臨界指数

臨界指数は、連続相転移付近の物理量の挙動を表します。証明されてはいませんが、臨界指数は普遍的であると考えられています。つまり、臨界指数は物理システムの詳細には依存せず、その一般的な特徴の一部にのみ依存します。たとえば、熱平衡状態の強磁性システムの場合、臨界指数は次のものにのみ依存します。

• システムの次元
• 相互作用の範囲
• スピン次元​

臨界指数のこれらの特性は、実験データによって裏付けられています。解析結果は、高次元の平均場理論、または2次元イジングモデルなどの正確な解がわかっている場合に理論的に達成できます。一般的な次元での理論的処理には、繰り込み群アプローチ、または熱平衡にあるシステムの場合は共形ブートストラップ手法が必要です。相転移と臨界指数は、臨界点の水、磁気システム、超伝導、パーコレーション、乱流流体など、多くの物理システムで現れます。平均場指数が有効になる臨界次元はシステムによって異なり、無限大になることもあります。

相転移を駆動する制御パラメータは温度であることが多いが、圧力や外部磁場などの他のマクロ変数であることもある。簡単にするために、以下の説明は温度の観点から行う。他の制御パラメータへの変換は簡単である。転移が起こる温度は臨界温度 T _cと呼ばれる。我々は、臨界温度付近のべき乗則の観点から物理量fの挙動を記述したい。そこで、換算温度を導入する。

${\displaystyle \tau :={\frac {T-T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {c} }}}}$

これは相転移でゼロとなり、臨界指数を次のように定義します。 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log |f(\tau )|}{\log |\tau |}}}$

これにより、私たちが求めていたべき乗則が得られます。

${\displaystyle f(\tau )\propto \tau ^{k}\,,\quad \tau \to 0}$

これは関数f ( τ )のτ → 0としての漸近的な挙動を表していることを覚えておくことが重要です。

もっと一般的には

${\displaystyle f(\tau )=A\tau ^{k}\left(1+b\tau ^{k_{1}}+\cdots \right)}$

熱平衡状態にある系には、 T _c以上で消失する秩序パラメータ Ψによって特徴付けられる 2 つの異なる相があると仮定します。

無秩序相( τ > 0 )、秩序相( τ < 0 )、臨界温度( τ = 0 ) の各相を別々に考えます。標準的な慣例に従い、秩序相に関連する臨界指数にはプライムを付けます。また、無秩序 (秩序) 状態には上付き/下付き文字 + (-) を使用するのも標準的な慣例です。一般に、自発的な対称性の破れは秩序相で発生します。

以下のエントリはJ = 0で評価されます（ δエントリを除く）

臨界指数は、ソースと温度の関数として特定の自由エネルギーf ( J , T )から導くことができます。相関長は、関数 F [ J ; T ]から導くことができます。多くの場合、秩序相と無秩序相で定義される臨界指数は同一です。

上側臨界次元が4のとき、これらの関係は2次元および3次元システムの臨界点近くでは正確である。しかし、4次元では、べき乗法則は対数係数によって修正される。これらは、4に任意に近いが正確に4ではない次元では現れないため、この問題を回避する方法として使用できる。^[1]

古典的なランダウ理論（平均場理論としても知られる）におけるスカラー場（イジング模型がその典型的な例）の臨界指数の値は次のように与えられる。

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{\prime }=0\,,\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1\,,\quad \delta =3}$

これを平均場ギンツブルグ・ランダウ理論に変換する微分項を加えると、次のようになる。

${\displaystyle \eta =0\,,\quad \nu ={\tfrac {1}{2}}}$

臨界現象の研究における大きな発見の 1 つは、臨界点の平均場理論は、システムの空間次元が、ほとんどの場合、物理次元 1、2、または 3 を除外する上部臨界次元と呼ばれる特定の次元よりも高い場合にのみ正しいということです。平均場理論の問題は、臨界指数が空間次元に依存しないことです。これにより、臨界次元未満では定量的な矛盾が生じ、真の臨界指数が平均場値と異なります。低い空間次元では定性的な矛盾が生じることさえあり、平均場理論では依然として臨界点があると予測されていても、実際には臨界点は存在し得ません。これは、相転移がない次元 1 の Ising モデルの場合です。平均場理論が定性的に不正確になる空間次元は、下部臨界次元と呼ばれます。

超流動ヘリウムの相転移（いわゆるラムダ転移）におけるαの最も正確な測定値は−0.0127(3)である。この値はサンプル内の圧力差を最小限に抑えるためにスペースシャトルで測定された。^[2]この値は、高温膨張技術、モンテカルロ法、コンフォーマルブートストラップから得られた最も正確な理論的決定^{[3] [4] [5]}とは大きく矛盾している。^[6]

臨界指数は、格子モデルのモンテカルロ法によって評価できます。この第一原理法の精度は、利用可能な計算リソースに依存します。計算リソースによって、無限体積の限界まで到達する能力と統計誤差を削減する能力が決まります。他の手法は、臨界変動の理論的理解に依存します。最も広く適用可能な手法は、繰り込み群です。コンフォーマル ブートストラップは、より最近開発された手法で、イジング臨界指数に対して卓越した精度を実現しています。

臨界スケーリングを考慮すると、すべての熱力学的量を無次元量で再表現できます。臨界点に十分近い場合、すべてを縮小量のべき乗の特定の比率で再表現できます。これらがスケーリング関数です。

スケーリング関数の起源は、くりこみ群から見ることができます。臨界点は赤外線固定点です。臨界点の十分に小さい近傍では、くりこみ群の作用を線形化できます。これは基本的に、システムを係数aで再スケーリングすることは、あるΔに対して演算子とソース フィールドを係数a ^Δで再スケーリングすることと同等であることを意味します。したがって、すべての量を、再スケーリングされたスケールに依存しない量で再パラメーター化できます。

長い間、臨界指数は臨界温度以上でも以下でも同じである、例えばα ≡ α ′またはγ ≡ γ ′であると信じられてきた。しかし、これは必ずしも正しくないことが現在では示されている。連続対称性が、無関係な（繰り込み群の意味で）異方性によって離散対称性に明示的に分解されると、指数γとγ ′ は同一ではない。^[7]

臨界指数はギリシャ文字で表されます。それらは普遍性クラスに属し、スケーリングとハイパースケーリングの関係に従います。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{aligned}}}$

これらの式は、 νとηの2 つの独立した指数のみが存在することを意味します。これはすべて、繰り込み群の理論から導かれます。^{[説明が必要]}

相転移と臨界指数は、パーコレーション過程にも現れます。パーコレーション過程においては、格子の「占有」サイトまたはリンクの濃度が相転移の制御パラメータとなります（物理学における古典的な相転移の温度と比較）。最も単純な例の 1 つは、2 次元正方格子のベルヌーイ パーコレーションです。サイトは確率 でランダムに占有されます。クラスターは、最も近い隣接占有サイトの集合として定義されます。占有サイトの値が小さい場合、小さなローカル クラスターのみが形成されます。パーコレーションしきい値（臨界確率とも呼ばれる）では、システムの反対のサイト全体に広がるスパニング クラスターが形成され、普遍的臨界指数によって特徴付けられる 2 次相転移が発生します。^{[8] [9]}パーコレーションの場合、普遍性クラスはイジング普遍性クラスとは異なります。たとえば、相関長臨界指数は 2D ベルヌーイ パーコレーションの場合で、2D イジング モデルの場合は です。より詳細な概要については、パーコレーション臨界指数を参照してください。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{c}\approx 0.5927}$${\displaystyle \nu =4/3}$${\displaystyle \nu =1}$

相関長が方向に依存する 異方性システムがいくつかあります。

有向浸透は異方性浸透ともみなすことができる。この場合、臨界指数は異なり、上限臨界次元は5である。^[10]

多重臨界点、境界、または臨界多様体の交差点では、 より複雑な動作が発生する可能性があります。温度や圧力など、2 つ以上のパラメータの値を調整することで、これらの動作を実現できます。

上記の例は、臨界システムの静的特性のみを示しています。ただし、システムの動的特性も臨界になる可能性があります。特に、システムの特性時間τ _{char は}、動的指数zでτ _char ∝ ξ ^zとして発散します。さらに、静的臨界指数が同一である同等のモデルの大きな静的普遍性クラスは、動的指数も同一であることが要求される場合、より小さな動的普遍性クラスに分解されます。

平衡臨界指数は共形場理論から計算できます。

異常スケーリング次元も参照してください。

散逸システムの自己組織化臨界性にも臨界指数が存在します。

• 臨界指数の数値の普遍性クラス
• 複雑なネットワーク
• ランダムグラフ
• ラッシュブルック不平等
• ウィドムスケーリング
• コンフォーマルブートストラップ
• イジング臨界指数
• 浸透臨界指数
• ネットワーク科学
• 浸透理論
• グラフ理論

• Hagen Kleinertおよび Verena Schulte-Frohlinde、「Critical Properties of φ4-Theories」、World Scientific (シンガポール、2001)。ペーパーバックISBN  981-02-4658-7
• 戸田 正之、久保 亮、斉藤 暢、統計物理学 I、シュプリンガー・フェアラーク（ベルリン、1983年）、ハードカバーISBN 3-540-11460-2 
• JMYeomans、相転移の統計力学、オックスフォード・クラレンドン・プレス
• HE スタンレー 『相転移と臨界現象入門』オックスフォード大学出版局、1971年
• Sklogwiki の普遍性クラス
• ジン・ジャスティン、ジーン（2002年）。『量子場理論と臨界現象』オックスフォード、クラレンドン・プレス（2002年）、ISBN 0-19-850923-5 
• Zinn-Justin, J. (2010). 「臨界現象: 場の理論的アプローチ」 Scholarpedia 記事 Scholarpedia, 5(5):8346.
• D. Poland、S. Rychkov、A. Vichi、「コンフォーマルブートストラップ：理論、数値手法、およびアプリケーション」、Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002、http://arxiv.org/abs/1805.04405
• F. Leonard と B. Delamotte遷移の両側で臨界指数が異なる場合がある: 一般的なメカニズム、Phys. Rev. Lett. 115, 200601 (2015)、https://arxiv.org/abs/1508.07852、