参加して会う

数学、特に順序理論では、半順序集合の部分集合の結合はの上限(最小の上限) で表され、同様にの交わりは の下限(最大の下限) で表されます。一般に、半順序集合の部分集合の結合と交わりは、必ずしも存在するとは限りません。結合と交わりは、順序反転に関して互いに 双対です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle S,}$${\textstyle \bigvee S,}$${\displaystyle S}$${\textstyle \bigwedge S.}$

すべてのペアが結合を持つ半順序集合は結合半格子である。同様に、すべてのペアが会合を持つ半順序集合は会合半格子である。結合半格子と会合半格子の両方である半順序集合は格子である。すべてのペアだけでなく、すべての部分集合が会合と結合を持つ格子は完全格子である。すべてのペアが会合または結合を持つわけではないが、演算（定義されている場合）が特定の公理を満たす部分格子を定義することも可能である。 ^[1]

完全に順序付けられた集合のサブセットの結合/会合は、そのような要素が存在する場合、単にそのサブセットの最大/最小要素になります。

部分的に順序付けられた集合のサブセットも（上向きの）有向集合である場合、その結合（存在する場合）は有向結合または有向上限と呼ばれます。双対的に、が下向きの有向集合である場合、その交わり（存在する場合）は有向交わりまたは有向下限です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$

を半順序集合とし、の 元を${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq ,\,}$${\displaystyle x,y\in A.}$${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$会う（または最大の下限またはの最小値) であり次の 2 つの条件が満たされる場合は で表されます${\displaystyle x{\text{ と }}y}$${\displaystyle x\wedge y,}$

1. ${\displaystyle m\leq x{\text{ および }}m\leq y}$(つまり、は の下限値です)。${\displaystyle m}$${\displaystyle x{\text{ と }}y}$
2. 任意のに対しての場合、（つまり、は の他の任意の下限以上である）。${\displaystyle w\in A,}$${\displaystyle w\leq x{\text{ および }}w\leq y,}$${\displaystyle w\leq m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x{\text{ と }}y}$

ペアに下限がまったくないか、いずれの下限も他のすべてより大きくないため、交差が存在する必要はありません。ただし、の交差が存在する場合、それは一意です。なぜなら、両方がの最大の下限である場合、したがって^[2]からのすべての要素のペアが交差を持たない場合でも、交差は^[1]の部分的な二項演算として見ることができます。${\displaystyle x{\text{ と }}y,}$${\displaystyle m{\text{ と }}m^{\prime }}$${\displaystyle x{\text{ と }}y,}$${\displaystyle m\leq m^{\prime }{\text{ および }}m^{\prime }\leq m,}$${\displaystyle m=m^{\prime }.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A.}$

出会いが存在する場合、それは次のように表記されます。からの全ての要素のペアが出会いを持つ場合、出会いは上の二項演算であり、この演算が以下の3つの条件を満たすことは容易にわかります。任意の要素に対して${\displaystyle x\wedge y.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle x,y,z\in A,}$

1. ${\displaystyle x\wedge y=y\wedge x}$（可換性）、
2. ${\displaystyle x\wedge (y\wedge z)=(x\wedge y)\wedge z}$（結合性）、および
3. ${\displaystyle x\wedge x=x}$（べき等性）。

結合は、存在する場合の結合と双対的に定義され、の 要素は${\displaystyle x{\text{ と }}y,}$${\displaystyle x\vee y.}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A}$参加する（または最小上限または次の 2 つの条件が満たされる場合、 のsupremumに${\displaystyle x{\text{ と }}y}$${\displaystyle A}$

1. ${\displaystyle x\leq j{\text{ および }}y\leq j}$(つまり、は の上限です)。${\displaystyle j}$${\displaystyle x{\text{ と }}y}$
2. 任意のに対しての場合、（つまり、は の他の任意の上限以下である）。${\displaystyle w\in A,}$${\displaystyle x\leq w{\text{ and }}y\leq w,}$${\displaystyle j\leq w}$${\displaystyle j}$${\displaystyle x{\text{ and }}y}$

定義により、集合上の二項演算は、3つの条件 a、b、cを満たす場合、meetである。その場合、そのペアはmeet-semilatticeである。さらに、次の場合に限って、A上の二項関係を定義することができる。 実際、この関係は、 任意の要素に対して、半順序である。${\displaystyle \,\wedge \,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,\wedge )}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x\wedge y=x.}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle x,y,z\in A,}$

• ${\displaystyle x\leq x,}$cによるので;${\displaystyle x\wedge x=x}$
• ならば、aによって;そして${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\leq x}$${\displaystyle x=x\wedge y=y\wedge x=y}$
• if then since then by b .${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\leq z}$${\displaystyle x\leq z}$${\displaystyle x\wedge z=(x\wedge y)\wedge z=x\wedge (y\wedge z)=x\wedge y=x}$

会合と結合はどちらもこの定義を等しく満たします。つまり、関連する会合操作と結合操作のペアは、互いに逆の部分的な順序を生成します。これらの順序の 1 つを主要な順序として選択する場合、どの操作が会合と見なされるか (同じ順序を与えるもの)、どの操作が結合と見なされるか (もう 1 つ) も決定します。

が半順序集合で、 の各要素のペアがを満たす場合、であることが必要です。後者の場合、 は の下限値であるため、であることが必要です。また、 はの最大の下限値であるため、 は の下限値である場合に限ります。したがって、普遍代数アプローチで を満たすことによって定義される半順序は、元の半順序と一致します。 ${\displaystyle (A,\leq )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x\wedge y=x}$${\displaystyle x\leq y,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$${\displaystyle x}$

逆に、がmeet-semilatticeであり、部分順序が普遍代数アプローチで として定義され、いくつかの要素に対して、がに関しての最大下限であり 、したがって であるため となります 。同様に、が の別の下限である場合、であるため と なります。したがって、元の meet によって定義された部分順序によって定義される meet が存在し、2 つの meet は一致します。 ${\displaystyle (A,\wedge )}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle z=x\wedge y}$${\displaystyle x,y\in A,}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x{\text{ and }}y}$${\displaystyle \,\leq ,\,}$$${\displaystyle z\wedge x=x\wedge z=x\wedge (x\wedge y)=(x\wedge x)\wedge y=x\wedge y=z}$$${\displaystyle z\leq x.}$${\displaystyle z\leq y,}$${\displaystyle w}$${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$${\displaystyle w\wedge x=w\wedge y=w,}$$${\displaystyle w\wedge z=w\wedge (x\wedge y)=(w\wedge x)\wedge y=w\wedge y=w.}$$

言い換えれば、2 つのアプローチは本質的に同等の概念、つまり、2 項関係と 2 項演算の両方を備えたセットを生み出し、これらの構造のそれぞれが他方を決定し、それぞれ部分順序または一致の条件を満たします。

がmeet-semilattice である場合、反復二分演算で説明されている手法によって、 meet を任意の空でない有限集合の明確に定義された meet に拡張できます。あるいは、 meet が半順序を定義するか、または部分順序によって定義される場合、 のいくつかのサブセットは確かにこれに関して下限を持ち、そのような下限をサブセットの meet と見なすのは合理的です。空でない有限サブセットの場合、2 つのアプローチは同じ結果をもたらすため、どちらも meet の定義として使用できます。の各サブセットがmeet を持つ場合、 は実際には完全格子です。詳細については、完全性 (順序理論)を参照してください。 ${\displaystyle (A,\wedge )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,\leq )}$

あるべき集合が 通常の方法（ によって）で部分的に順序付けられている場合、結合は和集合であり、会合は積集合です。記号では、 （これらの記号の類似性は、が結合/上限を表し、が会合/下限を表すことを覚えるための記憶法として使用できます^{[注 1]}）。 ${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle \,\subseteq }$${\displaystyle \,\vee \,=\,\cup \,{\text{ and }}\,\wedge \,=\,\cap \,}$${\displaystyle \,\vee \,}$${\displaystyle \,\wedge \,}$

もっと一般的に、が によって部分的に順序付けられているある集合の部分集合の族であるとします 。 が任意の和集合および任意の積集合の下で閉じており、が に属する場合 、 しかし が和集合の下で閉じていない場合、 が存在するのは、 となる唯一の-最小値が存在する場合のみです。 たとえば、の場合、一方 の場合、は存在しません。 なぜなら、 集合はにおけるの唯一の上限であり、 は最小の上限である可能性がありますが、および の 場合、にはの上限がないため、 は存在しません。${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\subseteq .\,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A,B,\left(F_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle A\vee B=A\cup B,\quad A\wedge B=A\cap B,\quad \bigvee _{i\in I}F_{i}=\bigcup _{i\in I}F_{i},\quad {\text{ and }}\quad \bigwedge _{i\in I}F_{i}=\bigcap _{i\in I}F_{i}.}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A\vee B}$${\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq )}$${\displaystyle \,\subseteq }$${\displaystyle J\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A\cup B\subseteq J.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\mathbb {R} \}}$${\displaystyle \{1\}\vee \{2\}=\{1,2,3\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{0,1,2\},\mathbb {R} \}}$${\displaystyle \{1\}\vee \{2\}}$${\displaystyle \{0,1,2\}{\text{ and }}\{1,2,3\}}$${\displaystyle \{1\}{\text{ and }}\{2\}}$${\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq )}$${\displaystyle \{1\}\vee \{2\}}$${\displaystyle \{0,1,2\}\not \subseteq \{1,2,3\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}\not \subseteq \{0,1,2\}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{0,2,3\},\{0,1,3\}\}}$${\displaystyle \{1\}\vee \{2\}}$${\displaystyle \{1\}{\text{ and }}\{2\}}$${\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq ).}$

• 局所凸ベクトル格子