説を棄却する検出力を 80% にするのに十分であることがわかります。ただし、このサンプルの一般的な 95%信頼区間は[0.27, 0.67] 程度になります。相関を +/- 0.1 の精度で測定できるようにしたい場合は、関連はあるものの別の分析が必要になります。これは、異なる (この場合は、より大きな) サンプル サイズを意味します。あるいは、検出力の低い複数の研究でも、メタ分析で適切に組み合わせれば、依然として有用です。

多くの統計分析では、複数の未知量の推定が行われます。単純なケースでは、これらの量のうち 1 つを除いてすべてが、迷惑パラメータです。この設定では、正式な統計的推論を受ける単一の量にのみ関連する検出力があります。設定によっては、特に目標がより「探索的」である場合、分析で関心のある量が複数ある場合があります。たとえば、重回帰分析では、関心のある可能性のある共変量をいくつか含めることがあります。このような複数の仮説が検討されている状況では、異なる仮説に関連付けられた検出力が異なるのが一般的です。たとえば、重回帰分析では、特定のサイズの効果を検出する検出力は、共変量の分散に関係します。共変量が異なれば分散も異なるため、検出力も異なります。

これらの複数の仮説を一緒に考えると、さらに複雑な問題が生じます。たとえば、これらの仮説のいずれかで誤った帰無仮説を棄却することを偽陽性と見なす場合、適切な対策を講じなければ、この「ファミリーワイズエラー」の可能性が膨らんでしまいます。このような対策には通常、仮説を棄却するための厳密性のしきい値を高く設定すること ( Bonferroni 法など) が伴うため、検出力が低下します。あるいは、異なる仮説の検討方法に関連する検出力の概念が異なる場合もあります。「完全な検出力」では、すべての仮説ですべての真の効果が検出されることが求められます。これは、少なくとも 1 つの真の効果を見つけられるという「最小の検出力」よりもはるかに強い要件であり、仮説の数が増えると検出力が高まる可能性があります。^[10]

検出力分析は、データが収集される前 (事前または予測的検出力分析) または収集された後 (事後または遡及的検出力分析) に実行できます。事前検出力分析は研究調査の前に実施され、通常は適切な検出力を達成するために十分なサンプル サイズを推定するために使用されます。 「観察された検出力」の事後分析は、調査が完了した後に実施され、サンプルの効果サイズが母集団の効果サイズに等しいと仮定して、得られたサンプル サイズと効果サイズを使用して、調査での検出力を決定します。実験設計における事前検出力分析の有用性は広く受け入れられていますが、事後検出力分析には根本的な欠陥があります。^{[11] [12]収集されたデータの統計分析を使用して検出力を推定するという誘惑に負けると、情報に乏しく誤解を招く値になります。特に、}事後「観察された検出力」は、達成されたp値と 1 対 1 の関数であることが示されています。^[11]これは、すべての事後検定力分析がいわゆる「検定力アプローチのパラドックス」（PAP）に悩まされていることを示すために拡張されました。これは、 p値が小さいほど、実際の効果を検出する見かけの検定力が高くなるため、帰無結果の研究では帰無仮説が実際に正しいという証拠がより多く示されていると考えられるというものです。 ^[11]実際、p値が小さいほど、帰無仮説が真である可能性が相対的に低くなると正しく理解されています。^[要出典]

以下は、ランダム化実験の検出力を計算する方法を示した例です。実験の目標が、何らかの量に対する処理の効果を研究することであると仮定し、処理の前後の量を測定して研究対象を比較し、有意水準閾値 0.05 で片側対応のある t 検定を使用してデータを分析します。 サイズの正の変化を検出できることに関心があります。 ${\displaystyle \theta >0}$

まず、テストに従って問題を設定します。およびは、それぞれ、被験者 に対する治療前と治療後の測定値を表します。治療の可能性のある効果は、平均値と分散 が不明で、独立かつ完全に正規分布していると仮定した差に現れるはずです。 ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle D_{i}=B_{i}-A_{i},}$${\displaystyle \mu_{D}}$${\displaystyle \sigma _{D}^{2}}$

ここで、帰無仮説として期待される平均差がゼロである、すなわち、片側検定の場合、対立仮説は正の効果があるというものとなり、この場合の検定統計量は次のように定義されます。 ${\displaystyle H_{0}:\mu _{D}=\mu _{0}=0.}$${\displaystyle H_{1}:\mu _{D}=\theta >0.}$

$${\displaystyle T_{n}={\frac {{\bar {D}}_{n}-\mu _{0}}{{\hat {\sigma }}_{D}/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\bar {D}}_{n}-0}{{\hat {\sigma }}_{D}/{\sqrt {n}}}},}$$

ここで、は帰無仮説の下での平均なので0を代入します。nはサンプルサイズ（被験者数）、は差の サンプル平均です。${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle {\bar {D}}_{n}}$

$${\displaystyle {\bar {D}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}D_{i},}$$

差の サンプル標準偏差です。${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{D}}$

統計理論の知識に従って進めることができますが、実際にはこのような標準的なケースでは、より正確な答えを計算するソフトウェアが存在します。

t検定理論のおかげで、帰無仮説の下でのこの検定統計量は自由度のスチューデントt分布に従うことが分かっています。有意水準 で帰無仮説を棄却したい場合、帰無仮説の下での の確率が に等しくなるような臨界値を見つけなければなりません。nが大きい場合、t分布は標準正規分布に収束します（したがって、 n は含まれなくなります）。そのため、対応する分位関数を使用することで、次の場合に帰無仮説を棄却すべきであることがわかります。 ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \alpha =0.05\,}$ ${\displaystyle t_{\alpha }}$${\displaystyle T_{n}>t_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$

$${\displaystyle T_{n}>t_{\alpha }\approx \Phi ^{-1}(0.95)\approx 1.64\,.}$$

ここで対立仮説が真であると仮定します。次に、検出力を効果サイズの関数として書き、より上または より下である確率を求めます。 ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle \mu _{D}=\theta }$${\displaystyle B(\theta )}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle t_{\alpha }}$${\displaystyle H_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}B(\theta )&\approx \Pr \left(T_{n}>1.64~{\big |}~\mu _{D}=\theta \right)\\&=\Pr \left({\frac {{\bar {D}}_{n}-0}{{\hat {\sigma }}_{D}/{\sqrt {n}}}}>1.64~{\Big |}~\mu _{D}=\theta \right)\\&=1-\Pr \left({\frac {{\bar {D}}_{n}-0}{{\hat {\sigma }}_{D}/{\sqrt {n}}}}<1.64~{\Big |}~\mu _{D}=\theta \right)\\&=1-\Pr \left({\frac {{\bar {D}}_{n}-\theta }{{\hat {\sigma }}_{D}/{\sqrt {n}}}}<1.64-{\frac {\theta }{{\hat {\sigma }}_{D}/{\sqrt {n}}}}~{\Big |}~\mu _{D}=\theta \right)\\\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\frac {{\bar {D}}_{n}-\theta }{{\hat {\sigma }}_{D}/{\sqrt {n}}}}}$は再び の下ではスチューデントt分布に従い、大きなnに対しては標準正規分布に収束する。推定値もその母集団値に収束する。したがって、検出力は次のように近似できる。 ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{D}}$${\displaystyle \sigma _{D}}$

$${\displaystyle B(\theta )\approx 1-\Phi \left(1.64-{\frac {\theta }{\sigma _{D}/{\sqrt {n}}}}\right).}$$

この式によると、検出力は効果サイズとサンプルサイズnの値とともに増加し、変動性の増加とともに減少します。効果サイズがゼロの自明なケースでは、検出力は最小値 (下限値) にあり、この例では検定の有意水準0.05 に等しくなります。有限のサンプルサイズとゼロ以外の変動性の場合、典型的なケースと同様に、自明なケースを除いて検出力を 1 にすることはできません。自明なケースでは、帰無仮説は常に棄却されます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sigma _{D}}$${\displaystyle \alpha \,,}$${\displaystyle \alpha =1}$

逆算することで必要なサンプルサイズを取得できます。 ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle {\sqrt {n}}>{\frac {\sigma _{D}}{\theta }}\left(1.64-\Phi ^{-1}\left(1-B(\theta )\right)\right).}$$

と仮定すると、 が約2であると信じており、 の累乗にはサンプルサイズが 必要である。${\displaystyle \theta =1}$${\displaystyle \sigma _{D}}$${\displaystyle B(\theta )=0.8}$

$${\displaystyle n>4\left(1.64-\Phi ^{-1}\left(1-0.8\right)\right)^{2}\approx 4\left(1.64+0.84\right)^{2}\approx 24.6.}$$

あるいは、より一般的に機能するモンテカルロシミュレーション法を使用することもできます。 ^[13]ここでも、分布の仮定との定義に戻ります。サンプルサイズ、変動性、効果サイズの値が固定されており、検出力を計算したいとします。このプロセスを採用できます。 ${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle T_{n}}$

1.帰無仮説に従って多数のセットを生成する。${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle N(0,\sigma _{D})}$

2. 各セットの結果の検定統計量を計算します。 ${\displaystyle T_{n}}$

3.シミュレートされた の 番目の分位数を計算し、それを の推定値として使用します。 ${\displaystyle (1-\alpha )}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle t_{\alpha }}$

4. 次に、対立仮説に従ってのセットを大量に生成し、対応する検定統計量を再度計算します。 ${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle N(\theta ,\sigma _{D})}$

5. ステップ 3 で計算された値を超えているために拒否された、シミュレートされた代替案の割合を確認します。これが検出力です。 ${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle t_{\alpha }}$

これは、さまざまなソフトウェア パッケージで実行できます。この方法を前述の値で使用すると、サンプル サイズを 25 に設定すると、推定検出力は約 0.78 になります。前のセクションとのわずかな相違は、主に正規近似の不正確さによるものです。

頻度主義の設定では、パラメータは特定の値を持つと想定されますが、これは真実ではない可能性があります。この問題は、パラメータに分布があると想定することで対処できます。結果として得られる検出力は、臨床試験の設計でよく使用されるベイズ検出力と呼ばれることもあります。

頻度主義的検出力とベイジアン検出力はどちらも、統計的有意性を成功基準として使用します。ただし、統計的有意性だけでは成功を定義するのに十分ではないことがよくあります。この問題に対処するために、検出力の概念を成功の予測確率(PPOS) の概念に拡張することができます。PPOS の成功基準は統計的有意性に限定されず、臨床試験の設計でよく使用されます。

検出力とサンプルサイズの計算には、無料またはオープンソースのプログラムが数多くあります。これには以下が含まれます。

• G*パワー(https://www.gpower.hhu.de/)
• WebPower 無料のオンライン統計検出力分析 (https://webpower.psychstat.org)
• 無料のオープンソースオンライン計算機 (https://powerandsamplesize.com)
• PowerUp! は、さまざまな実験および準実験設計の最小検出効果サイズと最小必要サンプル サイズを決定するための便利な Excel ベースの関数を提供します。
• PowerUpR は PowerUp! の R パッケージ バージョンであり、予算制約の有無にかかわらず、さまざまなマルチレベル ランダム化実験のサンプル サイズを決定する関数も追加されています。
• R パッケージ pwr
• R パッケージ WebPower
• Python パッケージ statsmodels (https://www.statsmodels.org/)

• 陽性予測値と陰性予測値 – 発見が真実である可能性が高いかどうかの統計的尺度
• 効果サイズ – 現象の大きさの統計的尺度
• 効率性 – 統計的手法の品質指標
• ネイマン・ピアソンの補題 – 尤度比検定の検出力に関する定理
• サンプルサイズ – どのくらいの数の観察を行うかに関する統計的考慮Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 一様に最も強力な検定 – 理論的に最適な仮説検定

• コーエン、J. (1988)。行動科学のための統計的検出力分析（第2版）。ローレンス・エルバウム・アソシエイツ。ISBN 0-8058-0283-5。
• アバーソン、CL（2010）。行動科学のための応用パワー分析。Routledge。ISBN 978-1-84872-835-6。

• StatQuest: YouTubeでの P 値の落とし穴と検出力の計算