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抽象代数学において、ジョルダン代数とは、体上の非結合代数（単位元を持つ）であり、その乗法が以下の公理を満たすものである。
ジョルダン代数における2つの要素xとyの積は、特に関連する結合代数の積との混同を避けるために、x ∘ yとも表記される。
公理は[ 1 ]ジョルダン代数が冪結合的であることを示唆しており、つまりこれは、この式をどのように括弧で囲むかとは無関係です。また、それらは[ 1 ]次のことを示唆しています。すべての正の整数mとnに対して。したがって、ジョルダン代数を、任意の要素に対して、可換かつ冪結合的な代数として定義することもできます。累乗による乗算演算通勤すべて。
ジョルダン代数は、量子電磁力学における観測量の代数の概念を形式化しようとして、パスカル・ジョルダン（1933年）によって導入されました。この文脈では代数が役に立たないことがすぐに示されましたが、その後、数学で多くの応用が見出されました。[ 2 ]代数は当初「r数システム」と呼ばれていましたが、一般ジョルダン代数の体系的な研究を開始したアブラハム・エイドリアン・アルバート（1946年）によって「ジョルダン代数」と改名されました。
まず、結合代数がジョルダン代数であるのは、それが可換である場合に限るという点に注意しましょう。
任意の結合代数A (特性が 2 でないもの)に対して、同じ基礎となる加算と、次のように定義される新しい乗算であるジョルダン積を用いて、ジョルダン代数A +を構成することができる。
これらのジョルダン代数とその部分代数は特殊ジョルダン代数と呼ばれ、その他すべては例外ジョルダン代数と呼ばれる。この構成は、 Aに関連付けられたリー代数に類似しており、その積（リー括弧）は交換子によって定義される。。
シルショフ・コーンの定理は、2つの生成元を持つジョルダン代数は特別であると述べている。[ 3 ]これに関連して、マクドナルドの定理は、3つの変数の多項式で、1つの変数に関して次数が1であり、すべての特別なジョルダン代数で消滅するものは、すべてのジョルダン代数で消滅すると述べている。[ 4 ]
( A , σ ) が対合σを持つ結合代数である場合、σ ( x ) = xおよびσ ( y ) = yであれば、次のことが成り立つ。したがって、対合によって固定されるすべての要素の集合（エルミート要素と呼ばれることもある）は、 A +の部分代数を形成し、これは H( A , σ ) と表記されることもある。
1.乗算を持つ自己共役な実数、複素数、または四元数行列の集合
特別なジョルダン代数を形成する。
2.八元数上の 3×3 自己共役行列の集合 （乗算を含む）
は 27 次元の例外的なジョルダン代数です (八元数が結合法則を満たさないため例外的です)。これはアルバート代数の最初の例でした。その自己同型群は例外的なリー群F 4です。複素数上では同型を除いて唯一の単純な例外的なジョルダン代数であるため、[ 5 ]しばしば「唯一の」例外的なジョルダン代数と呼ばれます。実数上では、単純な例外的なジョルダン代数の同型類が 3 つあります。[ 5 ]
ジョルダン代数Aの導関数とは、 D ( xy ) = D ( x ) y + xD ( y ) を満たすAの自己準同型Dのことである。導関数はリー代数der ( A ) を形成する。ジョルダン恒等式によれば、xとy がAの要素である場合、 zをx ( yz ) − y ( xz )に写す自己準同型は導関数である。したがって、 Aとder ( A )の直和は、 Aの構造代数str ( A )と呼ばれるリー代数にすることができる。
エルミートジョルダン代数 H( A , σ ) は簡単な例です。この場合、σ ( x )= − xを満たすAの任意の要素x は微分を定義します。多くの重要な例では、H( A , σ )の構造代数はAです。
導出代数と構造代数も、ティッツによるフロイデンタール魔方陣の構成の一部を成している。
実数上の（非結合的な場合もある）代数は、n個の平方数の和が、それぞれの平方数が個別にゼロになる場合にのみゼロになるという性質を満たす場合に、形式的に実数であると言われる。1932 年、ジョルダンは、量子系の観測量の代数は、可換（xy = yx）かつべき結合法則（結合法則はxのみを含む積に対して成り立つため、任意の要素xのべき乗が明確に定義される）を満たす形式的に実数であるべきであると言うことで、量子論を公理化しようと試みた。彼は、そのような代数はすべてジョルダン代数であることを証明した。
すべてのジョルダン代数が形式的に実数であるとは限りませんが、ジョルダン、フォン・ノイマン、ウィグナー（1934）は、ユークリッドジョルダン代数とも呼ばれる有限次元の形式的に実数なジョルダン代数を分類しました。形式的に実数なジョルダン代数はすべて、いわゆる単純なジョルダン代数の直和として表すことができますが、単純なジョルダン代数自体は、自明でない方法では直和ではありません。有限次元では、単純な形式的に実数なジョルダン代数は、1つの例外的なケースとともに、4つの無限族に分類されます。
これらの可能性のうち、今のところ自然界では観測量の代数としてn × nの複素行列のみが利用されているように思われる。しかし、スピン因子は特殊相対性理論において重要な役割を果たしており、形式的に実数であるジョルダン代数はすべて射影幾何学と関連している。
eがジョルダン代数Aにおける冪等元( e 2 = e ) であり、Rがeによる乗算演算である場合、
したがって、 Rの固有値は0、1/2、1 のみです。ジョルダン代数A が標数が 2 でない体上の有限次元である場合、これは、 3 つの固有空間の部分空間A = A 0 ( e ) ⊕ A 1/2 ( e ) ⊕ A 1 ( e ) の直和であることを意味します。この分解は、ジョルダン、フォン・ノイマン、ウィグナー (1934)によって、完全実ジョルダン代数について最初に検討されました。これは後にアルバート (1947)によって完全に一般的に研究され、冪等元eに関するAのピアース分解 と呼ばれました。[ 6 ]
1979年、エフィム・ゼルマノフは無限次元の単純（かつ素数で非退化）ジョルダン代数を分類した。これらはエルミート型かクリフォード型のいずれかである。特に、例外的な単純ジョルダン代数は有限次元アルバート代数のみであり、その次元は27である。
C*-代数に対応するものはJB代数であり、有限次元ではユークリッドジョルダン代数と呼ばれる。実ジョルダン代数のノルムは完備であり、以下の公理を満たさなければならない。
これらの公理は、ジョルダン代数が形式的に実数であることを保証しており、項の二乗和がゼロであれば、それらの項は必ずゼロでなければならない。JB代数の複素化は、ジョルダンC*-代数またはJB*-代数と呼ばれる。これらは複素幾何学において、有界対称領域のケーヒャーのジョルダン代数的扱いを無限次元に拡張するために広く用いられてきた。すべてのJB代数が、有限次元の場合とまったく同じように、ヒルベルト空間上の自己共役作用素のジョルダン代数として実現できるわけではない。例外的なアルバート代数が、一般的な障害となっている。
フォン・ノイマン代数のジョルダン代数版はJBW代数によって担われています。これらはJB代数であることが判明しており、バナッハ空間として、バナッハ空間の双対空間となっています。フォン・ノイマン代数の構造理論の多くはJBW代数にも適用できます。特に、中心がRに縮約されたJBW因子は、フォン・ノイマン代数の観点から完全に理解できます。例外的なアルバート代数を除いて、すべてのJWB因子は、弱作用素位相で閉じられたヒルベルト空間上の自己共役作用素のジョルダン代数として実現できます。これらのうち、スピン因子は実ヒルベルト空間から非常に簡単に構成できます。他のすべてのJWB因子は、フォン・ノイマン因子の自己共役部分か、フォン・ノイマン因子の周期2*-反自己同型写像によるその不動点部分代数のいずれかです。[ 7 ]
ジョルダン環はジョルダン代数の一般化であり、ジョルダン環が体ではなく一般環上に存在することのみを必要とする。あるいは、ジョルダン環は、ジョルダン恒等式を尊重する可換非結合環として定義することもできる。
ジョルダン超代数はカッツ、カントール、カプランスキーによって導入されました。段階代数どこはジョルダン代数であり、値が「嘘のような」積を持つ[ 8 ]
どれでも段階的結合代数次数付きジョルダン括弧に関してジョルダン超代数となる
標数 0 の代数的に閉じた体上のジョルダン単純超代数はKac (1977)によって分類された。これらにはいくつかの族といくつかの例外代数が含まれる。そして。
J構造の概念は、 Springer（1998）によって導入され、線形代数群と公理を用いてジョルダン環の理論を発展させるものであり、ジョルダン反転を基本演算、華恒等式を基本関係としている。標数が2でない場合、J構造の理論は本質的にジョルダン環の理論と同じである。
二次ジョルダン代数は、ケビン・マクリモン（1966 ）によって導入された（線形）ジョルダン代数の一般化である。線形ジョルダン代数の二次表現の基本恒等式は、任意の標数の体上の二次ジョルダン代数を定義するための公理として用いられる。標数に依存しない有限次元単純二次ジョルダン代数の統一的な記述が存在する。標数が2でない場合、二次ジョルダン代数の理論は線形ジョルダン代数の理論に帰着する。
![{\displaystyle [x,y]=xy-yx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b4220c8122ebd2a21c517ca80639581679cfa6)
