Loading article…
数学では、さまざまな種類の代数構造が研究されます。抽象代数は、主に特定の代数構造とその特性の研究です。代数構造はさまざまな方法で見ることができますが、代数のテキストの共通の出発点は、代数オブジェクトが、公理のコレクションを満たす1 つ以上の二項演算または一項演算を含む 1 つ以上の集合を組み込むというものです。
普遍代数として知られる数学の別の分野は、代数構造全般を研究します。普遍代数の観点からは、ほとんどの構造は、使用される公理に応じて多様体と準多様体に分類できます。多様体でも準多様体でもない公理的 形式体系は非多様体と呼ばれ、伝統的に代数構造に含まれることがあります。
各構造の具体的な例は、記載されている記事に記載されています。
代数構造は現在非常に多く存在するため、この記事は必然的に不完全なものになります。これに加えて、同じ構造に複数の名前が付けられることがあり、また、1 つの名前が異なる著者によって異なる公理で定義されることもあります。このページに出てくる構造のほとんどは、ほとんどの著者が同意する一般的な構造です。代数構造のその他の Web リストには、多かれ少なかれアルファベット順に整理されたものがあり、Jipsen や PlanetMath などがあります。これらのリストには、以下に含まれていない多くの構造が挙げられており、一部の構造については、ここで提示されているよりも多くの情報が提供されている場合があります。
代数構造の研究
代数構造は数学のほとんどの分野に現れ、さまざまな方法で遭遇することがあります。
代数構造の種類
一般的に、代数構造は定義において任意の数の集合と任意の数の公理を使用できます。ただし、最も一般的に研究される構造には、通常、1 つまたは 2 つの集合と 1 つまたは 2 つの二項演算のみが含まれます。以下の構造は、含まれる集合の数と使用される二項演算の数によって整理されています。インデントが増加するほど、より特殊な構造であることを示し、インデントが最も少ないレベルは最も基本的な構造です。
二項演算のない1セット
- 集合: 演算を持たない退化した代数構造S。
- 尖端集合: S には1 つ以上の区別された要素 (多くの場合 0、1、またはその両方) があります。
- 単項システム: SとSに対する単一の単項演算。
- 尖端単項システム: Sが尖端集合である単項システム
1セットに対する1つのバイナリ演算
次の群のような構造は、集合と二項演算で構成されています。二項演算は任意の記号で示すことも、記号なしで示すこともできます (並置)。最も一般的な構造は群の構造です。他の構造では、群の公理を弱めたり強めたりし、単項演算を使用することもあります。
- マグマまたは群体: SとS上の単一の二項演算。
- 半群:結合マグマ。
- モノイド:単位元を持つ半群。
- グループ: 単項演算 (逆) を持つモノイドで、逆元を生成します。
- 準群: ラテン方陣の性質に従うマグマ。準群は3つの二項演算を使って表すこともできる。[1]
- ループ:単位元を持つ準群。
- 半格子: 演算がべき等かつ可換である半群。二項演算はmeetまたはjoin のいずれかと呼ばれます。これは基本的に格子構造の「半分」です (以下を参照)。
1つのセットに対する2つのバイナリ演算
1 つの集合に 2 つの二項演算がある構造の主なタイプは、リング状またはリングオイドと格子状または単に格子です。リングオイドと格子は、どちらも 2 つの定義的な二項演算があるにもかかわらず、明確に区別できます。リングオイドの場合、2 つの演算は分配法則によって結び付けられ、格子の場合、吸収法則によって結び付けられます。リングオイドには数値モデルがある傾向があり、格子には集合論モデル がある傾向があります。
リング状構造またはリングイドでは、2 つの二項演算は加算と乗算と呼ばれることが多く、乗算は分配法則によって加算に関連付けられています。
- 半環: S が各演算の下でモノイドとなるような環体。加法は一般に可換かつ結合的であると想定され、モノイド積は両辺の加法にわたって分配されると想定され、加法恒等式 0 は、すべてのxに対して 0 x = 0 であるという意味で 吸収元です。
- 近環: 加法モノイドが（必ずしも可換ではない）群である半環。
- 環: 加法モノイドがアーベル群である半環。
- 非結合的リング: これらはリングに似ていますが、乗算演算は結合的である必要はありません。
- ブール環: べき等乗算演算を備えた可換環。
- クリーネ代数: 冪等な加算と単項演算を持つ半環、クリーネ星は追加の特性を満たします。
- *-代数または*-環:反転と呼ばれる追加の単項演算 (*) を持つ環で、追加のプロパティを満たします。
- 算術:無限集合上の加算と乗算、および追加の尖った単項構造。単項演算は単射 後続であり、要素 0 が区別されます。
- ロビンソン算術。加算と乗算は、後続数によって再帰的に定義されます。0 は加算の単位元であり、乗算を消滅させます。ロビンソン算術は多様体ですが、ペアノ算術に近いため、ここに記載されています。
- ペアノ算術。帰納法の公理スキームを持つロビンソン算術。加算と乗算の性質に関係する環と体の公理のほとんどは、ペアノ算術またはその適切な拡張の定理です。
格子状の構造には、meet と join と呼ばれる 2 つの二項演算があり、吸収法則によって接続されています。
- Latticoid: 会って通勤しますが、関連付ける必要はありません。
- 斜め格子: 会って仲間に加わりますが、通勤する必要はありません。
- Lattice : 仲間と会って参加し、通勤する。
- 完全格子: 任意の接合部と結合部が存在する格子。
- 有界格子:最大要素と最小要素を持つ格子。
- 補集合: 単項演算である補集合を持つ境界付き集合。接尾辞 ⊥で表されます。要素とその補集合の結合が最大要素となり、2 つの要素の交わりが最小要素となります。
- モジュラー格子: 要素が追加のモジュラー単位元を満たす格子。
- 分配格子: meet と join のそれぞれが他方に分配される格子。分配格子はモジュラーですが、その逆は成り立ちません。
- ブール代数: 補完的な分配格子。 meet または join のいずれかを、他方と補完の観点から定義できます。これは、上記の同名のリング状構造と同等であることが示されます。
- ハイティング代数: 付加二項演算である相対擬似補集合を持つ有界分配格子。これは中置演算子→で表され、次の公理によって規定される。
- x → x = 1
- x ( x → y ) = x y
- y ( x → y ) = y
- x → ( y z ) = ( x → y ) ( x → z )
2つのセット上のモジュールのような構造
次のモジュールのような構造には、 AとB という2 つの集合があるという共通の特徴があり、 A × AからAへの二項演算と、 A × BからAへの別の演算が存在します。モジュールは、リング演算を数えると、少なくとも 3 つの二項演算を持ちます。
- 演算子を持つ群: 集合Ω と、 特定の公理を満たす二項演算 Ω × G → Gを持つ群G。
- モジュール: M上の演算子として作用するアーベル群Mと環R。通常、Mは「 R上」として定義されます。 Rのメンバーはスカラーと呼ばれることもあり、スカラー乗算の二項演算は関数R × M → Mであり、いくつかの公理を満たします。
2つの集合上の代数のような構造
これらの構造は、リングRと、乗算と呼ばれる演算を備えたRモジュールMの 2 つのセットに対して定義されます。これは、 Rに対する 2 つの演算、Mに対する 2 つの演算、およびRとM の両方を含む1 つの演算の、合計 5 つのバイナリ演算を持つシステムとして考えることができます。これらの構造の多くは、前述の構造のハイブリッド構造です。
- 環上の代数（R代数とも呼ばれる）:可換環 R上のモジュールであり、モジュール構造と互換性のある乗算演算も実行します。これには、加算に対する分配性と、 Rの元による乗算に関する線形性が含まれます。
- 体上の代数: これは体上のベクトル空間でもある環です。乗算は通常結合的であると想定されます。理論は特によく発達しています。
- 結合的代数: 乗算が結合的であるような環上の代数。
- 非結合性代数: 可換環上のモジュールで、必ずしも結合的ではない環乗算演算を備えています。結合性は、交替性、ヤコビ恒等式、ジョルダン恒等式などの別の恒等式に置き換えられることがよくあります。
- リー代数: 積がヤコビ恒等式を満たす特殊なタイプの非結合代数。
- ジョルダン代数: 積がジョルダン恒等式を満たす特殊なタイプの非結合代数。
- 余代数: 結合代数と双対的に定義された「余乗法」を持つベクトル空間。
- リー代数: リー代数と双対的に定義された「共乗」を持つベクトル空間。
- 次数付き代数: 次数と互換性のある代数構造を持つ次数付きベクトル空間。2 つの要素aとbの次数がわかっている場合、 abの次数がわかっているため、分解で積abの位置が決定されるという考え方です。
- 内積空間:定積双線型形式V × V → Fを持つFベクトル空間V。
- 双代数: 互換性のある余代数構造を持つ結合代数。
- リー代数: 互換性のある双代数構造を持つリー代数。
- ホップ代数: 接続公理 (対掌体) を持つ双代数。
- クリフォード代数:複数の可能な内積を導出できる外積を追加で備えた結合次数代数。外積代数と幾何代数は、この構成の特殊なケースです。
非代数的構造を付加した代数的構造
代数構造と非代数構造が共存する数学的構造の例は数多くあります。
- 位相ベクトル空間は、互換性のある位相を持つベクトル空間です。
- リー群: これらは、互換性のある群構造も持つ位相多様体です。
- 順序群、順序環、順序体は、集合上の順序と互換性のある代数構造を持ちます。
- フォン・ノイマン代数: これらは、弱演算子位相を備えたヒルベルト空間上の *-代数です。
さまざまな分野における代数構造
いくつかの代数構造は、抽象代数学以外の分野でも使用されています。以下は、他の分野におけるいくつかの具体的な応用例を示すことを目的としています。
物理学では：
数学的論理においては：
コンピュータサイエンス：
参照
参考文献
- ^ ジョナサン・DH・スミス（2006年11月15日）。準群とその表現入門。チャップマン＆ホール。ISBN 9781420010633. 2012年8月2日閲覧。
- ギャレット・バーコフ、1967年。「格子理論」、第3版、AMSコロキウム出版第25巻。アメリカ数学会。
- ———、およびSaunders MacLane、1999（1967）。代数学、第2版。ニューヨーク：チェルシー。
- George BoolosとRichard Jeffrey、 1980 年。「計算可能性と論理」、第 2 版。ケンブリッジ大学出版局。
- Dummit, David S.、Foote, Richard M.、2004 年。Abstract Algebra、第 3 版。John Wiley and Sons。
- Grätzer, George, 1978. Universal Algebra、第 2 版。Springer。
- David K. Lewis、1991年。『Classes』の一部。Blackwell。
- Michel, Anthony N., Herget, Charles J., 1993 (1981).応用代数と関数解析. ドーバー.
- ポッター、マイケル、2004年。「集合論とその哲学」第2版。オックスフォード大学出版局。
- スモリンスキー、クレイグ、1991年。「論理数論I」、シュプリンガー出版。
無料でオンラインで入手可能なモノグラフ:
- Burris, Stanley N.、および HP Sankappanavar、HP、1981。「普遍代数のコース」。Springer -Verlag。ISBN 3-540-90578-2。
外部リンク
- ジプセン：
- 代数構造のアルファベット順リスト。ここに記載されていないものも多数含まれています。
- オンラインブックと講義ノート。
- この地図には約 50 の構造物が含まれていますが、そのうちのいくつかは上記には表示されていません。同様に、上記の構造物のほとんどはこの地図には表示されていません。
- PlanetMath トピック インデックス。
- Hazewinkel、Michiel (2001)数学百科事典。スプリンガー・フェルラーク。
- 抽象代数に関する Mathworld のページ。
- スタンフォード哲学百科事典：ヴォーン・プラット著『代数学』 。