べき乗法則流体

連続体力学において、べき乗法則流体、またはオストワルド・ド・ワールの関係は、せん断応力τが次のように与えられる 一般化ニュートン流体（時間に依存しない非ニュートン流体）の一種である。

${\displaystyle \tau =K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n}}$

どこ：

• Kは流動粘稠度指数（SI単位Pa·s ⁿ ）である。
• ⁠∂uは/∂yの⁠ はせん断速度またはせん断面に垂直な速度 勾配（SI単位s ⁻¹ ）であり、
• nは流れ挙動指数（無次元）です。

数量

${\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }=K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n-1}}$

は、見かけ粘度または有効粘度をせん断速度 (SI 単位 Pa s) の関数として表します。Kおよびnの値は、およびのグラフから取得できます。傾斜線はn – 1の値を示し、これからn を計算できます。での切片はの値を示します。 ${\textstyle \log(\mu _{\mathrm {eff} })}$${\textstyle \log \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)}$${\textstyle \log \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=0}$${\textstyle \log(K)}$

ヴィルヘルム・オストワルドとアルマン・ド・ワールにちなんでオストワルド・ド・ワールのべき乗法則とも呼ばれる。^{[1] [2]}この数学的関係はその単純さゆえに有用であるが、実際の非ニュートン流体の挙動を近似的にしか説明しない。例えば、nが1未満の場合、べき乗法則によれば、せん断速度が増加するにつれて有効粘度は無限に減少すると予測され、静止時には無限大の粘度を持ち、せん断速度が無限大に近づくと粘度がゼロになる流体が必要となるが、実際の流体には分子レベルの物理化学に依存する最小有効粘度と最大有効粘度がある。したがって、べき乗法則は、係数が適合されたせん断速度の範囲全体にわたって流体の挙動を適切に説明するに過ぎない。せん断依存流体の全体的な流動挙動をより適切に説明するモデルは他にも多数存在するが、それらは単純さを犠牲にして行うため、べき乗法則は依然として流体の挙動を説明し、数学的予測を可能にし、実験データを相関させるために使用されている。

べき乗法則流体は、流動挙動指数の値に基づいて、次の 3 つの異なるタイプの流体に分類できます。

擬塑性流体、またはずり流動化流体 は、挙動が時間に依存せず、高ずり速度で見かけの粘度が低くなる流体であり、通常は、より小さな分子を含む溶媒中の大きなポリマー分子の溶液です。一般的に、大きな分子鎖はランダムに回転し、低ずり速度では大量の流体に影響を及ぼしますが、次第にずり速度が増加する方向に整列し、抵抗が小さくなると考えられています。

強力なせん断減粘性流体の一般的な家庭例としては、スタイリングジェルがあります。スタイリングジェルは主に水と、酢酸ビニル/ビニルピロリドン共重合体 (PVP/PA) などの固定剤で構成されています。片手にヘアジェルのサンプルを持ち、もう片方の手にコーンシロップまたはグリセリンのサンプルを持つと、ヘアジェルは指から流れ落ちるのが非常に難しいことがわかります (低せん断塗布)。しかし、指の間でこすったときの抵抗ははるかに小さくなります (高せん断塗布)。^[3]

このタイプの挙動は、溶液や懸濁液で広く見られます。これらの場合、大きな分子または微粒子は、任意のせん断速度で安定かつ再現可能な、緩く結合した凝集体または配列グループを形成します。しかし、これらの流体は、せん断速度の増加または減少に伴って、急速かつ可逆的に分解または再形成します。擬似塑性流体は、広範囲のせん断速度でこの挙動を示しますが、せん断速度が非常に低い場合と非常に高い場合には、ニュートン挙動の限界に近づくことがよくあります。これらのニュートン領域は、それぞれ 粘度とによって特徴付けられます。${\displaystyle \mu_{0}}$${\displaystyle \mu _{\infty }}$

ニュートン流体は、せん断応力がせん断速度に正比例する、挙動指数が 1 のべき乗法則流体です。

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}}$

これらの流体は、すべてのせん断速度にわたって一定の粘度μを持ち、水、ほとんどの水溶液、油、コーンシロップ、グリセリン、空気、その他のガスなど、最も一般的な流体の多くが含まれます。

これは比較的低いせん断速度では当てはまりますが、実際には、せん断速度が高い場合、ほとんどのオイルは非ニュートン流体として動作し、薄くなります。典型的な例としては、自動車のエンジン シェル ベアリングのオイル膜や、程度は低いもののギア歯の接触部におけるオイル膜が挙げられます。

ダイラタント流体、またはずり粘稠流体は、せん断速度が速いほど見かけの粘度が増加します。

これらは自動車のビスカス カップリングでよく使用されています。カップリングの両端が同じ回転速度で回転している場合、ダイラタント流体の粘度は最小限ですが、カップリングの両端の速度が異なると、カップリング流体の粘性が非常に高くなります。これらは、車輪のトラクションが低下した場合 (たとえば、片方の車輪が氷上にある場合)、トルクのすべてが 1 つの車輪に伝わらないようにするために使用されます。2 つの駆動輪間のビスカス カップリングにより、両方の車輪が同じ速度で回転し、滑っていない車輪にトルクが供給されます。ビスカス カップリングは、4 輪駆動の乗用車で前車軸と後車軸を同じ速度で回転させるためにも使用されます。

ダイラタント流体は、日常生活ではあまり見られません。よくある例としては、コーンスターチと水を混ぜた未調理のペースト（ウーブレックとも呼ばれる）があります。高せん断速度では、水がデンプン分子の間から絞り出され、デンプン 分子がより強く相互作用できるようになり、粘度が大幅に増加します。

厳密にはダイラタント流体ではありませんが、シリー パティー(粘弾性流体) は、これらの粘性特性を共有する材料の例です。

円形パイプ内のニュートン流体が2次速度プロファイルを与えるのと同様に（ハーゲン・ポアズイユの式を参照）、べき乗法則流体はべき乗法則の速度プロファイルを与える。

${\displaystyle u(r)={\frac {n}{n+1}}\left({\frac {dp}{dz}}{\frac {1}{2K}}\right)^{\frac {1}{n}}\left(R^{\frac {n+1}{n}}-r^{\frac {n+1}{n}}\right)}$

ここでu ( r )は（半径方向の）局所軸方向速度であり、⁠dp/dz⁠はパイプに沿った圧力勾配、 R はパイプの半径です。

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