Power law

• Neural scaling law

• Kepler's third law
• The initial mass function of stars
• The differential energy spectrum of cosmic-ray nuclei
• The M–sigma relation
• Solar flares

• Kleiber's law relating animal metabolism to size, and allometric laws in general
• The two-thirds power law, relating speed to curvature in the human motor system.^[18]
• The Taylor's law relating mean population size and variance of populations sizes in ecology
• Neuronal avalanches^[5]
• The species richness (number of species) in clades of freshwater fishes^[19]
• The Harlow Knapp effect, where a subset of the kinases found in the human body compose a majority of published research^[20]
• The size of forest patches globally follows a power law ^[21]
• The species–area relationship relating the number of species found in an area as a function of the size of the area

• Rate law

• Sizes of cloud areas and perimeters, as viewed from space^[3]
• The size of rain-shower cells^[22]
• Energy dissipation in cyclones^[23]
• Diameters of dust devils on Earth and Mars ^[24]

• Highly optimized tolerance
• Proposed form of experience curve effects
• Pink noise
• The law of stream numbers, and the law of stream lengths (Horton's laws describing river systems)^[25]
• Populations of cities (Gibrat's law)^[26]
• 書誌図、およびテキスト中の単語の頻度（ジップの法則）^{[ 27 ]}
• ウィキにおける90-9-1原則（ 1%ルールとも呼ばれる）^{[ 28 ] [ 29 ]}
• 暴力的な紛争（戦争とテロ）の深刻さに関するリチャードソンの法則^{[ 30 ] [ 31 ]}
• CPUのキャッシュサイズとキャッシュミスの数の関係は、キャッシュミスのべき乗則に従います。
• 深層ニューラルネットワークの重み行列のスペクトル密度^{[ 32 ]}
• 指数関数的成長に関連するもの：
  • ランダムな観測（または排除）を伴う指数成長過程の統計分布の裾^{[ 33 ]}
  • 指数関数的成長とイノベーションの指数関数的普及による進歩^{[ 34 ]}

• 地域または都市ネットワーク内の都市の人口規模、ジップの法則。
• アーティストの作品の平均価格による分布。^{[ 35 ]}
• 市場経済における所得分配。
• 銀行ネットワークにおける次数分布。^{[ 36 ]}
• 企業規模の分布。^{[ 37 ]}
• 人口規模に関する社会経済量のスケーリング法則（都市スケーリングを参照）。^{[ 38 ] [ 39 ]}

• 高リスクのベンチャーキャピタル投資のリターン^{[ 40 ]}
• 対数中間価格の平均絶対変化^{[ 41 ]}
• 株式市場における大きな価格変動、ボラティリティ、取引量^{[ 42 ]}
• 方向転換の平均待ち時間^{[ 43 ]}
• オーバーシュートの平均待ち時間

• フラクタル
• パレート分布とパレートの法則（「80対20の法則」とも呼ばれる）
• コーパス分析や人口分布などにおけるジップの法則では、項目やイベントの頻度はその頻度順位に反比例します（つまり、2番目に頻繁に出現する項目/イベントは最も頻繁に出現する項目の半分の頻度で出現し、3番目に頻繁に出現する項目/イベントは最も頻繁に出現する項目の3分の1の頻度で出現し、以下同様です）。
• ゼータ分布（離散型）
• ユール・サイモン分布（離散型）
• スチューデントのt分布（連続型）は、コーシー分布の特殊なケースである。
• ロトカの法則
• スケールフリーネットワークモデル
• ヒルバーグの仮説― 言語のエントロピーのべき乗則的成長、あるいは確率過程 

• エアロゾル光学におけるオングストローム指数
• 複雑媒質における音響減衰の周波数依存性
• シュテファン・ボルツマンの法則
• 電界効果トランジスタと真空管の入力電圧と出力電流の関係は、おおよそ二乗則の関係を示し、これが「真空管サウンド」の一因となっている。
• 平方立方則（表面積と体積の比）
• 三極管のプレート特性曲線には、3/2乗則が見られる。
• ニュートン重力と静電気の逆二乗法則は、それぞれ重力ポテンシャルと静電ポテンシャルによって証明される。
• 臨界点をアトラクターとする自己組織化臨界現象
• ファンデルワールス力のモデル
• 単振動における力と位置エネルギー
• 光強度と電圧の関係を示すガンマ補正
• 臨界指数を含む二次相転移近傍の挙動
• パワー半導体における最大同時電流および最大電圧に関する安全動作領域。
• 物質の超臨界状態と超臨界流体、例えば熱容量と粘度の超臨界指数など。^{[ 44 ]}
• ステップ状の直流電圧入力に対する誘電応答におけるキュリー・フォン・シュヴァイドラーの法則。
• 耐震ダンパーの計算における減衰力と速度の関係
• タンパク質構造セグメントの中心アミノ酸の折り畳まれた溶媒露出表面積^{[ 45 ]}

• アセンブリサイズの立方根法則

• スティーブンスの精神物理学のべき乗法則（対数的である可能性を示す実証によって異議を唱えられている^{[ 46 ] [ 47 ]}）
• 忘却のべき乗法則^{[ 48 ]}

分割べき乗則は、2 つ以上のべき乗則と閾値を組み合わせた区分的関数です。たとえば、2 つのべき乗則の場合：^{[ 49 ]}

$${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha _{1}}}$$のために${\displaystyle x<x_{\text{th}}}$、 $${\displaystyle f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}.}$$

不完全なべき乗則の断片を滑らかにつなぎ合わせることで、滑らかに不完全なべき乗則を構築することができる。

べき乗則を組み合わせる方法はいくつかあります。一例として、次の方法があります。^{[ 50 ]}$${\displaystyle \ln \left({\frac {y}{y_{0}}}+a\right)=c_{0}\ln \left({\frac {x}{x_{0}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}-c_{i-1}}{f_{i}}}\ln \left(1+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{f_{i}}\right)}$$どこ${\displaystyle 0<x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}}$。

関数を横軸が の対数-対数グラフとしてプロットすると、${\displaystyle \ln x}$垂直軸は${\displaystyle \ln(y/y_{0}+a)}$プロットは以下で構成されています${\displaystyle n+1}$傾斜のある直線セグメント${\displaystyle c_{0},c_{1},\dots ,c_{n}}$分離${\displaystyle x=x_{1},\dots ,x_{n}}$滑らかに接合されています。${\displaystyle f_{i}}$セグメント間の接合の鮮明さを決定する${\displaystyle i-1,i}$。

指数関数カットオフを持つべき乗則は、単純にべき乗則に指数関数を掛けたものです。^{[ 10 ]}

$${\displaystyle f(x)\propto x^{-\alpha }e^{-\beta x}.}$$

$${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha +\beta x}}$$^{[ 51 ]}

Pareto Q–Q plots compare the quantiles of the log-transformed data to the corresponding quantiles of an exponential distribution with mean 1 (or to the quantiles of a standard Pareto distribution) by plotting the former versus the latter. If the resultant scatterplot suggests that the plotted points asymptotically converge to a straight line, then a power-law distribution should be suspected. A limitation of Pareto Q–Q plots is that they behave poorly when the tail index ${\displaystyle \alpha }$ (also called Pareto index) is close to 0, because Pareto Q–Q plots are not designed to identify distributions with slowly varying tails.^[58]

On the other hand, in its version for identifying power-law probability distributions, the mean residual life plot consists of first log-transforming the data, and then plotting the average of those log-transformed data that are higher than the i-th order statistic versus the i-th order statistic, for i = 1, ..., n, where n is the size of the random sample. If the resultant scatterplot suggests that the plotted points tend to stabilize about a horizontal straight line, then a power-law distribution should be suspected. Since the mean residual life plot is very sensitive to outliers (it is not robust), it usually produces plots that are difficult to interpret; for this reason, such plots are usually called Hill horror plots.^[59]

Log–log plots are an alternative way of graphically examining the tail of a distribution using a random sample. Taking the logarithm of a power law of the form ${\displaystyle f(x)=ax^{k}}$ results in:^[60]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log(f(x))&=\log(ax^{k})\\&=\log(a)+\log(x^{k})\\&=\log(a)+k\cdot \log(x),\end{aligned}}}$$

which forms a straight line with slope ${\displaystyle k}$対数-対数スケールで。ただし、対数-対数プロットは必要ではあるが、べき乗則関係の十分な証拠にはならないため、注意が必要です。多くの非べき乗則分布は対数-対数プロット上で直線として現れるからです。^{[ 10 ] [ 61 ]}この方法は、分布の特定の数値が発生する確率の推定量の対数を、その特定の数値の対数に対してプロットすることから成ります。通常、この推定量は、データセットでその数値が発生する割合です。プロットの点が x 軸の大きな数値に対して直線に収束する傾向がある場合、研究者は分布がべき乗則の裾を持っていると結論付けます。これらのタイプのプロットの適用例が発表されています。^{[ 62 ]}これらのプロットの欠点は、信頼できる結果を得るためには、膨大な量のデータが必要であることです。さらに、離散的（またはグループ化された）データにのみ適しています。

ランダムサンプルを使用してべき乗則確率分布を識別するための別のグラフィカルな方法が提案されています。^{[ 58 ]}この方法は、対数変換されたサンプルのバンドルをプロットすることから成ります。もともとランダムサンプルを使用してモーメントの存在とモーメント生成関数を探索するためのツールとして提案されたバンドル方法は、残差分位関数（RQF）、または残差パーセンタイル関数と呼ばれるものに基づいています。^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]}これは、べき乗則分布、他のタイプの重い裾を持つ分布、さらには重い裾を持たない分布を含む、多くのよく知られた確率分布の裾の挙動を完全に特徴付けます。バンドルプロットには、上記のパレートQ-Qプロット、平均残存寿命プロット、およびlog-logプロットの欠点はありません（外れ値に対して頑健であり、小さな値を持つべき乗則を視覚的に識別できます）。${\displaystyle \alpha }$また、多くのデータ収集を必要としません。さらに、バンドルプロットを使用すると、他のタイプのテール挙動を特定できます。

実数値で独立かつ同一の分布を持つデータに対しては、次の形式のべき乗則分布を当てはめます。

$${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$$

データへ${\displaystyle x\geq x_{\min }}$係数${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$は、分布が正規化されることを保証するために含まれています。${\displaystyle x_{\min }}$対数尤度関数は次のようになります。

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\alpha )=\log \prod _{i=1}^{n}{\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$$ この尤度の最大値は、パラメータに関して微分することによって求められます。${\displaystyle \alpha }$結果をゼロに設定する。これを整理すると、推定式が得られる。

$${\displaystyle {\hat {\alpha }}=1+n\left[\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right]^{-1}}$$

どこ${\displaystyle \{x_{i}\}}$は${\displaystyle n}$データポイント${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$^{[ 2 ] [ 71 ]}この推定量は、オーダーの小さな有限サンプルサイズバイアスを示す。${\displaystyle O(n^{-1})}$これは、n  >  100 の場合に小さい値となる。さらに、推定値の標準誤差は${\displaystyle \sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})}$この推定量は、定量金融や極値理論でよく用いられるヒル推定量と同等である。

n個の整数値データポイントのセットの場合${\displaystyle \{x_{i}\}}$再び、それぞれ${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$最大尤度指数は超越方程式の解である

$${\displaystyle {\frac {\zeta '({\hat {\alpha }},x_{\min })}{\zeta ({\hat {\alpha }},x_{\min })}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}}$$

どこ${\displaystyle \zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })}$ is the incomplete zeta function. The uncertainty in this estimate follows the same formula as for the continuous equation. However, the two equations for ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ are not equivalent, and the continuous version should not be applied to discrete data, nor vice versa.

Further, both of these estimators require the choice of ${\displaystyle x_{\min }}$. For functions with a non-trivial ${\displaystyle L(x)}$ function, choosing ${\displaystyle x_{\min }}$ too small produces a significant bias in ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$, while choosing it too large increases the uncertainty in ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$, and reduces the statistical power of our model. In general, the best choice of ${\displaystyle x_{\min }}$ depends strongly on the particular form of the lower tail, represented by ${\displaystyle L(x)}$ above.

More about these methods, and the conditions under which they can be used, can be found in .^[10] Further, this comprehensive review article provides usable code (Matlab, Python, R and C++) for estimation and testing routines for power-law distributions.

Another method for the estimation of the power-law exponent, which does not assume independent and identically distributed (iid) data, uses the minimization of the Kolmogorov–Smirnov statistic, ${\displaystyle D}$, between the cumulative distribution functions of the data and the power law:

$${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\underset {\alpha }{\operatorname {arg\,min} }}\,D_{\alpha }}$$

with

$${\displaystyle D_{\alpha }=\max _{x}\left|P_{\mathrm {emp} }(x)-P_{\alpha }(x)\right|}$$

where ${\displaystyle P_{\mathrm {emp} }(x)}$ and ${\displaystyle P_{\alpha }(x)}$ denote the cdfs of the data and the power law with exponent ${\displaystyle \alpha }$, respectively. As this method does not assume iid data, it provides an alternative way to determine the power-law exponent for data sets in which the temporal correlation can not be ignored.^[5]