低飽和度

スケールフリーネットワークでは、次数分布はべき乗則関数に従います。いくつかの経験的例では、このべき乗則は高次数領域でのみ次数分布によく適合し、一部の低次数ノードでは経験的次数分布がそれから逸脱します。たとえば、科学引用のネットワークを参照してください。^{[ 1 ]}低次数領域での観測された次数分布の理論的予測からのこの逸脱は、しばしば低次数飽和と呼ばれます。^{[ 2 ]}経験的次数分布は通常、高次数ノードに適合したべき乗則関数から下方に逸脱します。これは、低次数ノードが実際のデータではBarabási–Albert モデルによって予測されるよりも少ないことを意味します。^{[ 3 ]}

BAモデルの重要な仮定の一つは、優先的アタッチメントです。これは、新規参入ノードから新しいリンクを獲得する確率は、各ノードの次数に比例することを示しています。言い換えれば、すべての新規参入ノードは、次数の高いノードに接続することを好みます。正式には次のようになります。

$$\displaystyle \Pi {\left(k_{i}\right)}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}}}$$

どこ$\displaystyle \Pi {\left(k_{i}\right)}}$次数を持つノードがリンクを獲得する確率${\displaystyle k}$。

このルールを少し修正すると、初期魅力度と呼ばれる項を追加することで、低度飽和を簡単に予測できます（${\displaystyle A}$これは、2000 年に Dorogovtsev、Mendes、Samukhin によって初めて導入されました。^{[ 4 ] [ 5 ]}

$${\displaystyle \Pi \left(k_{i}\right)={\frac {A+k_{i}}{A+\sum \limits _{j}k_{j}}}}$$

この修正されたアタッチメントルールでは、次数が低いノード（次数が低い）${\displaystyle k}$）は、元の設定と比較して新しいリンクを獲得する確率が高い。したがって、より魅力的である。そのため、このハンディキャップにより、実際のデータで観察されるような次数ノードが小さくなる可能性が低くなる。より厳密に言えば、これは次数分布を次のように変更する。

$${\displaystyle p_{k}=C\left(k+A\right)^{-\gamma }}$$

副作用として、元のBAモデルと比較して指数も増加する。

これは初期魅力と呼ばれています。なぜなら、BAフレームワークでは、すべてのノードの次数は時間とともに増加するからです。そして${\displaystyle k}$この固定加算項の重要性は大きい${\displaystyle (A)}$減少する。

スケールフリーネットワークのすべての特徴は、次数が非常に高いノード（しばしば「ハブ」と呼ばれる）の存在に起因します。これらのノードの存在は、次数のべき乗則分布によって予測されます。次数飽和が低いことは、次数分布の低端を特徴づけるため、この理論的な次数分布からの逸脱であり、ハブの存在を否定するものではありません。したがって、次数飽和が低いスケールフリーネットワークは、スモールワールド特性、堅牢性、低い攻撃耐性、拡散挙動など、以下のすべての特性を生み出す可能性があります。

初期の魅力度で拡張されたBAモデルを用いてモデル化する場合、このソリューションは元のBAモデルと比較して次数分布の指数にプラスの影響を与えるため、ハブのサイズを縮小します。

• 初期の魅力