MV代数

純粋数学の一分野である抽象代数において、MV-代数は、二項演算、一項演算、定数を持ち、特定の公理を満たす代数構造です。MV-代数は、 Łukasiewicz 論理の代数的意味論です。文字 MV は、Łukasiewiczの多値論理を表します。MV-代数は、有界可換BCK 代数のクラスと一致します。 ${\displaystyle \oplus}$ ${\displaystyle \neg}$${\displaystyle 0}$

MV代数は、以下の代数構造 からなる 。${\displaystyle \langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle ,}$

• 空でない 集合 ${\displaystyle A,}$
• 二項 演算${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle A,}$
• 単項演算 と​${\displaystyle \lnot}$${\displaystyle A,}$
• 固定要素を表す定数${\displaystyle 0}$${\displaystyle A,}$

これは次の恒等式を満たします。

• ${\displaystyle (x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z),}$
• ${\displaystyle x\oplus 0=x,}$
• ${\displaystyle x\oplus y=y\oplus x,}$
• ${\displaystyle \lnot \lnot x=x,}$
• ${\displaystyle x\oplus \lnot 0=\lnot 0,}$そして
• ${\displaystyle \lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.}$

最初の 3 つの公理により、は可換モノイドです。 恒等式によって定義されるので、 MV 代数は代数多様体を形成します。 MV 代数多様体はBL代数多様体のサブ多様体であり、すべてのブール代数を含みます。 ${\displaystyle \langle A,\oplus ,0\rangle }$

MV代数は、次の追加の恒等式を満たす前線型可換有界積分剰余格子として同値に定義できる（ Hájek 1998）。 ${\displaystyle \langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle }$${\displaystyle x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y.}$

簡単な数値例としては、演算とがあります。数学的なファジー論理では、この MV 代数は、Łukasiewicz 論理の標準的な実数値意味論を形成するため、標準 MV 代数と呼ばれます。 ${\displaystyle A=[0,1],}$${\displaystyle x\oplus y=\min(x+y,1)}$${\displaystyle \lnot x=1-x.}$

自明なMV代数は唯一の要素0を持ち、演算は唯一の可能な方法で定義され、${\displaystyle 0\oplus 0=0}$${\displaystyle \lnot 0=0.}$

2 要素MV代数は、実際にはブールの選言とブールの否定が一致する2 要素ブール代数 です。実際、 MV 代数を定義する公理に この公理を追加すると、ブール代数が公理化されます。${\displaystyle \{0,1\},}$${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle \lnot}$${\displaystyle x\oplus x=x}$

代わりに追加された公理が の場合、公理は3 値 Łukasiewicz 論理 Ł ₃ ^{[引用が必要]に対応する MV} ₃代数を定義します。その他の有限線形順序 MV 代数は、標準 MV 代数の宇宙と演算を 0 と 1 の間の等距離の実数 (両方を含む) の集合、つまり標準 MV 代数の演算とに対して閉じている集合に制限することによって得られます。これらの代数は通常、 MV _nと表記されます。 ${\displaystyle x\oplus x\oplus x=x\oplus x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},}$${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle \lnot}$

もう一つの重要な例は、無限小（順序型ω を持つ）とその余無限小 だけで構成されるチャンの MV 代数です。

チャンはまた、正の元u を固定し、線分 [0, u ] を { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } と定義することによって、任意の全順序アーベル群 Gから MV 代数を構築しました。これは、 x ⊕ y = min( u , x + y ) および ¬ x = u − xとなる MV 代数になります。さらに、チャンは、すべての線形順序 MV 代数は、このようにして群から構築された MV 代数と同型であることを示しました。

Daniele Mundici は、上記の構成をアーベル格子順序群に拡張しました。Gが強い (順序) 単位uを持つそのような群である場合、「単位区間」{ x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } は、¬ x = u − x、x ⊕ y = u ∧ _G (x + y)、およびx ⊗ y = 0 ∨ _G ( x + y − u ) を備えることができます。この構成は、強い単位を持つ格子順序アーベル群と MV 代数との間の カテゴリ同値性を確立します。

格子順序付きでリース分解特性を持つ効果代数はMV代数である。逆に、任意のMV代数はリース分解特性を持つ格子順序付き効果代数である。^[1]

CC チャンは、1920 年にヤン・ウカシェヴィチによって導入された多値論理を研究するために MV 代数を考案しました。特に、MV 代数は、以下で説明するように、ウカシェヴィチ論理の代数的意味論を形成します。

MV-代数Aが与えられたとき、A値は、命題論理式の代数（および 0 からなる言語）からAへの準同型写像です。すべての A 値に対して 1（つまり 0）にマッピングされる式は、Aトートロジーと呼ばれます。[0,1] 上の標準 MV-代数を使用する場合、すべての [0,1]-トートロジーの集合は、いわゆる無限値Łukasiewicz 論理を決定します。 ${\displaystyle \oplus ,\lnot ,}$${\displaystyle \lnot}$

チャン (1958, 1959) の完全性定理は、区間 [0,1] 上の標準 MV 代数で成り立つ任意の MV 代数方程式は、すべての MV 代数で成り立つことを述べています。代数的には、これは標準 MV 代数がすべての MV 代数の多様体を生成することを意味します。同様に、チャンの完全性定理は、MV 代数が [0,1] トートロジーの集合として定義される無限値Łukasiewicz 論理を特徴付けることを述べています。

[0,1] MV-代数がすべての可能なMV-代数を特徴付ける方法は、2要素ブール代数で成り立つ恒等式がすべての可能なブール代数で成り立つというよく知られた事実と平行しています。さらに、MV-代数は、ブール代数が古典的な二価論理を特徴付ける方法と類似した方法で無限値Łukasiewicz論理を特徴付けます（Lindenbaum-Tarski代数を参照）。

1984年、フォント、ロドリゲス、トレンスは、無限値ルカシェヴィチ論理の代替モデルとしてワイスバーグ代数を導入した。ワイスバーグ代数とMV代数は項が同値である。^[2]

1940年代、グリゴレ・モイシルは、（有限な）n値のウカシェヴィチ論理に代数的意味を与えることを期待して、ウカシェヴィチ・モイシル代数（LM _n代数）を導入した。しかし、1956年にアラン・ローズは、n ≥ 5の場合、ウカシェヴィチ・モイシル代数はウカシェヴィチのn値論理をモデル化しないことを発見した。CCチャンは1958年にMV代数を発表したが、それはℵ ₀値（無限多値）のウカシェヴィチ・タルスキ論理に対してのみ忠実なモデルである。公理的にもっと複雑な（有限の）n値Łukasiewicz論理に対しては、1977年にRevaz Grigoliaによって適切な代数が発表され、MV _n代数と呼ばれました。^[3] MV _{n代数はLM n}代数のサブクラスであり、 n ≥ 5に対して包含が厳密です。^[4]

MV _n代数は、 n値 Łukasiewicz 論理が ℵ ₀値論理に追加の公理を加えたのと同じように、いくつかの追加公理を満たす MV 代数です。

_{1982年、ロベルト・チニョーリは、LM n}代数にいくつかの追加の制約を加えることでn値Łukasiewicz論理の適切なモデルが得られることを発表した。チニョーリは、この発見を適切なn値Łukasiewicz代数と呼んだ。 ^[5] LM _n代数はMV _n代数でもあるが、これはまさにチニョーリの適切なn値Łukasiewicz代数である。^[6]

MV-代数は、格子順序付き次元群を持つ近似有限次元 C*-代数のすべての同型クラスと可算 MV-代数のすべての同型クラスとの間の全単射対応を確立することにより、ダニエル・ムンディチによって近似有限次元 C*-代数に関連付けられました。この対応の例には次のものがあります。

ファジー論理 (タイプ II) を実装するフレームワークは複数存在し、そのほとんどはマルチアジョイント論理と呼ばれるものを実装しています。これは MV 代数の実装に他なりません。

• Chang, CC (1958)「多値論理の代数解析」アメリカ数学会誌 88 : 476–490。
• ------ (1959)「ルカシェヴィチ公理の完全性の新たな証明」アメリカ数学会誌 88 :74-80。
• Cignoli、RLO、D'Ottaviano、IML、Mundici、D. (2000)多値推論の代数基礎。クルーワー。
• Di Nola A.、Lettieri A. (1993)「MV-代数のすべての種類の方程式による特徴付け」、Journal of Algebra 221 : 463–474 doi :10.1006/jabr.1999.7900。
• ペトル・ハジェク (1998)ファジー論理のメタ数学。クルーワー。
• Mundici, D.: Łukasiewicz 文計算における AF C*-代数の解釈。 Ｊ．Ｆｕｎｃｔ．アナル。 65、15–63 (1986)土井:10.1016/0022-1236(86)90015-7

• Daniele Mundici、MV-ALGEBRAS。短いチュートリアル
• D. Mundici (2011).上級Łukasiewicz計算とMV代数. Springer. ISBN 978-94-007-0839-6。
• ムンディチ、D. 3値論理のC*-代数。論理コロキウム'88、パドヴァで開催されたコロキウムの議事録61-77（1989）。doi ： 10.1016/s0049-237x（08）70262-3
• Cabrer, LM & Mundici, D. MV-代数と単位ℓ-群に対するストーン-ワイエルシュトラスの定理。Journal of Logic and Computation (2014)。doi : 10.1093/logcom/exu023
• オリビア・カラメロ、アンナ・カルラ・ルッソ（2014）MV代数と強単位を持つアーベルℓ群の間の森田同値性

• スタンフォード哲学百科事典：「多値論理」—ジークフリート・ゴットヴァルト著。