ゆっくり変化する機能

数学の一分野である実解析において、緩やかに変化する関数とは、無限大における挙動が、ある意味では無限大で収束する関数の挙動に類似している実変数の関数である。同様に、規則的に変化する関数とは、無限大における挙動が、無限大付近のべき乗関数（多項式など）の挙動に類似している実変数の関数である。これらの関数のクラスは、どちらもJovan Karamata ^{[1] [2]}によって導入され、確率論など、いくつかの重要な応用が見出されている。

定義1 .測定可能な関数 L  :(0,+∞)→(0,+∞)は、すべてのa >0に対して、

${\displaystyle \lim _{x\to \infty}{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1.}$

定義2 。L  : (0, +∞) → (0, +∞)とします。このとき、L が規則変化関数となるのは、次の場合のみです。特に、極限は有限でなければなりません。 ${\displaystyle \forall a>0,g_{L}(a)=\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}\in \mathbb {R} ^{+}}$

これらの定義はJovan Karamataによるものです。^{[1] [2]}

規則的に変化する関数にはいくつかの重要な性質があります: ^[1]以下にその一部を示します。規則的な変化を特徴付ける性質のより詳細な分析は、Bingham、Goldie、Teugels (1987) のモノグラフに記載されています。

定理 1 .定義 1および2の極限は、a がコンパクトな区間に制限されている場合に一様になります。

定理2 . 任意の規則的に変化する関数f  :(0,+∞)→(0,+∞)は次の形式をとる。

${\displaystyle f(x)=x^{\beta }L(x)}$

どこ

• βは実数であり、
• L はゆっくり変化する関数です。

注意。これは、定義2の関数g ( a )が必然的に次の形式になること を意味する。

${\displaystyle g(a)=a^{\rho}}$

ここで実数ρは正規分布の指数と呼ばれます。

定理3 . 関数Lが緩やかに変化するためには、 B > 0が存在し、すべてのx ≥ Bに対して関数が次の形式で表せる必要がある。

${\displaystyle L(x)=\exp \left(\eta (x)+\int _{B}^{x}{\frac {\varepsilon (t)}{t}}\,dt\right)}$

どこ

• η ( x )は、 x が無限大に近づくにつれて有限数に収束する実変数の有界 測定関数である
• ε ( x ) は、 x が無限大に近づくにつれてゼロに収束する実変数の有界測定関数です

• Lが測定可能な関数であり、極限を持つ場合

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }L(x)=b\in (0,\infty ),}$

L はゆっくり変化する関数です。

• 任意のβ∈Rに対して、関数L ( x  ) = logβx^はゆっくり変化します。
• 関数L ( x ) =  xは緩やかに変化しません。また、任意の実数β  ≠ 0に対してL ( x ) =  x ^βでもありません。ただし、これらの関数は規則的に変化します。

• 解析的数論
• ハーディ・リトルウッドのタウバー定理とカラマタによるその扱い

• ビンガム、NH (2001) [1994]、「カラマタ理論」、数学百科事典、EMSプレス
• ビンガム、NH; ゴールディ、CM; テューゲルス、JL (1987)、Regular Variation、Encyclopedia of Mathematics and its Applications、第27巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-30787-2、MR  0898871、Zbl  0617.26001
• ガランボス、J.;セネタ、E. (1973)、「規則的に変化するシーケンス」、アメリカ数学会紀要、41 (1): 110–116、doi : 10.2307/2038824、ISSN  0002-9939、JSTOR  2038824。