比例性（数学）

数学では、2 つの数列(多くの場合、実験データ) は、対応する要素が一定の比率を持つ場合、比例または正比例します。この比率は比例係数(または比例定数) と呼ばれ、その逆数は正規化定数(または正規化定数)として知られています。2 つの数列は、対応する要素が定数積 (比例係数とも呼ばれます) を持つ場合、 反比例します。

この定義は、関連する可変量にまで拡張されることが多く、これらはしばしば変数と呼ばれます。変数のこの意味は、数学における用語の一般的な意味ではありません (変数 (数学)を参照)。歴史的な理由により、これら 2 つの異なる概念は同じ名前を共有しています。

2 つの関数 と は、その比が定数関数である場合に比例します。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$

複数の変数のペアが同じ比例定数を共有する場合、これらの比の等式は比例と呼ばれます。例:1つの/b⁠ = ⁠x/ええ⁠ = ⋯ = k (詳細については比率を参照してください)。比例性は直線性と密接に関係しています。

独立変数 xと従属変数yが与えられたとき、次の 正の定数kが存在する場合、y はxに正比例します。 ^[1]

${\displaystyle y=kx}$

この関係は、多くの場合、記号「∝」（ギリシャ文字のアルファと混同しないでください）または「~」を使用して表されます。ただし、日本語のテキストでは、「~」は間隔を表すために予約されています。

${\displaystyle y\propto x}$（または）${\displaystyle y\sim x}$

比例定数は比率として表すことができます。 ${\displaystyle x\neq 0}$

${\displaystyle k={\frac {y}{x}}}$

これは変化定数または比例定数とも呼ばれる。このような定数kが与えられた場合、 2つの集合AとBの間の比例定数kを持つ比例関係∝は、次のように定義される同値関係である。${\displaystyle \{(a,b)\in A\times B:a=kb\}.}$

正比例は、y切片が0で傾きがk > 0である 2 つの変数の線形方程式として見ることもできます。これは線形成長に対応します。

• 物体が一定の速度で移動する場合、移動距離は移動に費やされた時間に正比例し、速度が比例定数となります。
• 円の円周は直径に正比例し、比例定数はπに等しくなります。
• 十分に小さな地理的領域の地図を距離の縮尺に従って描くと、地図上の任意の 2 点間の距離は、それらの点によって表される 2 つの位置間の直線距離に正比例します。比例定数は地図の縮尺です。
• 重力により、近くにある大きな拡張質量から小さな質量を持つ小さな物体に作用する力は、物体の質量に正比例します。力と質量の間の比例定数は重力加速度として知られています。
• 物体に作用する正味の力は、慣性系に対するその物体の加速度に比例します。この比例定数、つまりニュートンの第二法則は、物体の古典的な質量です。

2つの変数が反比例するとは、それぞれの変数が他方の変数の逆数（逆数）に正比例する場合、またはそれらの積が定数である場合です。^{[3] 0}でない定数kが存在し、その場合 、変数yは変数xに反比例します。

${\displaystyle y={\frac {k}{x}}}$

または同等に、。したがって、定数「k 」はxとyの積です。 ${\displaystyle xy=k}$

デカルト座標平面上で反比例する 2 つの変数のグラフは、直角双曲線です。曲線上の各点のx値とy値の積は、比例定数 ( k ) に等しくなります。 xもyもゼロにはならないため( kはゼロではないため)、グラフはどちらの軸とも交差しません。

正比例と反比例は次のように対照的です。正比例では、変数は一緒に増加または減少します。反比例では、一方の変数が増加すると、もう一方の変数が減少します。たとえば、旅行では、速度が一定であれば、距離と移動時間は正比例します。対照的に、距離が一定であれば、移動時間は速度に反比例します: s × t = d。

正比例と反比例の概念は、双曲座標によってデカルト平面上の点の位置を決定します。2 つの座標は、点が特定の放射線上にあることを指定する正比例の定数と、点が特定の双曲線上にあることを指定する反比例の定数に対応します。

比例を表すUnicode文字は次のとおりです。

• U+221D ∝ 比例する( ∝, ∝, ∝, ∝, ∝ )
• U+007E ~ チルダ
• U+2237 ∷ 割合
• U+223C ∼ チルダ演算子( ∼, ∼, ∼, ∼ )
• U+223A ∺ 幾何比率( ∺ )

• 線形マップ
• 相関
• クニドスのエウドクソス
• 黄金比
• 逆二乗則
• プロポーショナルフォント
• 比率
• 3つのルール（数学）
• サンプルサイズ
• 類似性
• トライラシカ
• 基本的な比例定理

成長

• 直線的成長
• 双曲線成長

• Ya. B. Zeldovich、 IM Yaglom：「初心者のための高等数学」、p. 34〜35。
• ブライアン・バレル：『メリアム・ウェブスターの日常数学ガイド：家庭とビジネスの参考書』メリアム・ウェブスター、1998年、ISBN 9780877796213、p. 85–101。 
• Lanius, Cynthia S.; Williams Susan E.: 比例性: 中等教育の統一テーマ。中学校における数学教育 8.8 (2003)、p. 392–396。
• シーリー、キャシー、シーラック・ジェーン・F.：「比率、割合、比例性の発達について」中学校における数学教育、13.3、2007年、140～142ページ。
• Van Dooren, Wim; De Bock Dirk; Evers Marleen; Verschaffel Lieven: 欠損値問題における学生の比例性の過剰使用: 数字によって解答がどのように変化するか。数学教育研究ジャーナル、40.2、2009年、p. 187–211。