サイモンモデル

応用確率論において、サイモンモデルはべき乗分布関数をもたらす確率モデルの一種です。これは、べき乗法則に従う幅広い経験的分布を説明するためにハーバート・A・サイモン^[1]によって提案されました。これは、カウンターが関連付けられた要素のシステムのダイナミクスをモデル化します（たとえば、テキスト内の単語とその頻度、またはネットワーク内のノードとその接続性）。このモデルでは、システムのダイナミクスは、新しい要素（単語の新しいインスタンス）の追加による一定の成長と、現在の値に比例した速度でのカウンター（単語の新しい発生）の増加に基づいています。 ${\displaystyle k}$

上述のようなネットワークの成長をモデル化するために、BornholdtとEbel ^[2]は、接続性 、 を持つノードを持つネットワークを検討しました。これらのノードは、同一の接続性 を持つノードのクラスを形成します。次の手順を繰り返します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle [k]}$${\displaystyle f(k)}$${\displaystyle k}$

(i) 確率的に新しいノードを追加し、任意に選択したノードからそのノードにリンクを接続します。 ${\displaystyle \alpha}$

(ii) 確率で、任意のノードから、に比例する確率で選択されたクラスのノードに1つのリンクを追加します。 ${\displaystyle 1-\alpha }$${\displaystyle j}$${\displaystyle [k]}$${\displaystyle kf(k)}$

この確率過程に対して、サイモンはべき乗則スケーリングを示す定常解を発見した。指数は${\displaystyle P(k)\propto k^{-\gamma }}$${\displaystyle \gamma =1+{\frac {1}{1-\alpha }}.}$

(i)バラバシ・アルバート（BA）モデルは、ノードが接続性を持つ別のノードに接続されるより単純な確率（ BAモデルでの優先接続と同じ）を使用する場合、サイモンのモデルのサブクラスにマッピングできます。言い換えると、サイモンモデルは、パレートの法則とジップの法則を捉えるのに適した、スケールフリーネットワークをもたらす可能性のある確率過程の一般的なクラスを記述します。 ${\displaystyle \alpha =1/2}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle P(\mathrm {new\ link\ to\ } i)\propto k_{i}}$

(ii) モデルの唯一の自由パラメータは、ノード数とリンク数の相対的な増加を反映します。一般には小さな値であるため、スケーリング指数は と予測できます。たとえば、Bornholdt と Ebel ^[2]はWorld Wide Web のリンクダイナミクスを研究し、スケーリング指数を と予測しましたが、これは観測結果と一致していました。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \gamma \approx 2}$${\displaystyle \gamma \approx 2.1}$

(iii) スケールフリーモデルが興味深いのは、複雑なネットワークのトポロジーを記述できるからです。サイモンモデルは、頻度がべき乗則に従うイベントを記述するように設計されているため、基礎となるネットワーク構造を持ちません。したがって、平均経路長、スペクトル特性、クラスタリング係数などの次数分布を超えるネットワーク指標は、このマッピングからは取得できません。

サイモンモデルは、成長と優先的付着特性を持つ一般化スケールフリーモデルに関連しています。詳細については、^{[3] [4]を参照してください。}

• プライスのモデル