準群

数学、特に抽象代数学において、準群は「除算」が常に可能であるという意味で群に似た代数構造である。準群は、結合元と単位元の性質がオプションであるという点で主に群と異なる。実際、空でない結合準群は群である。^{[1] [2]}

単位元を持つ準群はループと呼ばれます。

準群には、構造的に同等な正式な定義が少なくとも 2 つあります。

• 準群は、1 つの二項演算を持つ集合として定義されます。
• もう 1 つは、普遍代数からのもので、準群を 3 つの基本演算を持つものとして定義します。

しかし、1つの二項演算で定義される準群の準同型 像は、3つの基本演算を持つ準群とは対照的に、準群である必要はありません。^[3]最初の定義から始めます。

準群 ( Q , ∗)は、二項演算 ∗ (つまり、マグマであり、準群は閉包性を満たす必要があることを示す)を持つ空でない集合 Qであり、ラテン方陣の性質に従う。これは、Q内の各aとbに対して、 Q内に一意の元xとy が存在し、

a ∗ x = b

y ∗ a = b

が成り立つ。（言い換えると、集合の各要素は、準群の乗法表、つまりケイリー表の各行と各列に正確に1回ずつ出現する。この性質により、有限準群、特に有限群のケイリー表はラテン方陣になることが保証される。） xとyが一意であるという要件は、マグマが相殺的であるという要件に置き換えることができる。^{[4] [a]}

これらの方程式の唯一の解は、x = a \ bおよびy = b / aと書きます。 '\' および '/' 演算は、それぞれ左除算および右除算と呼ばれます。 ケーリー表に関して、最初の方程式 (左除算) は、a行のbエントリがx列にあることを意味し、2 番目の方程式 (右除算) は、a列のbエントリがy行にあることを意味します。

空集合に空二項演算を加えたものは、この準群の定義を満たす。著者の中には空準群を受け入れる者もいるが、明示的に除外する者もいる。^{[5] [6]}

何らかの代数構造が与えられた場合、恒等式は、すべての変数が暗黙的に普遍量化され、すべての演算が構造に固有の基本演算に含まれる方程式です。恒等式のみで与えられる公理を満たす代数構造は、多様体と呼ばれます。普遍代数の多くの標準的な結果は、多様体に対してのみ当てはまります。左除算と右除算を基本としてとると、準群は多様体を形成します。

右準群 ( Q , ∗, /) は、次の両方の恒等式を満たす(2, 2)型代数です。

y = ( y / x ) ∗ x

y = ( y ∗ x ) / xです。

左準群 ( Q , ∗, \) は、次の両方の恒等式を満たす(2, 2)型代数である。

y = x ∗ ( x \ y )

y = x \ ( x ∗ y ) です。

準群 ( Q , ∗, \, /)は、次の恒等式を満たす(2, 2, 2)型代数 (つまり、3 つの二項演算を備えた代数) である: ^[b]

y = ( y / x ) ∗ x

y = ( y ∗ x ) / x

y = x ∗ ( x \ y )

y = x \ ( x ∗ y ) です。

言い換えると、同じ辺で同じ要素を続けて乗算および除算しても、どのような順序で行っても、実質的な効果はありません。

したがって、 ( Q , ∗) が前のセクションの定義に従って準群である場合、 ( Q , ∗, \, /)は普遍代数の意味で同じ準群です。逆もまた同様です。つまり、( Q , ∗, \, /) が普遍代数の意味で準群である場合、( Q , ∗)は最初の定義に従って準群です。

ループとは、単位元を持つ準群、つまり、

Qのすべてのxに対して、 x ∗ e = xかつe ∗ x = xです。

したがって、単位元eは一意であり、Qのすべての元には一意の左逆元と右逆元（同じである必要はない）があります。

べき等元を持つ準群はピケ（「尖ったべき等準群」）と呼ばれます。これはループよりも弱い概念ですが、それでも一般的です。たとえば、アーベル群（A、+）が与えられた場合、その減算演算を準群の乗算と見なすと、群の単位元（ゼロ）が「尖ったべき等」になったピケ（A、−）が生成されます。（つまり、主同位体（x、y、z）↦（x、−y、z）が存在します。）

結合性のあるループはグループです。グループには厳密に非結合性のピケ同位体が存在する可能性がありますが、厳密に非結合性のループ同位体が存在することはできません。

特別な名前が付けられた、より弱い結合性プロパティがあります。

たとえば、Bol ループは次のいずれかを満たすループです。

Q内の     各x、y、zについて、 x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z（左ボルループ）、

さもなければ

Q内の各x、y、zについて、 (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) (右ボルループ)。

左ボルループと右ボルループの両方であるループは、Moufang ループです。これは、すべてのx、y、zに対して成り立つ次の単一の Moufang 恒等式のいずれかと同等です。

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ z

z ∗ ( x ∗ ( y ∗ x )) = (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = x ∗ (( y ∗ z ) ∗ x )

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = ( x ∗ ( y ∗ z )) ∗ x。

ジョナサン・DH・スミスによれば、「ループ」はシカゴループにちなんで名付けられたとのことで、その考案者は当時シカゴで準群を研究していた。^[9]

スミス（2007）は、次の重要なプロパティとサブクラスを挙げています。

準群は、以下の同値な恒等式のいずれかがすべてのx、yに対して成り立つ場合、半対称である: ^[c]

x ∗ y = y / x

y ∗ x = x \ y

x = ( y ∗ x ) ∗ y

x = y ∗ ( x ∗ y ) です。

このクラスは特別に思えるかもしれませんが、すべての準群Q は次の操作によって 直積立方体Q ³上に半対称準群Q Δ を誘導します。

( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ⋅ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) = ( y ₃ / x ₂ , y ₁ \ x ₃ , x ₁ ∗ y ₂ ) = ( x ₂ // y ₃ , x ₃ \\ y ₁、x ₁ ∗ y ₂ )、

ここで、「//」と「\\」は、 y // x = x / yとy \\ x = x \ yで与えられる共役除算演算です。

準群は半対称三元性を示すことがある。^[10]

より狭いクラスは、すべての共役が 1 つの演算x ∗ y = x / y = x \ yとして一致する完全対称準群( TS 準群と略されることもあります)です。完全対称準群 (同じ概念) を定義する別の方法は、可換な半対称準群、つまりx ∗ y = y ∗ xとして定義することです。

べき等な全対称準群は、まさに（すなわち、一対一で）シュタイナー三重項なので、そのような準群はシュタイナー準群とも呼ばれ、後者はsquagと略されることもあります。sloopという用語は、ループの類似物、つまりx ∗ x = xではなくx ∗ x = 1 を満たす全対称ループを指します。 べき等性がない場合、全対称準群は、一般化楕円 3 次曲線 (GECC) とも呼ばれる拡張シュタイナー三重項の幾何学的概念に対応します。

擬群( Q ,∗)が弱全反対称であるとは、すべてのc , x , y∈Q に対して次の含意が成り立つとき言う。 ^[11]

( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ x はx = yを意味します。

準群( Q , ∗)は、さらにすべてのx , y ∈ Qに対して次の含意が成り立つとき、完全反対称であるという。 ^[11]

x ∗ y = y ∗ x はx = yを意味します。

このプロパティは、たとえばDamm アルゴリズムで必須です。

• すべてのグループはループです。なぜなら、a ∗ x = bである場合は x = a ⁻¹ ∗ bであり 、y ∗ a = bである場合はy = b ∗ a ^{−1 で}あるためです。
• 整数Z (または有理数Qや実数R ) と減算(−) は準群を形成します。これらの準 群は単位元がないためループではありません ( 0 はa − 0 = aなので右単位元ですが、一般に0 − a ≠ aなので左単位元ではありません)。
• 非ゼロの有理数Q ^×（または非ゼロの実数R ^×）と除算（÷）は準群を形成します。
• 特性が2でない体上の任意のベクトル空間は、x ∗ y = ( x + y ) / 2の演算の下で冪等かつ可換な準群を形成します。
• すべてのシュタイナー三元系は冪等かつ可換な準群を定義する。a ∗ b は、 aとbを含む三元系の3番目の要素である。これらの準群はまた、準群内のすべてのxとyに対して( x ∗ y ) ∗ y = xを満たす。これらの準群はシュタイナー準群として知られている。^[12]
• ii = jj = kk = +1であり、四元数群の他のすべての積と等しい集合{±1, ±i, ±j, ±k}は、次数 8 の非結合ループを形成します。その応用については、双曲四元数を参照してください。(双曲四元数自体はループや準群を形成しません。)
• 非ゼロの八元数は、乗算の際に非結合ループを形成します。八元数は、Moufang ループと呼ばれる特殊なタイプのループです。
• 結合準群は空であるか群であるかのいずれかです。少なくとも 1 つの要素がある場合、結合性と組み合わせた準群の二項演算の可逆性は単位元の存在を意味し、単位元は逆元の存在を意味し、したがって群の 3 つの要件をすべて満たします。
• 以下の構成はハンス・ザッセンハウスによるものである。3元ガロア体F = Z /3 Z上の4次元ベクトル空間 F ⁴の基底集合上で定義される。

  ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) ∗ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) + (0, 0, 0, ( x ₃ − y) ₃ )( x ₁ y ₂ − x ₂ y ₁ ))。

このとき、( F4 ,∗)は可換な Moufangループ^であるが、群ではない。^[13]

• より一般的には、任意の除算代数の非ゼロ要素は、代数における乗算の演算によって準群を形成します。

この記事の残りの部分では、準群の乗算を単に並置によって表すことにします。

準群には消去特性があります。つまり、ab = acであれば、b = cです。これは、 abまたはacをaで左除算する一意性から生じます。同様に、ba = caであれば、b = cです。

準群のラテン方陣の性質は、xy = zの 3 つの変数のうちの任意の 2 つが与えられた場合、 3 番目の変数が一意に決定されることを意味します。

準群の定義は、左乗算演算子L x , R _x : Q → Q と右乗算演算子 L _x , R x  : Q → Qの条件として扱うことができ、次のように定義されます。

Lx ( y ) = xy で始まります_。

Rx ( y ) ₌ yx

定義によれば、両方の写像はQからそれ自身への全単射である。マグマQが準群となるのは、Q内の任意のxに対してこれらすべての演算子が全単射である場合である。逆写像は左除算と右除算であり、つまり、

ら⁻¹
_倍（y）= x \ y

R⁻¹
_倍（y）= y / x

この記法では、準群の乗算と除算の演算間の恒等式（普遍代数の節で述べた）は

長さ_×長さ⁻¹
_倍= x ( x \ y ) = yに対応するid                     

ら⁻¹
_倍L _x = id は x \ ( xy ) = y          に対応する          

R _× R⁻¹
_倍= idは ( y / x ) x = y          に対応する          

R⁻¹
_倍R _x = id は ( yx ) / x = y          に対応する          

ここで、id はQ上の恒等写像を表します。

有限準群の乗算表はラテン方陣です。ラテン方陣とは、各記号が各行に 1 回、各列に 1 回ずつ出現するように n 個の異なる記号で埋められたn × n の表です。

逆に、すべてのラテン方陣は、さまざまな方法で準群の乗算表として考えることができます。境界行 (列ヘッダーを含む) と境界列 (行ヘッダーを含む) は、それぞれ要素の任意の順列にすることができます。「小さなラテン方陣と準群」を参照してください。

可算無限の準群Qについては、すべての行とすべての列がQの何らかの要素qに対応し、要素a ∗ b がaに対応する行とbに対応する列にあるような無限配列を想像することができます。この状況でも、ラテン方陣の性質により、無限配列の各行と各列には、すべての可能な値が正確に 1 回含まれます。

乗法による非ゼロの実数の群のような非可算無限準群 の場合、ラテン方陣の性質は依然として成り立ちますが、その名前はいくぶん不十分です。なぜなら、実数をすべて の列 で表すことはできないため、上記の無限配列の考え方が拡張される組み合わせの配列を生成することは不可能だからです。 (ただし、整列定理 を前提とすると、実数は長さの列 で表すことができるため、これはいくぶん誤解を招きます。)${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

準群の二項演算は、左乗算演算子L _xと右乗算演算子R _{x の}両方が全単射であり、したがって可逆であるという意味で可逆です。

すべてのループ要素には、次の式で与えられる一意の左逆と右逆があります。

xλ = e / x xλ x = e^​​           

xρ = x \ e xxρ = e^​​           

ループが（両側）逆元を持つとは、すべてのxに対してx ^λ = x ^{ρ が}成り立つ場合を言います。この場合、逆元は通常x ⁻¹と表記されます。

ループ内の逆については、役に立つことが多い強力な概念がいくつかあります。

• ループは、すべてのxとyに対してx ^λ ( xy ) = y が成り立つ場合、左逆の性質を持ちます。同様に、L⁻¹
  _倍= L _{x ^λ}またはx \ y = x ^λ y。
• ループは、すべてのxと yに対して( yx ) x ^ρ = y が成り立つ場合、右逆の性質を持ちます。同様に、R⁻¹
  _倍= R _{x ^ρ}またはy / x = yx ^ρ。
• ループは、 ( xy ) ^λ = y ^λ x ^λ、または同等に、( xy ) ^ρ = y ^ρ x ^ρの場合には、反自己同型逆の性質を持ちます。
• ループは、 ( xy ) z = eかつx ( yz )= eのときのみ、弱い逆行列の性質^を持ちます。これは、 ( xy ) ^λ x = yλまたは同等のx ( yx ) ^ρ = yρ^を介して逆行列で表すことができます。

ループが左逆特性と右逆特性の両方を持つ場合、そのループは逆特性を持ちます。逆特性ループには、反自己同型特性と弱逆特性もあります。実際、上記の 4 つの恒等式のうち 2 つを満たすループは逆特性を持ち、したがって 4 つすべてを満たします。

左逆、右逆、または反保型逆の特性を満たすループには、自動的に両側逆が存在します。

準群準同型写像またはループ準同型写像は、 f ( xy ) = f ( x ) f ( y )となる 2 つの準群間の写像 f  : Q → Pです。準群準同型写像は、必ず左除算と右除算、および単位元 (存在する場合) を保存します。

QとP を準群とする。QからPへの準群ホモトピーは、QからPへの写像の三つ組( α、β、γ )であり、

α ( x ) β ( y ) = γ ( x y )です。

Q内のすべてのx、yに対して成り立ちます。準群準同型写像は、 3 つの写像が等しいホモトピーです。

同位体とは、3 つの写像( α、β、γ )のそれぞれが一対一であるホモトピーです。2 つの準群は、それらの間に同位体がある場合に同位体です。ラテン方陣では、同位体( α、β、γ )は、行αの順列、列βの順列、および基になる要素セットγの順列によって与えられます。

オートトピーは、準群からそれ自身への同位体です。準群のすべてのオートトピーの集合は、自己同型群を部分群とする群を形成します。

すべての準群はループと同位である。ループが群と同位である場合、ループはその群と同型であり、したがってそれ自体が群である。しかし、群と同位である準群は群である必要はない。例えば、乗算が( x , y ) ↦ ( x + y )/2であるR上の準群は加法群( R , +)と同位であるが、単位元を持っていないためそれ自体は群ではない。ブルック-豊田の定理により、すべての中位準群はアーベル群と同位である。

左除算と右除算は、定義方程式の変数を並べ替えて準群を形成する例です。元の演算 ∗ (つまり、x ∗ y = z ) から、x o y  := y ∗ x (反対の演算)、/ と \、およびそれらの反対の 5 つの新しい演算を形成できます。これにより、合計 6 つの準群演算が作成され、これは∗ の共役またはパラストロフィと呼ばれます。これらの演算の任意の 2 つは、互いに (およびそれ自体に対して)「共役」または「パラストロフィック」であると言われています。

集合Q に2 つの準群演算 ∗ と · があり、そのうちの 1 つがもう 1 つの共役に同位である場合、演算は互いに等方性であると言われます。この「等方性」の関係には、パラトピーなど、他にも多くの名前があります。

n項擬群は、n項演算( Q、f ) （f  : Q ⁿ → Q ）を持つ集合であり、方程式f ( x ₁、 ... 、x _n ) = y は、他の n 個の変数がすべて任意に指定されている場合、任意の 1 つの変数に対して一意の解を持ちます。 多項式または多項式とは、負でない整数nに対してn項であることを意味します。

0 項または零項の準群は、 Qの定数要素にすぎません。1 項または単項の準群は、 Qとそれ自身との単射です。2項または 2 項の準群は通常の準群です。

多項準群の例としては、反復群演算y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _nが挙げられます。群は結合的であるため、演算の順序を指定するために括弧を使用する必要はありません。演算の順序が指定されている場合は、同じまたは異なる群または準群演算の任意のシーケンスを実行して、多項準群を形成することもできます。

これらのいずれの方法でも表現できない多項式準群が存在します。n項準群は、その演算が次の方法で 2 つの演算の合成に因数分解できない場合、 既約です。

f ( x ₁ , ..., x _n ) = g ( x ₁ , ..., x _{i −1} , h ( x _i , ..., x _j ), x _{j +1} , ..., x _n ),

ここで1 ≤ i < j ≤ nかつ( i , j ) ≠ (1, n )である。有限既約n項準群はすべてのn > 2に対して存在する。詳細についてはAkivis & Goldberg (2001)を参照。

n次元バージョンの結合性を持つn次元準群は、n次元群と呼ばれます。

小さな準群（ OEISのシーケンスA057991）とループ（OEISのシーケンスA057771 ）の同型類の数は次のように与えられる：^[14]

• 除算環– ゼロでないすべての元に逆元が存在する環
• 半群– 集合と結合二項演算からなる代数構造
• モノイド– 単位元を持つ半群
• 平面三元環- 加法的および乗法的ループ構造を持つ
• ループ理論と準群理論の問題
• 数独の数学

• 準群
• 「準群」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]